人教a版数学高二选修22习题第一章导数及其应用章末复习课 有答案.docx
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人教a版数学高二选修22习题第一章导数及其应用章末复习课有答案
人教a版数学高二选修2-2习题_第一章_导数及其应用_章末复习课有答案
1.注意区分曲线在点P处的切线与过点P的曲线的切线.
2.导数公式与导数的四则运算法则:
(1)要注意公式的适用范围.如(xn)′=nxn-1中,n∈N+,若n∈Q且n≠0,则应有x>0;
(2)注意公式不要用混,如(ax)′=axlna,而不是(ax)′=xax-1.还要特别注意(uv)′≠u′v′,(
)′≠
.
3.利用导数讨论函数的单调性需注意以下几个问题:
(1)注意定义域优先原则,必须在函数的定义域内解不等式f′(x)>0(或f′(x)<0);
(2)在对函数划分单调区间时,除了必须确定使导数等于0的点外,还要注意函数的不连续点或不可导点;
(3)注意在某一区间内f′(x)>0(或f′(x)<0)是函数f(x)在该区间上为增(或减)函数的充分条件.
4.若y=f(x)在(a,b)内可导,f′(x)≥0或f′(x)≤0,且y=f(x)在(a,b)内导数f′(x)=0的点仅有有限个,则y=f(x)在(a,b)内仍是单调函数.
5.讨论含参数的函数的单调性时,必须注意分类讨论.
6.极值与最值的区别和联系:
(1)函数的极值不一定是最值,需对极值和区间端点的函数值进行比较,或者考察函数在区间内的单调性;
(2)如果连续函数在区间(a,b)内只有一个极值,那么极大值就是最大值,极小值就是最小值;
(3)可导函数的极值点导数为零,但是导数为零的点不一定是极值点;
(4)极值是一个局部概念,极大值不一定比极小值大.
7.导数的实际应用:
(1)在求实际问题的最大(小)值时,一定要注意考虑实际问题的意义,不符合实际意义的值应舍去;
(2)在实际问题中,有时会遇到函数在区间内只有一个点使f′(x)=0的情形,如果函数在这点有极大(小)值,那么不与端点值比较,也可以知道这就是最大(小)值.
8.应用定积分求平面图形的面积时,要特别注意面积值应为正值,故应区分积分值为正和为负的情形.
专题一 导数的几何意义及其应用
导数的几何意义是曲线的切线斜率,即曲线上某点处的导数值是曲线过该点的切线的斜率.与曲线的切线有关的问题,主要有两类:
一类是求过某点的切线方程,该点可能在曲线上,也可能在曲线外;若该点在曲线上,也可能是切点,也可能不是切点.另一类是已知切线方程或切线斜率,求参数的值.
已知曲线y=
x3+
.
(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程;
(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程;
(3)求斜率为4的曲线的切线方程.
解:
(1)因为P(2,4)在曲线y=
x3+
上,且y′=x2,
所以在点P(2,4)处的切线的斜率k=y′|x=2=4.
所以曲线在点P(2,4)处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.
(2)设曲线y-
x3+
与过点P(2,4)的切线相切于点A
,则切线的斜率k=y′|x=x0=x
,
所以切线方程为y-
=x
(x-x0),
即y=x
·x-
x
+
.
因为点P(2,4)在切线上,所以4=2x
-
x
+
,
即x
-3x
+4=0,所以x
+x
-4x
+4=0,
所以(x0+1)(x0-2)2=0,解得x0=-1或x0=2,
故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0.
(3)设切点为(x1,y1),则切线的斜率k=x
=4,得x0=±2.
所以切点为(2,4),
,
所以切线方程为y-4=4(x-2)和y+
=4(x+2),
即4x-y-4=0和12x-3y+20=0.
归纳升华
(1)解决此类问题一定要分清“在某点处的切线”,还是“过某点的切线”的问法.
