33解对初值的连续性和可微性定理.docx

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33解对初值的连续性和可微性定理

§3.3解对初值的连续性和可微性定理

f（x,v）经过点（Xo,Vo）的解•但是假如（Xo,Vo）变动，则相应初值问题的解也随之变动，也就是dx

说初值问题的解不仅依赖于自变量x,还依赖于初值（xo,Vo）.例如：

f（x,v）=v时,方程v'=v的解

是y=cex，将初始条件

y（xo）=yo带入，可得v^voeX*.很显然它是自变量x和初始条件（xo,yo）的

函数.因此将对初值问题

型=f（x,y）、

dX'的解记为v护（X,Xo,vo）,它满足vo=（Xo,Xo,vo）.

y。

二v（Xo）

当初值发生变化时，对应的解是如何变化的？

当初始值微小变动时，方程解的变化是否也很小呢?

为此就要讨论解对初值的一些性质•

1解关于初值的对称性

设方程（3.1）满足初始条件y（xo）=vo的解是唯一的，记为v=（x,xo,vo）,则在此关系式中

（x,v）与（xo,vo）可以调换其相对位置.即在解的存在范围内成立关系式

voV（Xo,x,v）

证明在方程（3.1）满足初始条件v（xo）=vo的解的存在区间内任取一点x1,显然

vi=（Xi,xo,yo,）则由解的唯一性知，过点（xi,yi）的解与过点（xo,vo）的解是同一条积分曲线，即此解

也可写为

v=^（x,xi,vJ

并且，有yo二（xo,xi,vi）.又由（捲，比）是积分曲线上的任一点，因此关系式yo二（xo,x,v）对该积分

曲线上的任意点均成立.

2、解对初值的连续依赖性

由于实际问题中初始条件一般是由实验测量得到的，肯定存在误差.有的时候误差比较大，有的

时候误差比较小，在实际应用中我们当然希望误差较小，也就是说当（xo,yo）变动很小的时候，相应的

方程的解也只有微小的变动，这就是解对初值的连续依赖性所要研究的问题：

在讨论这个问题之前，我们先来看一个引理：

引理：

如果函数f（x,v）于某域D内连续，且关于y满足Lipschtiz条件（Lipschtiz常数为L），则

对方程（3.1）的任意两个解（x）及（x），在它们公共存在的区间内成立着不等式

|「（X）亠（X）凶「（X。

）（X0）|eL|xJ

其中X。

为所考虑区域内的某一值•

证明设（X）,（X）于区间a乞x^b上均有定义,令

2

V（x）=[「（X）—（x）]2,azx^b

则

V（x）=2[「（x）」（x）][f（x,「）一f（x「）]

于是V（x）<|V（x）|=2|（x^'-（x）||f（x,）-f（x「）|乞2LV（x）

V（x）e^Lx-2LV（x）e2L^0

从而—（V（x）e^LxVi0

dx

所以,对-Xo•[a,b],有

V（x）乞V（x0）e2L（X^）,x0乞x^b

对于区间a^x^x。

，令-x_t,并记-x°_t0,则方程（3.1）变为

—f（-t,y）dx

而且已知它有解y=「（-t）和y=「（-t）.

类似可得V（x）W（X0）e2L%?

a空x^X0

因此，V（x）—Vaje^x^Ia_x_b,a_x0_b

两边开平方即得（3.17）.

利用此引理我们可以证明解对初值的连续依赖性：

解对初值的连续依赖定理

假设f（x,y）在区域G内连续，且关于y满足局部李普希兹条件，如果（怡』0），G，初值问题

凹=f（xy）

dx有解y二（X,X0,y°），它于区间a乞X空b上有定义（aZx°^b）,则对任意；0，

y。

二y（x。

）

-=-（;,a,b）0，使得当伍-x°）2■（孑0-y0『仝2时，方程（3.1）满足条件y（X°）=%的解

y=（x,X0,y°）在区间a二x^b上也有定义，并且有

（x,%,yo）-「（X,xo,y°）|•；：

amxeb.

证明记积分曲线段S:

y=（x,x0,y0）三匚（x）,a岂x岂b是xy平面上一个有界闭集•

第一步：

找区域D,使SD,而且f（x,y）在D上关于y满足Lipschitz条件.

