《步步高》高考数学第一轮复习04 解三角形应用举例.docx
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《步步高》高考数学第一轮复习04解三角形应用举例
§4.7 解三角形应用举例
2014高考会这样考
考查利用正弦定理、余弦定理解决实际问题中和三角形有关的角度、方向、距离等测量问题.
复习备考要这样做
1.会从实际问题抽象中解三角形问题,培养建模能力;2.掌握解三角形实际应用的基本方法,体会数学在实际问题中的应用.
1.用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型
测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等.
2.实际问题中的常用角
(1)仰角和俯角
与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线在水平视线上方叫仰角,目标视线在水平视线下方叫俯角(如图①).
(2)方向角:
相对于某正方向的水平角,如南偏东30°,北偏西45°等.
(3)方位角
指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如B点的方位角为α(如图②).
(4)坡度:
坡面与水平面所成的二面角的正切值.
3.解三角形应用题的一般步骤
(1)阅读理解题意,弄清问题的实际背景,明确已知与未知,理清量与量之间的关系.
(2)根据题意画出示意图,将实际问题抽象成解三角形问题的模型.
(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解.
(4)将三角形问题还原为实际问题,注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等.
[难点正本 疑点清源]
解三角形应用题的两种情形
(1)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量全部集中在一个三角形中,可用正弦定理或余弦定理求解.
(2)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形,这时需作出这些三角形,先解够条件的
三角形,然后逐步求解其他三角形,有时需设出未知量,从几个三角形中列出方程(组),解方程(组)得出所要求的解.
1.在某次测量中,在A处测得同一半平面方向的B点的仰角是60°,C点的俯角是70°,则∠BAC=________.
答案 130°
解析 由已知∠BAD=60°,∠CAD=70°,
∴∠BAC=60°+70°=130°.
2.(2011·上海)在相距2千米的A,B两点处测量目标C,若∠CAB=75°,∠CBA=60°,则A,C两点之间的距离是__________千米.
答案
解析 如图所示,由题意知∠C=45°,
由正弦定理得=,
∴AC=·=.
3.江岸边有一炮台高30m,江中有两条船,船与炮台底部在同一水面上,由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°,而且两条船与炮台底部连线成30°角,则两条船相距________m.
答案 10
解析 如图,OA为炮台,M、N为两条船的位置,∠AMO=45°,∠ANO
=60°,OM=AOtan45°=30,
ON=AOtan30°=×30=10,
由余弦定理得,
MN===10(m).
4.某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为45°,沿倾斜角为30°的斜坡前进1000m后到达D处,又测得山顶的仰角为60°,则山的高度BC为____________m.
答案 500(+1)
解析 过点D作DE∥AC交BC于E,因为∠DAC=30°,故∠ADE=150°.
于是∠ADB=360°-150°-60°=150°.
又∠BAD=45°-30°=15°,
故∠ABD=15°,由正弦定理得AB=
==500(+)(m).
所以在Rt△ABC中,BC=ABsin45°=500(+1)(m).
5.两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等,灯塔A在观察站北偏东40°,灯塔B在观察站南偏东60°,则灯塔A在灯塔B的( )
A.北偏东10°B.北偏西10°
C.南偏东10°D.南偏西10°
答案 B
解析 灯塔A、B的相对位置如图所示,由已知得∠ACB=80°,
∠CAB=∠CBA=50°,
则α=60°-50°=10°,即北偏西10°.
题型一 测量距离问题
例1
要测量对岸A、B两点之间的距离,选取相距km的C、D两点,并测得∠ACB=75°,∠BCD=45°,∠ADC=30°,∠ADB=45°,求A、B之间的距离.
思维启迪:
将题中距离、角度转化到一个三角形中,再利用正、余弦定理解三角形.
解 如图所示,在△ACD中,
∠ACD=120°,∠CAD=∠ADC=30°,
∴AC=CD=km.
在△BCD中,∠BCD=45°,
∠BDC=75°,∠CBD=60°.
∴BC==.
在△ABC中,由余弦定理,得
AB2=()2+2-2×××cos75°
=3+2+-=5,
∴AB=(km),∴A、B之间的距离为km.
探究提高 这类实际应用题,实质就是解三角形问题,一般都离不开正弦定理和余弦定理,在解题中,首先要正确地画出符合题意的示意图,然后将问题转化为三角形问题去求解.
注意:
①基线的选取要恰当准确;②选取的三角形及正、余弦定理要恰当.
如图,某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB,C是该小区的一个出入口,且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2分钟,从D沿着DC走到C用了3分钟.若此人步行的速度为每分钟50米,则该扇形的半径为________米.
