无锡新领航教育福建省各市中考数学分类解析 专题11圆.docx
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无锡新领航教育福建省各市中考数学分类解析专题11圆
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福建9市2012年中考数学试题分类解析汇编
专题11:
圆
一、选择题
1.(2012福建漳州4分)如图,一枚直径为4cm的圆形古钱币沿着直线滚动一周,圆心移动的距离是【】
A.2
cmB.4
cmC.8
cmD.16
cm
【答案】B。
【考点】弧长的计算。
【分析】由于直径为4cm的圆形古钱币沿着直线滚动一周,则圆心移动的距离等于圆的周长,因此,圆心
移动的距离是π×4=4π。
故选B。
2.(2012福建三明4分)如图,AB是⊙O的切线,切点为A,OA=1,∠AOB=600,则图中阴影部分的面积是【】
A.
B.
C.
D.
【答案】C。
【考点】切线的性质,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值,扇形面积。
【分析】∵AB是⊙O的切线,切点为A,∴OA⊥AB,即∠OAB=900。
∵在Rt△AOB中,OA=1,∠AOB=600,∴AB=OAtan∠AOB=
。
∴
。
故选C。
3.(2012福建福州4分)⊙O1和⊙O2的半径分别是3cm和4cm,如果O1O2=7cm,则这两圆的位置关系是【】
A.内含B.相交C.外切D.外离
【答案】C。
【考点】圆与圆的位置关系。
【分析】根据两圆的位置关系的判定:
外切(两圆圆心距离等于两圆半径之和),内切(两圆圆心距离等于两圆半径之差),相离(两圆圆心距离大于两圆半径之和),相交(两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差),内含(两圆圆心距离小于两圆半径之差)。
因此,
∵⊙O1、⊙O2的半径分别是3cm、4cm,O1O2=7cm,
又∵3+4=7,∴⊙O1和⊙O2的位置关系是外切。
故选C。
4.(2012福建泉州3分)如图,点O是△ABC的内心,过点O作EF∥AB,与AC、BC分别交于点E、F,则【】
A.EF>AE+BFB.EF 【答案】C。 【考点】三角形内心的性质,切线的性质,平行的性质,全等三角形的判定和性质。 【分析】如图,连接圆心O和三个切点D、G、H,分别过点E、F作AB的垂线交AB于点I、J。 ∵EF∥AB,∴∠HEO=∠IAE,EI=OD。 又∵OD=OH,∴EI=OH。 又∵∠EHO=∠AIE=900,∴△EHO≌△AIE(AAS)。 ∴EO=AE。 同理,FO=BF。 ∴AE+BF=EO+FO=EF。 故选C。 二、填空题 1.(2012福建厦门4分)如图,已知∠ABC=90°,AB=πr,BC= ,半径为r的⊙O从点A出发,沿A→B→C方向滚动到点C时停止.请你根据题意,在图上画出圆心O运动路径的示意图;圆心O运动的路程是▲. 【答案】2πr。 【考点】作图题,弧长的计算。 【分析】根据题意画出图形,将运动路径分为三部分: OO1,O1O2,O2O3,分别计算出各部分的长再相加即可: 圆心O运动路径如图: ∵OO1=AB=πr;O1O2= ;O2O3=BC= , ∴圆心O运动的路程是πr+ + =2πr。 2.(2012福建莆田4分)若扇形的圆心角为60°,弧长为2 ,则扇形的半径为 ▲ . 【答案】6。 【考点】弧长的计算。 【分析】利用扇形的弧长公式表示出扇形的弧长,将已知的圆心角及弧长代入,即可求出扇形的半径: ∵扇形的圆心角为60°,弧长为2π, ∴ ,即 ,解得,扇形的半径R=6。 3.(2012福建南平3分)如图,△ABC为⊙O的内接三角形,AB为⊙O的直径,点D在⊙O上,∠ADC=68°,则∠BAC=▲ 【答案】22°。 【考点】圆周角定理。 【分析】由在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,即可求得∠B的度数,又由直径所对的圆周角是直角,即可求得∠ACB=90°,继而求得答案: ∵∠ABC与∠ADC是AC对的圆周角,∴∠ABC=∠ADC=68°。 ∵AB为⊙O的直径,∴∠ACB=90°。 ∴∠BAC=90°-∠ABC=90°-68°=22°。 4.(2012福建漳州4分)如图,⊙O的半径为3cm,当圆心O到直线AB的距离为▲cm时,直线AB与⊙O相切. 【答案】3。 【考点】直线与圆的位置关系,切线的性质。 