由已知条件，对-（x,y）・S,存在以它为中心的开圆C,CG,使f（x,y）在其内关于y满足

Lipschitz条件•因此,根据有限覆盖定理,可以找到有限个具有这种性质的圆Ci（i=1,2,||（,N）（不同的

N

Ci,其半径ri和Lipschitz常数Li的大小可能不同）,它们的全体覆盖了整个积分曲线段

则SGG,对-；・0,记：

—d（：

：

G,S）,二min（；,L2）,L二max（L,,川Ln）,则以S上的点为中心,以为半径的圆的全体及其边界构成包含S的有界闭域DGG,且f（x,y）在D上关于y满

足Lipschitz条件，Lipschitz常数为L.

第二步：

证明苛：

!

（；ab,）:

.0（，使得当（x°-x。

2-y0）x2时,解

y—'（x）V（x,x0,yo）在区间a乞x乞b上也有定义•

由于D是一个有界闭域，且f（x,y）在其内关于y满足Lipschitz条件，由解的延拓定理可知，解y・「（x）二（x,xo,yo）必能延拓到区域D的边界上.设它在D的边界上的点为（c/c）和（d,''（d））,c：

：

：

d,这时必有c_a,d-b.否则设c-a,d:

:

:

b,由引理有

|：

（x）-'-（x）|_|「（x°）-（xo）|eL|xJo1,c空x空d

1

利用（x）的连续性，对r二一e_L（b-a）,必有20存在，使当|x「Xo|—2时有I：

：

（X）—（Xo）|：

：

：

r,

2

取、：

=min（「「2）,则当（x^-xo）2-（%-yo）2—.2时就有

「（x）亠（x）I2A（x°）」（x°）I2e2L|f一

2

“仮）-认）|十（Xo）」（xo）|）2e2L|f

兰2（|卩仅0）-®（xo）|2+|®（xo）-屮（Xo）|2）e2L|f（3.18）

22、2L（b-a）

：

：

：

2（、i|y。

-y°|）e（）

兰46/2）"（cXd）

于是对一切x[c,d],|「（x）亠（x）卜：

成立,特别地有

|;:

（c）亠（c）卜:

I:

（d）（d）卜：

即点（c}（c））和（d,t（d））均落在域D的内部,这与假设矛盾,故解yj-：

（x）在区间［a,b］上有定义•

第三步证明|「（x）（x）|：

：

：

；,a乞x乞b.

在不等式（3.18）中将区间［c,d］换成［a,b］，可知当

—2_22（xo—'怡）■（%—%）时，就有

（x,x°,yo）-（x,xo,y°）|；‘：

，a^xEb.

根据方程解对初值的连续依赖定理及解对自变量的连续性有

3、解对初值的连续性定理

若函数f（x,y）在区域G内连续，且关于y满足局部李普希兹条件，则方程（3.1）的解

y=（x,Xo,yo）作为x,xo,yo的函数在它的存在范围内是连续的

证明对一（x°,yo）・G,方程（3.1）过（Xo,y°）的饱和解y二（x,x°,yo）定义于:

（xo,yo）x：

（x,上，令

V二{（x,Xo,yo）|：

（Xo,yo）ExE：

（x°,y°）,（x°,yo）G}

下证y=（x,xo,yo）在V上连续•

对—（x,x。

，％）v,[a,b],使解y=（x,xo,%）在[a,b]上有定义，其中x,x^[a,b].

222

对一；o,!

o,使得当（x°-xo）（Vo-yo）—时,

：

（X,x。

，％）一：

（x,Xo,yo）

又y=^"（x,Xo,yo）在x•［a,b］上对x连续，故辽-o,使得当|X-x匸辽时有

9（x,Xo,yoH9（x,Xo,yo）

/x[a,b]

2222

取：

=min（「「2）,则只要（X-x）（x^Xo）■（y^yo）—•就有

「（X,Xo,Vo）-（x,xo,yo）

（x,Xo,yo^（x,Xo,yo）|「（X,Xo,yo）-（x,Xo,yo）|zz

<—+—=z

22

从而得知y二（x,Xo,yo）在V上连续.

