直线的倾斜角与斜率.docx
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直线的倾斜角与斜率
直线的倾斜角与斜率◎
撰稿:
代立责编:
丁会敏
一、目标认知Ss|
学习目标:
強
i•了解直线倾斜角的概念,掌握直线倾斜角的围;
2•理解直线斜率的概念,理解各倾斜角是-|:
|:
时的直线没有斜率;
3•已知直线的倾斜角(或斜率),会求直线的斜率(或倾斜角);
4.掌握经过两点1和:
的直线的斜率公式:
〔7(1'=);
5.熟练掌握两条直线平行与垂直的充要条件
重点:
闔
1•直线的倾斜角和斜率的概念;
2.两条直线平行和垂直的条件
难点:
壺i
1•直线斜率存在与不存在的分类讨论
2•两直线的平行与垂直问题转化与两直线的斜率的关系问题
二、知识要点梳理殉知识点一:
直线的倾斜角目
平面直角坐标系中,对于一条与二轴相交的直线,如果把卞轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为匸,则门叫做直线的倾斜角•
规定:
当直线和卞轴平行或重合时,直线倾斜角为“,所以,倾斜角的围是
0B笛化<1呂0’
要点诠释:
1.要清楚定义中含有的三个条件
1直线向上方向;
2工轴正向;
3小于-亠的角•
2.从运动变化观点来看,直线的倾斜角是由-轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角•
3.倾斜角®的围是J,".当」「时,直线与x轴平行或与x轴重合.
4.直线的倾斜角描述了直线的倾斜程度,每一条直线都有惟一的倾斜角和它对应
5.已知直线的倾斜角不能确定直线的位置,但是,直线上的一点和这条直线的倾斜角可
以唯一确定直线
的位置.
知识点二:
直线的斜率富
表示,即
倾斜角不是?
厂的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率,常用k=tanor
要点诠释:
1.当直线■'与x轴平行或重合时,=0°,k=tanO°=0;
2.直线'与x轴垂直时,二=90°,k不存在.
由此可知,一条直线的倾斜角耳一定存在,但是斜率k不一定存在
知识点三:
斜率公式亦
已知点「一-、二「」,且丁与t轴不垂直,过两点□|丁」、二」-;的
—匹二匹
直线的斜率公式.
要点诠释:
1.对于上面的斜率公式要注意下面五点:
⑴当X1=X2时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角上=90°,直线与x轴垂直;
(2)k与Pi、F2的顺序无关,即yi,y2和xi,X2在公式中的前后次序可以同时交换,但分子与分母不能交
换;
(3)斜率k可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得;
⑷当y=y2时,斜率k=0,直线的倾斜角巴=0°,直线与x轴平行或重合;
(5)求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到.
2.斜率公式的用途:
由公式可解决下列类型的问题:
(1)由I、・点的坐标求:
的值;
(2)已知及中的三个量可求第四个量;
(3)已知^及_的横坐标(或纵坐标)可求;
⑷证明三点共线.
知识点四:
两直线平行耘
设两条不重合的直线1
〔的斜率分别为:
<若jJ,则1与匚的倾斜角①与匚相
等•由-J,可得"
=t购屯即上L=E
因此,若-,则1匚
反之,若Q-G,则)"
要点诠释:
1.公式:
•丄成立的前提条件是①两条直线的斜率存在分别为:
②
丄1;不重合;
2.当两条直线的斜率都不存在且不重合时,〔二」的倾斜角都是工:
,则二.
知识点五:
两直线垂直…
设两条直线的斜率分别为'-.若:
I,则-.
要点诠释:
1.公式■--:
'^:
:
'■-'■:
:
成立的前提条件是两条直线的斜率都存在;
2.当一条垂直直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0时,两条直线也垂直.
三、规律方法指导阖
1•由斜率的定义可知,当^在'<|L;围时,直线的斜率大于零;当在’'J;围时,
直线的斜率小于零;当一「时,直线的斜率为零;当“一工「时,直线的斜率不存在•直线的斜
率与直线的倾斜角(刁’除外)为一一对应关系,且在-’和d围分别
与倾斜角的变
化方向一致,即倾斜角越大则斜率越大,反之亦然•因此若需在-f或
「°"围比较
倾斜角的大小只需比较斜率的大小即可,反之亦然.