(2)解决“过某点的切线”问题,一般是设切点坐标为P(x0,y0),然后求其切线斜率k=f′(x0),写出其切线方程.而“在某点处的切线”就是指“某点”为切点.
(3)曲线与直线相切并不一定只有一个公共点,当曲线是二次曲线时,我们知道直线与曲线相切,有且只有一个公共点,这种观点对一般曲线不一定正确.
已知函数f(x)=x+
+b(x≠0),其中a,b∈R.若曲线y=f(x)在点P(2,f
(2))处的切线方程为y=3x+1,则函数f(x)的解析式为f(x)=____________.
解析:
f′(x)=1-
.由导数的几何意义得f′
(2)=3,即1-
=3,所以a=-8.由切点P(2,f
(2))在直线y=3x+1上,得f
(2)=3×2+1=7,则-2+b=7,解得b=9,所以函数f(x)的解析式为f(x)=x-
+9(x≠0).
答案:
x-
+9(x≠0)
专题二 导数在研究函数单调性中的应用
利用导数的符号判断函数的单调性,进而求出函数的单调区间,是导数几何意义在研究曲线变化规律时的一个重要应用,体现了数形结合思想.这类问题要注意的是f(x)为增函数⇔f′(x)≥0且f′(x)=0的根有有限个,f(x)为减函数⇔f′≤0且f′(x)=0的根有有限个.
已知函数f(x)=ax3+bx2的图象经过点M(1,4),曲线在点M处的切线恰好与直线x+9y=0垂直.
(1)求实数a,b的值;
(2)若函数f(x)在区间上单调递增,求m的取值范围.
解:
(1)因为f(x)=ax3+bx2的图象经过点M(1,4),所以a+b=4,①
f′(x)=3ax2+2bx,则f′
(1)=3a+2b.
由条件f′
(1)·
=-1,即3a+2b=9,②
由①②式解得a=1,b=3.
(2)f(x)=x3+3x2,f′(x)=3x2+6x
令f′(x)=3x2+6x≥0,得x≥0或x≤-2,
因为函数f(x)在区间上单调递增.
所以⊆(-∞,-2)∪(0,+∞),
解得m≥0或m+1≤-2,
所以m≥0或m≤-3.
归纳升华
求可导函数单调区间的一般步骤:
(1)确定函数f(x)的定义域;
(2)求f′(x),令f′(x)=0,求出它们在定义域内的一切实数根;
(3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来,然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间;
(4)确定f′(x)在各个开区间内的符号,根据f′(x)的符号判定函数f(x)在每个相应小开区间内的增减性.
设函数f(x)=x2+aln(1+x)有两个极值点x1,x2,且x1<x2.求a的取值范围,并讨论f(x)的单调性.
解:
由题意知,函数f(x)的定义域是{x|x>-1},
f′(x)=
,
且f′(x)=0有两个不同的根x1,x2,
所以方程2x2+2x+a=0的判别式Δ=4-8a>0,
即a<
,且x1=
,x2=
.
又因为x1>-1,所以a>0,所以a的取值范围是
.
当x变化时,f′(x)与f(x)的变化情况如下表所示:
x
(-1,x1)
x1
(x1,x2)
x2
(x2,+∞)
f′(x)
+
0
-
0
+
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
所以f(x)在区间(-1,x1)和(x2,+∞)上单调递增,在区间(x1,x2)上单调递减.
专题三 导数在求函数极值与最值中的应用
利用导数可求出函数的极值或最值,反之,已知函数的极值或最值也能求出参数的值或取值范围.该部分内容也可能与恒成立问题、函数零点问题等结合在一起进行综合考查,是高考的重点内容.
已知函数f(x)=lnx+a(1-x).
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)当f(x)有最大值,且最大值大于2a-2时,求a的取值范围.
解:
(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=
-a.
若a≤0,则f′(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增.
若a>0,则当x∈
时,f′(x)>0;
当x∈
时,f′(x)<0.