答案 50
解析 连接OC,在△OCD中,
OD=100,
CD=150,∠CDO=60°,
由余弦定理可得
OC2=1002+1502-2×100×150×=17500,
解得OC=50(米).
题型二 测量高度问题
例2
某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40米后,望见塔在东北方向,若沿途测得塔顶的最大仰角为30°,求塔高.
思维启迪:
依题意画图,某人在C处,AB为塔高,他沿CD前进,
CD=40米,此时∠DBF=45°,从C到D沿途测塔的仰角,只有B
到测试点的距离最短时,仰角才最大,这是因为tan∠AEB=,AB
为定值,BE最小时,仰角最大.要求出塔高AB,必须先求BE,而
要求BE,需先求BD(或BC).
解 如图所示,某人在C处,AB为塔高,
他沿CD前进,CD=40,此时∠DBF=45°,过点B作BE⊥CD于E,
则∠AEB=30°,
在△BCD中,CD=40,∠BCD=30°,∠DBC=135°,由正弦定理,得
=,
∴BD==20(米).∠BDE=180°-135°-30°=15°.
在Rt△BED中,
BE=DBsin15°=20×=10(-1)(米).
在Rt△ABE中,∠AEB=30°,
∴AB=BEtan30°=(3-)(米).
故所求的塔高为(3-)米.
探究提高 在测量高度时,要正确理解仰角、俯角的概念,画出准确的示意图,恰当地选取相关的三角形和正、余弦定理逐步进行求解.注意综合应用方程和平面几何、立体几何等知识.
如图所示,B,C,D三点在地面的同一直线上,DC=a,从C,D两点测得A点的仰角分别为β和α(α<β),则A点距地面的高AB为_______________.
答案
解析 AB=ACsinβ,==,
解得AB=.
题型三 测量角度问题
例3
某渔轮在航行中不幸遇险,发出呼救信号,我海军舰艇在A处获悉后,立即测出该渔轮在方位角为45°,距离为10nmile的C处,并测得渔轮正沿方位角为105°的方向,以9nmile/h的速度向某小岛靠拢,我海军舰艇立即以21nmile/h的速度前去营救,求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间.
思维启迪:
本题中所涉及的路程在不断变化,但舰艇和渔轮相遇时所用时间相等,先设出所用时间t,找出等量关系,然后解三角形.
解 如图所示,根据题意可知AC=10,∠ACB=120°,设舰艇靠近渔轮
所需的时间为th,并在B处与渔轮相遇,则AB=21t,BC=9t,在△ABC
中,根据余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos120°,所以212t2=102
+81t2+2×10×9t×,即360t2-90t-100=0,解得t=或t=-(舍去).所以舰艇靠
近渔轮所需的时间为h.此时AB=14,BC=6.
在△ABC中,根据正弦定理得=,
所以sin∠CAB==,
即∠CAB≈21.8°或∠CAB≈158.2°(舍去).
即舰艇航行的方位角为45°+21.8°=66.8°.
所以舰艇以66.8°的方位角航行,需h才能靠近渔轮.
探究提高 对于和航行有关的问题,要抓住时间和路程两个关键量,解三角形时将各种关系集中在一个三角形中利用条件.
如图所示,位于A处的信息中心获悉:
在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险,在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船,现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB前往B处救援,则cosθ等于
( )
A.B.C.D.
答案 B
解析 如图所示,在△ABC中,AB=40,AC=20,∠BAC=120°,由
余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos120°=2800,所以BC=
20.
由正弦定理,得
sin∠ACB=·sin∠BAC=.
由∠BAC=120°,知∠ACB为锐角,故cos∠ACB=.
故cosθ=cos(∠ACB+30°)
=cos∠ACBcos30°-sin∠ACBsin30°=.
正、余弦定理在实际问题中的应用
典例:
(12分)如图,在海岸A处发现北偏东45°方向,距A处(-1)海里
的B处有一艘走私船.在A处北偏西75°方向,距A处2海里的C处
的我方缉私船奉命以10海里/小时的速度追截走私船,此时走私船
正以10海里/小时的速度,以B处向北偏东30°方向逃窜.问:
缉私
船沿什么方向行驶才能最快截获走私船?
并求出所需时间.
审题视角
(1)分清已知条件和未知条件(待求).
(2)将问题集中到一个三角形中,如△ABC和△BCD.
(3)利用正弦定理或余弦定理求解.
规范解答
解 设缉私船应沿CD方向行驶t小时,才能最快截获(在D点)走私船,则CD=10t(海里),BD=10t(海里),[1分]
在△ABC中,由余弦定理,有
BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos∠BAC
=(-1)2+22-2(-1)·2·cos120°=6.