2•直线的斜率可用于直线的平行(重合)、垂直等位置关系的判断,直线倾斜角的围、
大小的判断、
求解及直线方程的求解等.
3•我们在判断两直线的平行与垂直时,往往先判断直线的斜率是否存在,然后再根据
具体情况进行判
断;
4•判断两直线平行时,易忽略两直线重合的情况,需特别注意;
5.平行、垂直的判断中,斜率不存在的情况易忽略致错,需特别注意经典例题透析冏
类型一:
倾斜角与斜率的关系広
aw
.已知直线1的倾斜角的变化围为
7T7T)
'■求该直线斜率的变化围;厨
思路点拨:
已知角的围,通过正切函数的图像,可以求得斜率的围,反之,已知斜率的围,通过正切函数的图像,可以求得角的围
解析:
J3
t砂収w[计,J5)
总结升华:
在知道斜率的取值围求倾斜角的取值围,
或知道倾斜角的取值围求斜率的取值围时,可
利用1:
'':
在
上是增函数分别求解.当万;:
时,
尽E(芈”羽
时,二
cr=一
当<=-时,二二-;当叮不存在时,-
.反之,亦成立.
举一反三:
【变式】
(2010潍坊,模拟)直线
:
匸--的倾斜角的围是
A.
C.
打5tt
B.
D.
【答案】B
解析:
由直线F,
所以直线的斜率为
&co5a
tiSHjD=—p=—
设直线的倾斜角为',贝y{:
又因为
所以
zr
0-
u
L6_
L6丿
类型二:
斜率定义fel
•已知△ABC为正三角形,顶点A在x轴上,A在边BC的右侧,/BAC的平分线在x轴上,求边AB与AC所在直线的斜率.蛊
思路点拨:
本题关键点是求出边AB与AC所在直线的倾斜角,利用斜率的定义求出斜率
解析:
如右图,由题意知/BAOMOAC=30
•••直线AB的倾斜角为180°-30°=150°,直线AC的倾斜角为30°,
•kAB=tan150
-kAc=tan30°
总结升华:
在做题的过程中,要清楚倾斜角的定义中含有的三个条件①直线向上方向②卞轴正向③小于二丁的角,只有这样才能正确的求出倾斜角
举一反三:
【变式1】
如图,直线的斜率分别为h,则()
【答案】
7T
由题意,"则
本题选题意图:
对倾斜角亶变化时,:
如何变化的定性分析理解••••选B.
类型三:
斜率公式的应用铀
3•求经过点叔刚嗣,盹,册伽乜心1)直线的斜率并判断倾斜角为锐角还是钝角.曲
思路点拨:
已知两点坐标求斜率,直接利用斜率公式即可解析:
b-tnhb
k:
—=—
二经过两点的直线的斜率-3■*,
b
tana;=—
即-丿.
即当时,门为锐角,当出•;:
:
时,&为钝角.
总结升华:
b
t曲
本题求出,但L"的符号不能确定,我们通过确定上的符号来确定A的符号.
ae(0p―)朋
当:
、•时,-,为锐角;当’•时,二,为钝角•
举一反三:
【变式1】
过两点亠「二的直线的倾斜角为”丁,求上的值.
【答案】
由题意得:
直线』的斜率■卜二-,
上「旳—胁_2&-/+3_]
故由斜率公式--;L、订一、1
解得.或:
.
经检验^匸一-不适合,舍去
故.
【变式2】
咗为何值时,经过两点-(-W,6),口(1,-■)的直线的斜率是12.
【答案】
即当;一:
时,二,吕两点的直线的斜率是12.
.已知三点A(a,2)、B(3,7)、C(-2,-9a)在一条直线上,数a的值.盜思路点拨:
A,B,C三点共线•
如果过点AB,BC的斜率相等,那么
解析:
?
7-25?
7+丸
血二厂二芥7耳厂777
•••A、BC三点在一条直线上,
kAB=kAC.
5=7+%
3-a5
解之有丑=2^a=-
总结升华:
斜率公式可以证明三点共线,前提是他们有一个公共点且斜率相等
举一反三:
【变式1】
已知,丄’…:
,-•」三点,这三点是否在同一条直线上,为什么?
