上海六年级数学讲义 一元一次一次方程的解法和应用.docx
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上海六年级数学讲义一元一次一次方程的解法和应用
主课题:
一元一次方程的解法及应用
教学目标:
1、理解一元一次方程的概念及有关概念和等式的基本性质性质;
2、掌握一元一次方程解法的基本步骤;
3、使学生了解如何列一元一次方程求解数字的问题;
4、进一步培养学生分析问题和解决问题的能力;
5、培养学生由算术解法过渡到代数解法的解方程的基本能力,渗透化未知为已知的重要数学思想。
教学重点:
1、一元一次方程的解法与运用;
2、正确掌握移项的方法解方程;
3、列一元一次方程解决实际问题。
教学难点:
1、一元一次方程的解法与运用;
2、正确掌握移项的方法解方程;
3、列一元一次方程解决实际问题。
考点及考试要求:
1、考点:
(1)一元一次方程的有关概念及其解法;
(2)一元一次方程的应用,比如相遇问题,工作效率问题。
二、考试要求:
(1)了解一元一次方程的相关概念;
(2)理解一元一次方程中解法的各个步骤;
(3)会根据实际问题列出一元一次方程。
知识精要
一、一元一次方程定义及解法:
1、一元一次方程的有关概念:
(1)一元一次方程:
只含有一个未知数,并且未知数的次数是1,系数不等于0,这样的方程叫做一元一次方程。
(2)一元一次方程的标准形式是:
。
(3)一元一次方程的最简形式:
。
注意:
①任何一元一次方程都可以转化为最简形式或标准形式,所以判断一个方程是不是一元一次方程,可以通过变形为最简形式或标准形式来验证.如方程是一元一次方程.如果不变形,直接判断就出会现错误。
②方程与方程是不同的,方程的解需要分类讨论完成。
2、等式的基本性质:
(1)等式的两边同时加上(或减去)或,所得结果仍是等式。
(2)等式的两边同时乘以或除以,所得结果仍是等式。
3、解一元一次方程的基本步骤:
(1)去分母:
在方程的两边都乘以各分母的。
注意:
不要漏乘不含分母的项,分子是个整体,含有多项式时应加上括号。
(2)去括号:
一般地,先去,再去,最后去。
注意:
不要漏乘括号里的项,不要弄错符号。
(3)移项:
把含有的项都移到方程的一边,移到方程的另一边。
注意:
①移项要变号;②不要丢项。
(4)化为最简形式:
把方程化成的形式。
注意:
字母和其指数不变。
(5)系数化为1:
在方程的两边都除以未知数的系数(),得到方程的解。
注意:
不要把分子、分母搞颠倒。
2、一元一次方程的应用:
1、列一元一次方程解应用题的一般步骤
(1)审题:
读懂题意,弄清题目中的数量关系;
(2)设出未知数,列出方程:
设出未知数后,表示出有关的含字母的式子;
(3)找出等量关系:
找出能够表示本题含义的相等关系;
(4)解方程:
解所列的方程,求出未知数的值;
(5)检验,写答案:
检验所求出的未知数的值是否是方程的解,是否符合实际,写出结论且注意单位。
2、一元一次方程的应用中常碰到的几个问题:
(1)和差倍分问题
增长量=原有量×增长率现在量=原有量+增长量
(2)数字问题
一般可设个位数字为,十位数字为,百位数字为。
十位数可表示为,百位数可表示为。
然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程。
(3)市场经济问题
①商品利润=商品售价-商品成本价
②商品利润率=×100%
③商品销售额=商品销售价×商品销售量
④商品的销售利润=(销售价-成本价)×销售量
⑤商品打几折出售,就是按原标价的百分之几十出售,如商品打8折出售,即按原标价的80%出售。
(4)行程问题
路程=速度×时间时间=路程÷速度速度=路程÷时间
①相遇问题:
快行距+慢行距=原距
②追及问题:
快行距-慢行距=原距
③航行问题:
顺水(风)速度=静水(风)速度+水流(风)速度
逆水(风)速度=静水(风)速度-水流(风)速度
抓住两码头间距离不变,水流速和船速(静不速)不变的特点考虑相等关系。
(5)工程问题
工作量=工作效率×工作时间
完成某项任务的各工作量的和=总工作量=1
(6)储蓄问题
利润=×100%利息=本金×利率×期数
热身练习
1、下列四个式子中,是方程的是(B)。
A、B、C、D、
2、下列说法正确的是(D)。
A、等式两边都加上一个数或一个等式,所得结果仍是等式。
B、等式两边都乘以一个数,所得结果仍是等式。
C、等式两边都除以一个数,所得结果仍是等式。
D、一个等式的左、右两边与另一个等式的左、右两边分别相加,所得结果仍是等式。
3、已知代数式与的值互为相反数,那么的值等于(D)。
A、-B、-C、D、
4、根据下列条件,能列出方程的是(A)。
A、一个数的2倍比8小3
B、与1的差的
C、甲数的3倍与乙数的的和
D、与的和的
5、一份数学试卷,只有25个选择题,做对一题得4分,做错一题倒扣1分,某同学做了全部试卷,得了70分,他一共做对了(C)。
A、17道B、18道C、19道D、20道
6、下列各式中:
①;②;③;④;⑤;
⑥;⑦;⑧.哪些是一元一次方程?
