高中数学第一章计数原理13第1课时组合与组合数公式学案苏教版选修231031383.docx

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高中数学第一章计数原理13第1课时组合与组合数公式学案苏教版选修231031383

第1课时　组合与组合数公式

学习目标

　1.理解组合及组合数的概念.2.能利用计数原理推导组合数公式，并会应用公式解决简单的组合问题．

知识点一　组合的概念

思考　①从3,5,7,11中任取两个数相除；

②从3,5,7,11中任取两个数相乘．

以上两个问题中哪个是排列？

①与②有何不同特点？

梳理　一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素____________，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．

知识点二　组合数

从3,5,7,11中任取两个数相除，

思考1　可以得到多少个不同的商？

思考2　如何用分步计数原理求商的个数？

思考3　你能得出C的计算公式吗？

梳理　组合数及组合数公式

组合数定义及表示

从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的________________，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号______表示．

组合数

乘积形式

C＝________________________

公式

阶乘形式

C＝________________

性质

C＝________

C＝________＋________

备注

①n，m∈N*且m≤n；②规定C＝________

类型一　组合概念的理解

例1　判断下列各事件是排列问题还是组合问题．

（1）8个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？

（2）8个朋友相互各写一封信，一共写了多少封信？

（3）从1,2,3，…，9这九个数字中任取3个，组成一个三位数，这样的三位数共有多少个？

（4）从1,2,3，…，9这九个数字中任取3个，组成一个集合，这样的集合有多少个？

反思与感悟　判断一个问题是否是组合问题的流程

跟踪训练1　给出下列问题：

（1）从a，b，c，d四名学生中选2名学生完成一件工作，有多少种不同的选法？

（2）从a，b，c，d四名学生中选2名学生完成两件不同的工作，有多少种不同的选法？

（3）a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需赛多少场？

（4）a，b，c，d四支足球队争夺冠亚军，有多少种不同的结果？

在上述问题中，________是组合问题，________是排列问题．

类型二　组合的列举问题

引申探究

若将本例中的a，b，c，d，e看作铁路线上的5个车站，则这条线上共需准备多少种车票？

多少种票价？

例2　从5个不同的元素a，b，c，d，e中取出2个，列出所有的组合为________________________________________________________________________．

反思与感悟　借助“字典排序法”列出一个具体问题的组合，直观、简洁，而且避免了重复或遗漏，但需注意：

若用“树状图法”，当前面的元素写完后，后面不能再出现该元素，这是与排列问题的一个不同之处．

跟踪训练2　写出从A，B，C，D，E5个元素中，依次取3个元素的所有组合．

类型三　组合数公式及性质的应用

例3　

（1）计算C－C·A；

（2）求证：

C＝C.

反思与感悟　

（1）涉及具体数字的可以直接用公式C＝＝计算．

（2）涉及字母的可以用阶乘式C＝计算．

（3）计算时应注意利用组合数的两个性质：

①C＝C.②C＝C＋C.

跟踪训练3　

（1）计算C＋C＝________.

（2）计算C＋C＋C＋…＋C的值为________．

例4　

（1）已知－＝，求C＋C；

（2）解不等式：

C>C.

反思与感悟　

（1）解答此类题目易出现忽略根的检验而产生增根的错误，并且常因忽略n∈N*而导致错误．

（2）与排列组合有关的方程或不等式问题要用到排列数、组合数公式，以及组合数的性质，求解时，要注意由C中的m∈N*，n∈N*，且n≥m确定m、n的范围，因此求解后要验证所得结果是否适合题意．

跟踪训练4　解方程3C＝5A.

1．给出下列问题：

①从甲、乙、丙3名同学中选出2名分别去参加2个乡镇的社会调查，有多少种不同的选法？

②有4张电影票，要在7人中选出4人去观看，有多少种不同的选法？

③某人射击8枪，击中4枪，且命中的4枪均为2枪连中，则不同的结果有多少种？

其中组合问题的个数是________．

2．集合M＝{x|x＝C，n≥0且n∈N}，集合Q＝{1,2,3,4}，则M∩Q＝________.

3．满足方程Cx2－x16＝C的x值为________．

4．不等式C

5．从7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动，若每天安排3人，则不同的安排方案共有________种．（用数字作答）

1．排列与组合的联系与区别

（1）联系：

二者都是从n个不同的元素中取m（m≤n）个元素．

（2）区别：

排列问题中元素有序，组合问题中元素无序．

2．关于组合数的计算

（1）涉及具体数字的可以直接用公式C＝＝计算．

（2）涉及字母的可以用阶乘式C＝计算．

答案精析

问题导学

知识点一

思考　①是排列，①中选取的两个数是有序的，②中选取的两个数是无序的．

梳理　并成一组

知识点二

思考1　A＝4×3＝12.