∴BC=(海里).[3分]
又∵=,
∴sin∠ABC===,
∴∠ABC=45°,∴B点在C点的正东方向上,
∴∠CBD=90°+30°=120°,[5分]
在△BCD中,由正弦定理,得=,
∴sin∠BCD===.
∴∠BCD=30°,∴缉私船沿北偏东60°的方向行驶.[8分]
又在△BCD中,∠CBD=120°,∠BCD=30°,
∴D=30°,∴BD=BC,即10t=.
∴t=小时≈15(分钟).[11分]
∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶,才能最快截获走私船,大约需要15分钟.[12分]
答题模板
解斜三角形应用题的一般步骤为
第一步:
分析——理解题意,分清已知与未知,画出示意图;
第二步:
建模——根据已知条件与求解目标,把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中,建立一个解斜三角形的数学模型;
第三步:
求解——利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形,求得数学模型的解;
第四步:
检验——检验上述所求的解是否符合实际意义,从而得出实际问题的解.
温馨提醒
(1)由实际出发,构建数学模型是解应用题的基本思路.如果涉及三角形问题,我们可以把它抽象为解三角形问题进行解答,之后再还原成实际问题,即利用上述模板答题.
(2)本题的易错点:
不能将已知和待求量转化到同一个三角形中,无法运用正、余弦定理求解.
方法与技巧
1.合理应用仰角、俯角、方位角、方向角等概念建立三角函数模型.
2.把生活中的问题化为二维空间解决,即在一个平面上利用三角函数求值.
3.合理运用换元法、代入法解决实际问题.
失误与防范
在解实际问题时,应正确理解如下角的含义.
1.方向角——从指定方向线到目标方向线的水平角.
2.方位角——从正北方向线顺时针到目标方向线的水平角.
3.坡度——坡面与水平面所成的二面角的正切值.
4.仰角与俯角——与目标视线在同一铅直平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线在水平视线上方时称为仰角,目标视线在水平视线下方时称为俯角.
A组 专项基础训练
(时间:
35分钟,满分:
57分)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.如果在测量中,某渠道斜坡的坡度为,设α为坡角,那么cosα等于( )
A.B.C.D.
答案 B
解析 因为tanα=,所以cosα=.
2.有一长为1的斜坡,它的倾斜角为20°,现高不变,将倾斜角改为10°,则斜坡长为( )
A.1B.2sin10°
C.2cos10°D.cos20°
答案 C
解析 如图,∠ABC=20°,
AB=1,∠ADC=10°,
∴∠ABD=160°.
在△ABD中,由正弦定理得=,
∴AD=AB·==2cos10°.
3.一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱,为了测量喷水柱喷出的水柱的高度,某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°,沿点A向北偏东30°前进100m到达点B,在B点测得水柱顶端的仰角为30°,则水柱的高度是( )
A.50mB.100mC.120mD.150m
答案 A
解析 设水柱高度是hm,水柱底端为C,则在△ABC中,∠A=60°,AC=h,AB=100,BC=h,根据余弦定理得,(h)2=h2+1002-2·h·100·cos60°,即h2+50h-5000=0,即(h-50)(h+100)=0,即h=50,故水柱的高度是50m.
4.如图,设A、B两点在河的两岸,一测量者在A所在的同侧河岸边选定一
点C,测出AC的距离为50m,∠ACB=45°,∠CAB=105°后,就可以计
算出A、B两点的距离为( )
A.50mB.50m
C.25mD.m
答案 A
解析 ∵∠ACB=45°,∠CAB=105°,
∴∠ABC=180°-105°-45°=30°.
在△ABC中,由正弦定理得=,
∴AB===50(m).
二、填空题(每小题5分,共15分)
5.甲、乙两楼相距20米,从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°,从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°,则甲、乙两楼的高分别是________________.
答案 20米、米
解析 如图,依题意有甲楼的高度为AB=20·tan60°=20(米),又CM=DB=20(米),∠CAM=60°,所以AM=CM·=(米),故乙楼的高度为CD=20-=(米).
6.一船以每小时15km的速度向东航行,船在A处看到一个灯塔M在北偏东60°方向,行驶4h后,船到B处,看到这个灯塔在北偏东15°方向,这时船与灯塔的距离为______km.
答案 30
解析 如图所示,依题意有
AB=15×4=60,∠MAB=30°,∠AMB=45°,
在△AMB中,
由正弦定理得=,解得BM=30(km).
7.如图,在四边形ABCD中,已知AD⊥CD,AD=10,AB=14,∠BDA
=60°,∠BCD=135°,则BC的长为________.
答案 8
解析 在△ABD中,设BD=x,则BA2=BD2+AD2-2BD·AD·cos∠BDA,即142=x2+102-2·10x·cos60°,整理得x2-10x-96=0,解之得x1=16,x2=-6(舍去).