所以f(x)在
上单调递增,在
上单调递减.
(2)由
(1)知,当a≤0时,f(x)在(0,+∞)上无最大值;当a>0时,f(x)在x=
处取得最大值,最大值为f
=ln
+a
=-lna+a-1.
因此f
>2a-2等价于lna+a-1<0.
令g(a)=lna+a-1,则g(a)在(0,+∞)上单调递增.
又g
(1)=0,
于是,当0<a<1时,g(a)<0;当a>1时,g(a)>0.
因此,a的取值范围是(0,1).
归纳升华
(1)运用导数求可导函数y=f(x)的极值的步骤:
①先求函数的定义域,再求函数y=f(x)的导数f′(x);
②求方程f′(x)=0的根;
③检查f′(x)在方程根的左右的值的符号,如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值,如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得极小值.
(2)求闭区间上可导函数的最值时,对函数极值是极大值还是极小值,可不再作判断,只需要直接与端点的函数值比较即可获得.
(3)当连续函数的极值点只有一个时,相应的极值点必为函数的最值.
已知函数f(x)=xlnx,g(x)=x3+ax2-x+2(a∈R).
(1)如果函数g(x)的单调递减区间为
,求函数g(x)的解析式;
(2)若不等式2f(x)≤g′(x)+2恒成立,求实数a的取值范围.
解:
(1)g′(x)=3x2+2ax-1由题意3x2+2ax-1<0的解集是
,
即3x2+2ax-1=0的两根是-
和1.
将x=1或-
代入方程3x2+2ax-1=0得a=-1.
所以g(x)=x3-x2-x+2.
(2)2f(x)≤g′(x)+2对x∈(0,+∞)恒成立,
即:
2xlnx≤3x2+2ax+1对x∈(0,+∞)恒成立,
可得a≥lnx-
x-
对x∈(0,+∞)恒成立,
设h(x)=lnx-
-
,则h′(x)=
-
+
=-
,
令h′(x)=0,得x=-
(舍)或x=1,
当0<x<1时,h′(x)>0;当x>1时,h′(x)<0,
所以当x=1时,h(x)取得最大值,最大值为-2,
所以a≥-2.
所以实数a的取值范围是 建卷)已知函数f(x)=lnx-
.
(1)求函数f(x)的单调递增区间;
(2)证明:
当x>1时,f(x)<x-1.
(1)解:
f′(x)=
-x+1=
,x∈(0,+∞).
由f′(x)>0得
解得0<x<
.
故f(x)的单调递增区间是
.
(2)证明:
令F(x)=f(x)-(x-1),x∈(0,+∞).
则有F′(x)=
.
当x∈(1,+∞)时,F′(x)<0,
所以F(x)在 当x∈
时,证明:
tanx>x.
证明:
设f(x)=tanx-x,x∈
.
则f′(x)=
′-1=
-1=
=tan2x>0,
所以f(x)在
上是增函数.
又f(x)=tanx-x在x=0处可导,且f(0)=0.
所以当x∈
时,f(x)>f(0)恒成立.
所以tanx-x>0,即tanx>x.
专题五 定积分及其应用
定积分的基本应用主要有两个方面:
一个是求坐标平面上曲边梯形的面积,另一个是求变速运动的路程(位移)或变力所做的功.高考中要求较低,一般只考一个小题.
已知抛物线y=x2-2x及直线x=0,x=a,y=0围成的平面图形的面积为
,求a的值.
解:
作出y=x2-2x的图象如图所示.
(1)当a<0时,S=
(x2-2x)dx=
=
-
+a2=
,所以(a+1)(a-2)2=0,
因为a<0,所以a=-1.
(2)当a>0时,
①若0<a
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- 人教a版数学高二选修22习题第一章导数及其应用章末复习课 有答案 人教 数学 选修 22 习题 第一章 导数 及其 应用 复习 答案