建模作业7.docx
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建模作业7
数学建模短学期作业7
1、某报童以每份0.03元的价格买进报纸,以0.05元的价格出售.根据
长期统计,报纸每天的销售量及百分率为
销售量
200
210
220
230
240
250
百分率
0.10
0.20
0.40
0.15
0.10
0.05
已知当天销售不出去的报纸,将以每份0.02元的价格退还报社.试确定报童每天买进报纸数量,使报童的平均总收入为最大?
解:
设报童每天买进报纸数量为x,报童的平均总收入为最大为y,售出一份报纸赚0.05-0.03=0.02元,退回提分报纸赔0.03-0.02=0.01元。
优化问题的目标函数应是长期的日平均收入,也就是求每天收入的期望。
设每天的最小购买量为BUYMIN,每天的最大购买量为BUYMAX,模拟时间为SIMUDAY,报童销售量为sell_amount,报童购买量为buy_amount,销售百分率为percentage,总平均利润为ave_profit,当天购买量为loop_buy,当天时间为loop_day。
首先定义一个函数文件,然后定义一个主函数文件:
函数文件,以GetProfit.m命名:
functionre=GetProfit(a,b)
ifa
re=a*(0.05-0.03);
else
re=b*(0.05-0.03)+(a-b)*(0.02-0.03);
end
主函数文件:
BUYMIN=200;
BUYMAX=250;
SIMUDAY=1.0e+5;
sell_amount=200:
10:
250;
percentage=[0.10.30.70.850.951];
buy_amount=0;
ave_profit=0;
forloop_buy=BUYMIN:
BUYMAX
sum_profit=0;
forloop_day=1:
SIMUDAY
index=find(percentage>=rand);
sum_profit=sum_profit+GetProfit(loop_buy,sell_amount(index
(1)));
end
buy_amount=[buy_amount,loop_buy];
ave_profit=[ave_profit,sum_profit/SIMUDAY];
end
在commandwindow中输入以下内容:
buy_amount
(1)=[];%第一个元素置空
ave_profit
(1)=[];
[val,id]=max(ave_profit)%显示最大平均收入val
buy=buy_amount(id)%显示在平均收入最大情况下的每天的购买量buy
plot(buy_amount,ave_profit,'*:
')
则有:
val=
4.2799
id=
21
buy=
220
所以报童每天应买进报纸数量为220,此时报童的平均总收入为最大。
2、混凝土的抗压强度随养护时间的延长而增加,现将一批混凝土作成12个试块,记录了养护日期x(日)及抗压强度y(kg/cm2)的数据:
养护时间x
2
3
4
5
7
9
12
14
17
21
28
56
抗压强度y
35
42
47
53
59
65
68
73
76
82
86
99
试求
型回归方程.
解:
在commandwindow中输入以下内容:
x=[234579121417212856]';
u=log(x);
y=[354247535965687376828699]';
p=[ones(12,1)u]
[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,p)
rcoplot(r,rint)
部分输出结果为:
b=
21.0058
19.5285
bint=
19.446322.5653
18.894320.1627
r=
0.4581
-0.4600
-1.0780
0.5643
-0.0065
1.0857
-1.5323
0.4574
-0.3342
1.5392
-0.0788
-0.6149
rint=
-1.29312.2093
-2.34821.4282
-2.89640.7403
-1.41732.5459
-2.06842.0554
-0.82402.9954
-3.25990.1953
-1.57362.4883
-2.35871.6902
-0.11233.1908
-2.02711.8696
-2.26431.0345
stats=
1.0e+003*
0.00104.70690.00000.0009
可得回归模型为y=21.0053+19.5287ln(x)。
3、在研究化学动力学反应过程中,建立了一个反应速度和反应物含量的数学模型,形式为
其中
是未知参数,
是三种反应物(氢,n戊烷,异构戊烷)的含量,y是反应速度.今测得一组数据如下表,试由此确定参数
,并给出置信区间.其中
的参考值为(1,0.05,0.02,0.1,2).