参考答案:
⑥⑦⑧
7、用适当的数或整式填空,使得结果仍是等式,并说明是根据等式的哪条性质,通过怎样变形得到的。
(1)如果,那么;(5)
(2)如果,那么=;()
(3)如果,那么;(10)
(4)如果,那么。
()
8、一个长方形的周长为26㎝,如果长减少1㎝,宽增加2㎝,就可成为一个正方形,设长方形的长为cm,则可列方程。
()
9、已知三个连续的偶数的和为60,则这三个数是________。
()
10、解方程
(1)
(2)
11、兄弟二人今年分别为15岁和6岁,多少年后兄的年龄是弟的年龄的2倍?
参考答案:
解:
设年后兄的年龄是弟的年龄的2倍,则可列方程
答:
3年后兄的年龄是弟的年龄的2倍。
精解名题
例1、解下列方程
(1)
(2)
例2、若关于的方程是一元一次方程,则的值为。
参考答案:
。
例3、当。
参考答案:
例4、某地区居民生活用电基本价格为每千瓦时0.40元,若每月用电量超过千瓦时,则超过部分按基本电价的70%收费。
(1)某户八月份用电84千瓦时,共交电费30.72元,求。
(2)若该用户九月份的平均电费为0.36元,则九月份共用电多少千瓦?
应交电费是多少元?
参考答案:
解:
(1)由题意可得下列方程:
(2)设九月份共用电千瓦时,则
解得
所以应缴电费0.36×90=32.40(元)
答:
(1)的值是60。
(2)九月份共用电90千瓦,应交电费32.40元。
备选例题
例1、已知是关于的一元一次方程,求的值。
参考答案:
例2、甲、乙两人骑车分别从A,B两地相向而行,已知甲、乙两人的速度比是2∶3,甲比乙早出发15分钟,再经过1小时45分钟遇见乙,此时甲比乙少走6千米,求甲、乙两人骑车的速度和A、B两地的距离?
参考答案:
解:
设甲的速度为,由题意可知乙的速度为。
则可列方程
所以乙的速度为千米/小时,相距的距离为千米。
巩固练习
1、选择题:
1、下列方程中,一元一次方程一共有(A)
①;②;③;④
A、1个B、2个C、3个D、4个
2、下列说法中,正确的是(D)
A、若,则B、若,则
C、若,则D、,则
3、要使代数式与的值互为相反数,是(D)
A、B、C、D、
4、甲班有54人,乙班有48人,要使甲班人数是乙班的2倍,设从乙班调往甲班人数,可列方程(A)
A、B、C、D、
5、已知关于的方程的解满足方程,则的值是(B)A、B、2C、D、3
6、在800米跑道上有两人练中长跑,甲每分钟跑300米,乙每分钟跑260米,两人同地、同时、同向起跑,分钟后第一次相遇,等于(C)
A、10分B、15分C、20分D、30分
7、已知甲组有28人,乙组有20人,则下列调配方法中,能使一组人数为另一组人数的一半的是(D)
A、从甲组调12人去乙组
B、从乙组调4人去甲组
C、从乙组调12人去甲组
D、从甲组调12人去乙组,或从乙组调4人去甲组
8、解下列方程:
(1)
(2)
参考答案:
(1)
(2)
9、方程是一元一次方程,求的值。
参考答案:
10、已知是关于的一元一次方程,求这个方程式的解。
参考答案:
由题意可知,
解得代入方程
解出
11、某商店开张为吸引顾客,所有商品一律按八折优惠出售,已知某种旅游鞋每双进价为60元,八折出售后,商家所获利润率为40%。
问这种鞋的标价是多少元?
优惠价是多少?
解:
设鞋的标价为元,则可列出下列方程。
解得
则优惠价为(元)
答:
这种鞋的标价是105元,优惠价是84元。
12、某件商品的价格是按获利润25%计算出的,后因库存积压和急需加收资金,决定降价出售,如果每件商品仍能获得10%的利润,试问应按现售价的几折出售(减价到原标价的十分之几就叫做几折,例如标价一元的商品售价七角五分,叫做“七五折”)?
参考答案:
答:
应按现售价的八八折出售。
自我测试
1、下列方程中(A)是一元一次方程。
A、B、C、D、
2、如果、互为相反数,(),则的根为(A)
A、1B、-1C、-1或1D、任意数
3、已知是方程的根,则的值是(A)
A、8B、-8C、0D、2
4、方程去分母后可得(B)
A、B、
C、D、
5、说出下列各式哪些是等式,哪些方程,哪些是一元一次方程。
为什么?
(1);
(2);
(3);(4);
(5);(6);
(7);(8);
参考答案:
(3)(6)(7)
6、方程,去分母可变形为。
7、若与互为倒数,则=。
()
8、如果是方程的解,那么。
()
9、一次买10斤鸡蛋打八折比打九折少花2元,则这10斤鸡蛋的原价是元。
()
10、某商品标价1375元,打8折售出,仍可获利10%,则该商品的进价是多少元?
参考答案:
1000元
11、甲、乙两个水池共蓄水50t,甲池用去5t,乙池又注入8t后,甲池的水比乙池的水少3t,问原来甲、乙两个水池各有多少吨水?
解:
设甲有吨水,乙有吨水,则有下列方程
解得
所以乙有20吨。
答:
原来甲、乙两个水池各有30、20吨。
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