思考2　第1步，从这四个数中任取两个数，有C种方法；第2步，将每个组合中的两个数排列，有A种排法．由分步计数原理，可得商的个数为CA＝12.

思考3　因为A＝CA，所以C＝＝6.

梳理　所有组合的个数　C　　　C　C　C　1

题型探究

例1　解　

（1）每两人握手一次，无顺序之分，是组合问题．

（2）每两人相互写一封信，是排列问题，因为发信人与收信人是有顺序区别的．

（3）是排列问题，因为取出3个数字后，如果改变这3个数字的顺序，便会得到不同的三位数．

（4）是组合问题，因为取出3个数字后，无论怎样改变这3个数字的顺序，其构成的集合都不变．

跟踪训练1　

（1）（3）　

（2）（4）

解析　

（1）2名学生完成的是同一件工作，没有顺序，是组合问题．

（2）2名学生完成两件不同的工作，有顺序，是排列问题．

（3）单循环比赛要求每两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题．

（4）冠亚军是有顺序的，是排列问题．

例2　ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de

解析　要想列出所有组合，做到不重不漏，先将元素按照一定顺序排好，然后按顺序用图示的方法将各个组合逐个地标示出来．如图所示．

引申探究

解　因为“a站到b站”与“b站到a站”车票是不同的，故是排列问题，有A＝20（种）．但票价与顺序无关，“a站到b站”与“b站到a站”是同一种票价，故是组合问题，因为“a站到b站”与“b站到a站”车票是不同的，但票价一样，所以票价的种数是车票种数的一半，故共有×20＝10（种）不同的票价．

跟踪训练2　解　所有组合为ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE.

例3　

（1）解　原式＝C－A

＝－7×6×5

＝210－210＝0.

（2）证明　因为右边＝C

＝·

＝＝C，

左边＝C，所以左边＝右边，所以原式成立．

跟踪训练3　

（1）5150　

（2）C－1

解析　

（1）C＋C＝C＋C

＝＋200＝5150.

（2）C＋C＋C＋…＋C

＝C＋C＋C＋C＋…＋C－C

＝C＋C＋…＋C－1＝…

＝C＋C－1＝C－1.

例4　解　

（1）∵－＝，

∴－

＝，

即－

＝.

∴1－＝，

即m2－23m＋42＝0，解得m＝2或21.

∵0≤m≤5，∴m＝2，

∴C＋C＝C＋C＝C＝84.

（2）由C>C，得

⇒⇒

又n∈N*，∴该不等式的解集为{6,7,8,9}．

跟踪训练4　解　原式可变形为3C＝5A，

即

＝5（x－4）（x－5），

所以（x－3）（x－6）＝5×4×2＝8×5.

所以x＝11或x＝－2（舍去负根）．

经检验符合题意，所以方程的解为x＝11.

当堂训练

1．2　2.{1,4}　3.1或3　4.{3,4,5,6,7}

5．140

精美句子

1、善思则能“从无字句处读书”。

读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。

读大海，读出了它气势磅礴的豪情。

读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。

  2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。

幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。

幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。

幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。

幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。

幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。

3、大自然的语言丰富多彩：

从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。

 4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。

鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。

矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。

蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。

航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。

5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。

 井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。

笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。

山中的石！

当你背靠群峰时，意志就坚了。

水中的萍！

当你随波逐流后，根基就没了。

空中的鸟！

当你展翅蓝天中，宇宙就大了。

空中的雁！

当你离开队伍时，危险就大了。

地下的煤！

你燃烧自己后，贡献就大了

6、朋友是什么？

朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。

朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引向阳光的地带；朋友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。

7、一粒种子，可以无声无息地在泥土里腐烂掉，也可以长成参天的大树。

一块铀块，可以平庸无奇地在石头里沉睡下去，也可以产生惊天动地的力量。

一个人，可以碌碌无为地在世上厮混日子，也可以让生命发出耀眼的光芒。

 8、青春是一首歌，她拨动着我们年轻的心弦；青春是一团火，她点燃了我们沸腾的热血； 青春是一面旗帜，她召唤着我们勇敢前行；青春是一本教科书，她启迪着我们的智慧和心灵。

精美句子

1、善思则能“从无字句处读书”。

读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。

读大海，读出了它气势磅礴的豪情。

读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。

  2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。

幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。

幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。

幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。

幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。

幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。

3、大自然的语言丰富多彩：

从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。

 4、