【答案】
经过
£两点直线的斜率--
经过
T两点的直线的斜率:
A-
所以
口,-'三点在同一条直线上.
【变式2】
已知直线的斜率:
—],「;•-,'「」,:
1是这条直线上的三个点,求疋和
【答案】
由已知,得
牡二幺.也二今
因为-二,□,」三点都在斜率为2的直线上,
-?
—=2^^=2
所以丄二,-
解得-=-,-1-
类型四:
两直线平行与垂直愆
.四边形曲饬的顶点为忒22+2血,瓦-2,2),巩4,2),
试判断四边形」=匚一的形状.國
思路点拨:
我们往往先证明这个四边形为平行四边形,
然后再证明平行四
证明一个四边形为矩形,边形的一个角为直角•
解析:
广三边所在直线的斜率
丁二边所在直线的斜率
-匚边所在直线的斜率
边所在直线的斜率
■%=如,灯匸=俎u,二肿I)CD,FCIIDA,即四边形祐CD为平行四边形.
=—x(—\[2)―—1
又,「肿一并,即四边形肿二为矩形.
总结升华:
证明不重和的的两直线平行,只需要他们的斜率相等,证明垂直,只需要他们斜率的乘
积为-1.
举一反三:
【变式1】
已知四边形y-的顶点为求证:
四边形
为矩形.
【答案】
由题意得匸五T边所在直线的斜率」J-•
边所在直线的斜率,
边所在直线的斜率,
<■';■边所在直线的斜率“J,
所以四边形为平行四边形,
又因为,|_L_I
即平行四边形'为矩形.
【变式2】
已知亠;,D,三点,求点匚,使直线工一-二,且—•「.
【答案】
设点二的坐标为:
’“,由已知得直线二匸的斜率亠;
上一丄k一沁
“CT?
—二-t-卜q儿—
直线匚丄的斜率-1;直线二的斜率--;直线」二的斜率儿1
-2—x3=-l
z±L_2_
由①丄恥,且阳”M得“-1解得2°,丁"•
所以,点J的坐标是;」;•
【变式3】
(201112)若直线与直线互相垂直,则实数咗
【答案】
因为直线’=与直线’:
「|互相垂直,所以匚亠一「,所以
学习成果测评
基础达标:
1、下列说法中正确的是()
A.—条直线和x轴的正方向所成的正角,叫做这条直线的倾斜角
B.直线的倾斜角巴的取值围是第一或第二象限角.
C.和x轴平行的直线,它的倾斜角为180°
D.每一条直线都存在倾斜角,但并非每一条直线都存在斜率
2、(2011夕卜国语学校二模)已知函数丿(—・;_.)的图象的一段圆弧(如图所
示),
0<<1
屯!
4、(2011外国语学校二模
8)将一坐标纸折叠一次,使点(
10,0)与'■■■重合,则
D.前三个判断都不正确
1
3、过点M(-2,a),N(a,4)的直线的斜率为-,则a等于().
A.-8B.10C.2D.4
与点
(72)重合的点是()
A.
(4,-2)
5、(2010,模拟)设直线「与T轴的交点是P,且倾斜角为门,若将此直线绕点P按逆
时针方
向旋转45°,得到直线的倾斜角为二十一〒,则().
6、直线'的倾斜角是斜率为
」的直线的倾斜角的
2倍,则'的斜率为()
7、(2010,模拟)若直线2经过点(口-Z-l)和卜门~2」)且与经过点(-2,1),斜率
2
为二
的直线垂直,则实数山的值为.
8、已知点P(3,2),点Q在x轴上,若直线PQ的倾斜角为150°,则点Q的坐标为
9、‘1经过点上(吩,1),占(-3,4),'丄经过点匚(1,喇),匚(-1,•丨•),当直线-
与:
平行时,
求叱的值.
10、已知…匚三点,试判断二丄-的形状.