【分析】∵⊙O的半径为3cm,当圆心O到直线AB的距离等于半径时,直线AB与⊙O相切, ∴当圆心O到直线AB的距离为3cm时,直线AB与⊙O相切。 三、解答题 1.(2012福建厦门9分)已知: 如图,⊙O是△ABC的外接圆,AB为⊙O的直径,弦CD交AB于E, ∠BCD=∠BAC. (1)求证: AC=AD; (2)过点C作直线CF,交AB的延长线于点F,若∠BCF=30°,则结论“CF一定是⊙O的切线”是否正确? 若正确,请证明;若不正确,请举反例. 【答案】 (1)证明: ∵∠BCD=∠BAC,∴ = 。 ∵AB为⊙O的直径,∴AB⊥CD,CE=DE。 ∴AC=AD。 (2)解: 不正确,如当∠CAB=20°时,CF不是⊙O的切线。 如图,连接OC。 ∵OC=OA,∴∠OCA=20°。 ∵∠ACB=90°,∴∠OCB=70°。 又∵∠BCF=30°,∴∠FCO=100°。 ∴CO与FC不垂直.。 ∴此时CF不是⊙O的切线.。 【考点】圆周角定理,垂径定理,线段垂直平分线的性质,切线的判定。 【分析】 (1)连接AD.根据∠BCD=∠BAC,∠CBE=∠ABC,证出△CBE∽△ABC,可得∠BEC=90°,于是∠D=∠CBA=∠ACD,故AC=AD。 (2)不正确。 可令∠CAB=20°,连接OC,据此推出∠OCF≠90°,从而证出∠BCF=30°时“CF不一定是⊙O的切线”。 2.(2012福建莆田10分)如图,点C在以AB为直径的半圆O上,延长BC到点D,使得CD=BC,过点D作DE⊥AB于点E,交AC于点F,点G为DF的中点,连接CG、OF、FB. (1)(5分)求证: CG是⊙O的切线; (2)(5分)若△AFB的面积是△DCG的面积的2倍,求证: OF∥BC. 【答案】证明: (1)如图,连接OC, ∵AB为⊙O的直径,∴∠ACB=900。 ∵在Rt△DCF中,DG=FG,∴CG=DG=FG。 ∴∠CFG=∠FCG。 又∵∠CFG=∠AFE,∴∠FCG=∠AFE。 ∵OA=OC,∴∠EAF=∠OCA。 又∵DE⊥AB,∴∠EAF+∠AFE=90°。 ∴∠OCA+∠FCG=90°,即∠GCO=90°。 又∵OC是⊙O的半径,∴CG为⊙O的切线。 (2)∵DG=FG,∴ 。 ∵DC=CB,∴ ,∴ 。 又∵ ,∴ 。 ∴AF=FC。 又∵OA=OB,∴OF是△ABC的中位线。 ∴OF∥BC。 【考点】切线的判定,圆周角定理,直角三角形斜边的中线性质,三角形中位线的判定和性质。 【分析】 (1)连接OC.欲证CG是⊙O的切线,只需证明∠CGO=90°,即CG⊥OC。 (2)根据直角三角形ABC、直角三角形DCF的面积公式,以及直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求得AC=2AF;然后根据三角形中位线的判定和性质证得结论。 3.(2012福建南平10分)如图,直线l与⊙O交于C、D两点,且与半径OA垂直,垂足为H,已知OD=2,∠O=60°, (1)求CD的长; (2)在OD的延长线上取一点B,连接AB、AD,若AD=BD,求证: AB是⊙O的切线. 【答案】 (1)解: ∵OA⊥CD,∴H为CD的中点,即CH=DH。 在Rt△OHD中,∠O=60°,∴∠ODH=30°。 又OD=2,∴OH= OD=1。 根据勾股定理得: 。 ∴CD=2HD= 。 (2)证明: ∵OA=OD,∠O=60°,∴△AOD为等边三角形。 ∴OD=AD。 ∴∠OAD=∠ODA。 又∵AD=DB,∴∠DAB=∠DBA。 ∴∠OAD+∠ODA+∠DAB+∠DBA=2(∠ODA+∠DAB)=180°, ∴∠ODA+∠DAB=90°,即∠OAB=90°。 又∵OA是⊙O的半径,∴AB为圆O的切线。 【考点】切线的判定,勾股定理,垂径定理,含30°角直角三角形的性质,等边三角形的判定和性质,等腰三角形的性质。 【分析】 (1)由OA垂直于CD,利用垂径定理得到H为CD的中点,在Rt△ODE中,由∠O=60°求出 ∠ODH=30°,根据30°角所对的直角边等于斜边的一半,由OD的长求出OH的长,再利用勾股定理求出HD的长,由CD=2HD即可求出CD的长。 (2)由OA=OD且∠O=60°,得到△OAD为等边三角形,可得出AD=OD,利用等边对等角得到一对角相等,再由AD=DB,利用等边对等角得到一对角相等,又这四个角之和为180°,等量代换可得出∠OAB为直角,即OA垂直于AB,即可得到AB为圆O的切线,得证。 4.