4、解对初值和参数的连续依赖定理讨论含有参数■的微分方程

dyf（x,y,■）G,:

（x,y）G,:

：

：

■：

：

-（3.19）

dx

如果对-（x,y■,.）G,都存在以（xy■,为中心的球CG,使得对任何（x,yi,'）,（x,y2,'）'C,成立不等式

|f（x,yi,J-f（x,y2,•）匡L|yi-y2|

其中L是与■无关的正数，称函数f（x,y,-）在G.内关于y—致地满足局部的李普希兹条件.由

JU

解的唯一性，对每一s•G',:

），方程（3.19）通过点（X。

，y。

）•G的解是唯一确定的，记这个解为

y=护（x,xo,y。

，o）.

设f（x,y,）在G,内连续，且在G,内关于y—致地满足局部的李普希兹条件，（X。

，y。

，’。

）•G,,y二（x,x。

，y。

，’。

）是方程（3.19）通过（x。

，y。

）的解，在区间a—x—b上有定义，其中a_x。

_b,则对-；•0,（；,a,b）•0,使得当

（x。

-X。

）2（y。

-y。

）2（■-'。

）2—2

时，方程（3.19）通过点仅。

，7。

）的解y=（x,x。

*。

，-）在区间a^x^b上也有定义，并且

（x’x。

，％,'）-（x,x。

，y。

，。

）：

：

，x[a,b]

5、解对初值和参数的连续性定理

设函数f（x,y,■）在区域G.内连续，且在G，关于y—致地满足局部李普希兹条件,则方程（3.19）

的解y二（x,x。

，y。

，■）作为x,x。

，y。

，■的函数在它的存在范围内是连续的

S=f（x，y）的解

.y。

二y（Xo）

6、解对初值的可微性定理

如果函数f（x,y）以及「f（x,y）都在区域G内连续，则对初值问题

y护（x,x°,y。

）作为x,x°,y。

的函数，在它有定义的范围内有连续可微的

证明由汗（x,y）在区域G内连续，可知f（x,y）在G内关于y满足局部Lipschitz条件，根据解■y

对初值的连续性定理，y二（x,x0,y0）在它的存在范围内关于x,x0,y0是连续的.

下面证明函数y='（X,x。

』。

）在它的存在范围内的任一点偏导数■，八，八存在且连续.

ex%oy。

f（x,:

）,显然存在且连续•

:

x

先证存在且连续.

_Xo

由初值（xo,yo）和（x°rxo,y°）所确定的解分别为

y=%x,心y°）三」,yW（x,x°认，y°）三*,

f（x「）dx.

xx

申三y°+jf（x,申）dx，屮三y°+J*

xx

屮—申三［

叽地0

f（X,：

L咗什肓））汗（x,:

）

=+

■:

y

这里当•：

x0—0时，口一•0,且「％=0时，「1=0.类似有

x:

ix0

x

f（x「）dx=「f（x°,y°）「2

其中「1与$具有相同性质，因此对AX。

=0有

Z（x。

）=-f（x0,y°）+「2三z

的解，显然当说=0时，上述初值问题仍然有解.根据解对初值和参数的连续性定理

屮

知z=是x0x,0z,的〉连续函数从而存在

也X。

而是初值问题

-议0

dz:

f（x,）zdx

z（xg）--f（Xo,yo）

的解,容易得到

x阿（x申）

」f（xo，yo）expydx）

显然它是x,x0,y0的连续函数.

同样可证'存在且连续.

內0

设由初值（xo,yo）和（Xo,yoFyo）所确定的解分别为

yV（x,xo,y°）=,y=F（x,Xo,y°：

y。

）=卜,

类似上述方法可证z是初值问题

*dxdy

Z（Xo）=1

的解.因而

:

y°*：

:

y

其中B具有性质：

当绍o>o时，r、o,且-y^o时,r^o.所以有

dx）

显然它是x,xo,yo的连续函数

£Cp

—=f（x,（x.xo.Yo））

.:

Xo

=-f（x°,y°）exp（

.:

yoXo讨

Xo=0:

xoy°=o

例1已知方程为巴=sin（xy）试求一X°=0

dx矶y°=o

解：

方程右端函数f（x,y）=sin（xy）在xy平面内连续，且fy=xcos（xy）也在xy平面内连续，且

其满足y（0）=0的解为y=o.

y（x,x°,y。

）

是

x

scosOds

二e0

fy（x,Xo,y°）

^x0

--sin0e

x

pcos0ds