11、如图,若图中直线
则()
A.ki B.k3 C.k3 D.ki 12、若直线.的倾斜角L满足-■■,则「的取值围是() 23' CO芒兰或兰 32 13、若直线'的斜率k=sin日,其倾斜角的取值围是. t的取值围是 2),若直线 14、若经过点A(1-t,1+t)和点B(3,2t)的直线的倾斜角为钝角,则实数 15、(2010丰台,模拟)已知线段PQ两端点的坐标分别为(-1,1)、 综合探究: 应 畑 匚的大小 畑炖 16、已知函数■''Lj',且则;, 关系为() 川町丄⑷推)畑佝心) P7吒V A.aD亡b.a匕匚 17、设直线'的斜率为函数-丄-二的最小值,求直线 y 18、已知实数满足’,当[乞工注时,求-.的最大值与最小值• 19、在直角梯形ABCD中,已知A(-5,-10),B(15,0),C(5,10),AD是腰且垂直于两底,求顶点D的坐标. 答案与解析: 蠢| 基础达标: 皿 1、【答案】D 【解析】一条直线向上的方向和x轴的正方向所成的正角,叫做这条直线的倾斜角; 直线的倾斜角上的取值围是「‘耳. 2、【答案】C 迪g 【解析】因为二J■-可视为曲线上两点'-■■■: -;与原点连线的 斜率, 7(^1)、g A作图易得〔<. 3、【答案】B 4-说1 =一— 【解析】由题意: -,解得公二厂. 4、【答案】A 【解析】由条件知以(10,0)和•-为端点的线段的垂直平分线为」'', 则求与点重合的点即为求点•戮一关于直线」"•的对称点,求得为丄". 5、【答案】D 【解析】解答此题应紧扣直线的倾斜角的取值围, 还要注意与x轴相交的直线的倾斜角不能为0°, Fo*<^<180" 所以有 6、【答案】B 2 7、【答案】- 【解析】由于直线l与经过点(-2,1)且斜率为的直线垂直, ―IT1 心= 8【答案】 【解析】设点Q的坐标为■■■'■,由题意, 2-0 3-衙 =tan.l50°= 解得 所以点Q的坐标为1'1' 廉+1—称 -1-1 31 ZZ——— -3—W32 10、解: 」: 二边所在直线的斜率-, 三匚边所在直线的斜率'‘人 即_亠—匸J' 所以二•二-是直角三角形. 能力提升: 答案】 11、 【解析】 ,,0<-<7F 设直线;--•的倾斜角分别为1^-,则- 根据正切函数的图像可得: = 12、 【答案】 【解析】倾斜角的围是-「'•,由正切函数的图像可知 故选C. 13、【答案】 【解析】 由于•-: 二匚一-,所以I一'■一•,根据正切函数的图像, 倾斜角的取值围是 14、【答案】 【解析】 -2 因为经过点A(1-t 所以过点A(1-t, 1+t)和点B(3,2t)的直线的倾斜角为钝角, 1+t)和点B(3,2t)的直线的斜率小于0, 即] 解得-2 15、【解析】 解法一: 直线'11,,b■恒过点A(0,-1), %二 -1-2 U-2 -丄/-1<-2 •叮二或< 又n=0时,直线''■■-1"与线段PQ有交点, 所求m的围是 y—]=—_(盖+1〕 解法二: 过P、Q两点的直线方程为- 14 尸二二兀+_即- Im —— [,代入,宀15,整理得亲;勒 由已知 -1<- Im 吻十3 <2 ,解得 综合探究: 16、思路点拨: 该题从特殊值和常规方法都不容易找到解题的捷径,经仔细分析发现, 其结构具务--亠11的特点,由此联想到利用斜率进行求解. 解: 作出函数■1的大致图象. 由图⑶可知,曲线上各点与原点连线的斜率随‘的增大而减小.因为 a>b>c>0 WW 所以匸「•故选(B). 即最小值为-1,直线』的斜率为-1. 则直线•的倾斜角•一二 y_>-Q^=y 18、解: 为了利用斜率,应作恒等变形…1,即过原点的直线0P的斜率- 其中为点P的坐标•由于点满足关系式」匸,且二一,•二, 可知点P在线段AB上移动, 并且AB两点的坐标分别为A(2,4),B(3,2). 由于-: 的几何意义是直线0P的斜率,且 y三 所以-: 的最大值为2,最小值为. 19、解: 设」", 因为AD是腰且垂直于两底 所以-';,'' ^-10_0+10X-5=15+? ''”y+100+10 _i+515+5一 \=-11 'y=2 解得LZ
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