(2012福建宁德10分)如图,AB是⊙O的直径,过⊙O上的点C作它的切线交AB的延长线于点D,∠D=30º. (1)求∠A的度数; (2)过点C作CF⊥AB于点E,交⊙O于点F,CF=4 ,求弧BC的长度(结果保留 ). 【答案】解: (1)连接OC,∵CD切⊙O于点C,∴∠OCD=90°。 ∵∠D=30°,∴∠COD=60°。 ∵OA=OC。 ∴∠A=∠ACO=30°。 (2)∵CF⊥直径AB,CF=4 ,∴CE=2 。 ∴在Rt△OCE中, 。 ∴弧BC的长度为 。 【考点】切线的性质,直角三角形两锐角的关系,圆周角定理,垂径定理,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值,弧长的计算。 【分析】 (1)连接OC,则△OCD是直角三角形,可求出∠COD的度数;由于∠A与∠COD是同弧所对的圆周角与圆心角.根据圆周角定理即可求得∠A的度数。 (2)解Rt△OCE求出即可求出弧BC的长度。 5.(2012福建龙岩10分)如图,已知CB是⊙O的弦,CD是⊙O的直径,点A为CD延长线上一点,BC=AB,∠CAB=30°. (1)求证: AB是⊙O的切线; (2)若⊙O的半径为2,求 的长. 6.(2012福建三明10分)如图,在△ABC中,点O在AB上,以O为圆心的圆经过A,C两点,交AB于点D,已知∠A=α,∠B=β,且2α+β=900. (1)求证: BC是⊙O的切线;(5分) (2)若OA=6, ,求BC的长.(5分) 【答案】解: (1)证明: 如图,连接OC,则∠BOC=2∠A=2α, ∴∠BOC+∠B=2α+β=900。 ∴∠BCO=900,即OC⊥BC。 ∴BC是的⊙O切线。 (2)∵OC=OA=6,由 (1)知,OC⊥BC, 在Rt△BOC中, ,即 。 ∴OB=10。 ∴ 。 【考点】圆周角定理,等腰三角形的性质,三角形外角性质和内角和定理,锐角三角函数定义,勾股定理。 【分析】 (1)连接OC,则由等腰三角形等边对等角的性质和三角形外角性质得∠BOC=2∠A=2α,,从而由已知2α+β=900,根据三角形内角和定理可求得∠BCO=900,即OC⊥BC。 即BC是⊙O的切线。 (2)由已知OA=6, ,根据锐角三角函数定义和勾股定理可求BC的长。 7.(2012福建福州12分)如图,AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,AD和过C点的切线互相垂直, 垂足为D,AD交⊙O于点E. (1)求证: AC平分∠DAB; (2)若∠B=60º,CD=2 ,求AE的长. 【答案】解: (1)证明: 如图,连接OC, ∵CD为⊙O的切线,∴OC⊥CD。 ∴∠OCD=90°。 ∵AD⊥CD,∴∠ADC=90°。 ∴∠OCD+∠ADC=180°。 ∴AD∥OC。 ∴∠CAD=∠ACO。 ∵OA=OC,∴∠ACO=∠CAO。 ∴∠CAD=∠CAO,即AC平分∠DAB。 (2)∵AB为⊙O的直径,∴∠ACB=90°. 又∵∠B=60°,∴∠CAD=∠CAB=30°。 在Rt△ACD中,CD=2 ,∴AC=2CD=4 。 在Rt△ABC中,AC=4 ,∴AB= = =8。 连接OE, ∵∠EAO=2∠CAB=60°,OA=OE,∴△AOE是等边三角形。 ∴AE=OA= AB=4。 【考点】切线的性质,平行的判定和性质,三角形内角和定理,等腰三角形的性质,圆周角定理,相似三角形的判定和性质,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值,等边三角形的判定和性质。 【分析】 (1)连接OC,由CD为⊙O的切线,根据切线的性质得到OC垂直于CD,由AD垂直于CD,可 得出OC平行于AD,根据两直线平行内错角相等可得出∠CAD=∠ACO,再由OA=OC,利用等边对等 角得到∠ACO=∠CAO,等量代换可得出∠CAD=∠CAO,即AC为角平分线。 (2)由AB为圆O的直径,根据直径所对的圆周角为直角可得出∠ACB为直角,在Rt△ABC中, 由∠B的度数求出∠CAB的度数为30°,可得出∠CAD的度数为30°。 在Rt△ACD中,根据30°角所对的直角边等于斜边的一半,由CD的长求出AC的长,在Rt△ABC中,根据cos30°及AC的长,利用锐角三角函数定义求出AB的长,从而得出半径OE的长,由∠EAO为60°,及OE=OA,得到△AEO为等边三角形,可得出AE=OA=OE,即可确定出AE的长。
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