在△BCD中,由正弦定理:
=,
∴BC=·sin30°=8.
三、解答题(共22分)
8.(10分)如图所示,测量河对岸的塔高AB时,可以选与塔底B在同一水平面
内的两个观测点C与D,测得∠BCD=15°,∠BDC=30°,CD=30m,并在
点C处测得塔顶A的仰角为60°,求塔高AB.
解 在△BCD中,∠CBD=180°-15°-30°=135°,
由正弦定理,得=,
所以BC==15(m).
在Rt△ABC中,AB=BC·tan∠ACB=15tan60°
=15(m).所以塔高AB为15m.
9.(12分)如图,在△ABC中,已知∠B=45°,D是BC边上的一点,AD
=10,AC=14,DC=6,求AB的长.
解 在△ADC中,AD=10,
AC=14,DC=6,
由余弦定理得cos∠ADC=
==-,
∴∠ADC=120°,∴∠ADB=60°.
在△ABD中,AD=10,∠B=45°,∠ADB=60°,
由正弦定理得=,
∴AB====5.
B组 专项能力提升
(时间:
25分钟,满分:
43分)
一、选择题(每小题5分,共15分)
1.在△ABC中,已知∠A=45°,AB=,BC=2,则∠C等于( )
A.30°B.60°C.120°D.30°或150°
答案 A
解析 利用正弦定理可得=,
∴sinC=,∴∠C=30°或150°.
又∵∠A=45°,且∠A+∠B+∠C=180°,
∴∠C=30°,故选A.
2.某人向正东方向走xkm后,向右转150°,然后朝新方向走3km,结果他离出发点恰好是km,那么x的值为( )
A.B.2
C.或2D.3
答案 C
解析 如图所示,设此人从A出发,则AB=x,BC=3,AC=,∠ABC
=30°,
由余弦定理得()2=x2+32-2x·3·cos30°,
整理,得x2-3x+6=0,解得x=或2.
3.一艘海轮从A处出发,以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行,30分钟后到达B处,在C处有一座灯塔,海轮在A处观察灯塔,其方向是南偏东70°,在B处观察灯塔,其方向是北偏东65°,那么B,C两点间的距离是( )
A.10海里B.10海里
C.20海里D.20海里
答案 A
解析 如图,易知,在△ABC中,AB=20,∠CAB=30°,∠ACB=45°,根据正弦定理得=,解得BC=10(海里).
二、填空题(每小题5分,共15分)
4.一船由B处向正北方向航行,看见正西方向有相距10海里的两个灯塔C、D恰好与它在一条直线上,继续航行半小时后到达A处,看见灯塔C在它的南偏西60°方向,灯塔D在它的南偏西75°方向,则这艘船的速度是______海里/小时.
答案 10
解析 如图所示,依题意有∠BAC=60°,∠BAD=75°,所以∠CAD=∠CDA=15°,从而CD=CA=10,在直角三角形ABC中,得AB=5,于是这艘船的速度是=10(海里/小时).
5.某路边一树干被大风吹断后,折成与地面成45°角,树干也倾斜为与地面成75°角,树干底部与树尖着地处相距20米,则折断点与树干底部的距离是__________米.
答案
解析 如图,设树干底部为O,树尖着地处为B,折断点为A,
则∠ABO=45°,∠AOB=75°,∴∠OAB=60°.
由正弦定理知,=,
∴AO=(米).
6.在△ABC中,D为边BC上一点,BD=DC,∠ADB=120°,AD=2.若△ADC的面积为3-,则∠BAC=_____.
答案 60°
解析 S△ADC=×2×DC×=3-,
解得DC=2(-1),
∴BD=-1,BC=3(-1).
在△ABD中,AB2=4+(-1)2-2×2×(-1)×cos120°=6,∴AB=.
在△ACD中,AC2=4+[2(-1)]2-2×2×2(-1)×cos60°=24-12,
∴AC=(-1),则cos∠BAC==,
∴∠BAC=60°.
三、解答题
7.(13分)如图,A、B、C、D都在同一个与水平面垂直的平面内,B、D
为两岛上的两座灯塔的塔顶.测量船于水面A处测得B点和D点的仰
角分别为75°、30°,于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°,AC
=0.1km.试探究图中B、D间距离与另外哪两点间距离相等,
然后求B、D的距离(计算结果精确到0.01km,≈1.414,≈2.449).
解 在△ACD中,∠DAC=30°,
∠ADC=60°-∠DAC=30°,所以CD=AC=0.1.
又∠BCD=180°-60°-60°=60°,
故CB是△CAD底边AD的中垂线,所以BD=BA.
在△ABC中,=,
所以AB==,
即BD=≈0.33(km).
故B、D的距离约为0.33km.
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