序号
反应速度y
氢x1
n戊烷x2
异构戊烷x3
1
8.55
470
300
10
2
3.79
285
80
10
3
4.82
470
300
120
4
0.02
470
80
120
5
2.75
470
80
10
6
14.39
100
190
10
7
2.54
100
80
65
8
4.35
470
190
65
9
13.00
100
300
54
10
8.50
100
300
120
11
0.05
100
80
120
12
11.32
285
300
10
13
3.13
285
190
120
解:
在commandwindow中输入以下内容:
y=[8.553.794.820.022.7514.392.544.3513.008.500.0511.323.13]'
x1=[470285470470470100100470100100100285285]'
x2=[3008030080801908019030030080300190]'
x3=[1010120120101065655412012010120]'
x=[x1x2x3]
f=@(beta,x)(beta
(1).*x(:
2)-(1/beta(5)).*x(:
3)).*((1+beta
(2).*x(:
1)+beta(3).*x(:
2)+beta(4).*x(:
3))).^(-1)
beta0=[10.050.020.12]'
opt=optimset('TolFun',1e-3,'TolX',1e-3)
[beta,bint]=nlinfit(x,y,f,beta0,opt)
我们就可得到
4、某人记录了21天中每天使用空调器的时间和使用烘干器的次数,并监测电表以计算出每天的耗电量,数据见下表,试研究耗电量(KWH)与空调器使用小时数(AC)和烘干器使用次数(DRYER)之间的关系,建立并检验回归模型,诊断是否有异常点.
序号1234567891011
KWH3563661794799366948278
AC1.54.55.02.08.56.013.58.012.57.56.5
DRYER12203311123
序号12131415161718192021
KWH65777562854357336533
AC8.07.58.07.512.06.02.55.07.56.0
DRYER1221103010
解:
在commandwindow中输入以下内容:
y=[356366179479936694827865777562854357336533]'
x1=[1.54.55.02.08.56.013.58.012.57.56.58.07.58.07.512.06.02.55.07.56.0]'
x2=[122033111231221103010]'
x=[ones(21,1)x1x2];
[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x)
rcoplot(r,rint)
s=(r'*r)^0.5
部分输出结果:
b=
8.1054
5.4659
13.2166
bint=
2.893313.3175
4.87616.0557
11.417715.0154
r=
5.4792
3.8649
4.1319
-2.0372
-0.2154
-1.5506
-2.1117
0.9508
4.3542
6.4671
-5.2836
-0.0492
1.4671
-3.2658
-0.3163
-1.9128
2.0992
-4.4199
-2.4349
2.6837
-7.9008
rint=
-1.556612.5150
-3.999811.7295
-3.747412.0112
-9.21075.1363
-7.92197.4912
-9.27236.1711
-9.28255.0591
-7.27579.1773
-2.863911.5723
-1.070314.0046
-12.57742.0103
-8.29008.1915
-6.72529.6595
-11.30214.7705
-8.57307.9405
-9.52995.7043
-5.67219.8705
-11.39322.5533
-10.10655.2367
-5.460510.8280
-14.6336-1.1681
stats=
0.9709300.24120.000015.4872
s=
16.6964
从残差图我们可以看出,最后一组数据与其他20组差异较大,将其删除,并对剩余20组进行回归分析。
在commandwindow中输入以下内容:
y=[3563661794799366948278657775628543573365]'
x1=[1.54.55.02.08.56.013.58.012.57.56.58.07.58.07.512.06.02.55.07.5]'
x2=[12203311123122110301]'
x=[ones(20,1)x1x2];
[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x)
rcoplot(r,rint)
s=(r'*r)^0.5
部分输出结果:
b=
9.7966
5.4160
12.5843
bint=
4.952814.6404
4.89125.9409
10.899714.2690
r=
4.4950
3.6626
3.9545
-3.6287
0.4140
-1.0458
-2.4976
0.2907
3.9185
6.4144
-4.7539
-0.7093
1.4144
-3.2936
-1.0013
-2.3735
0.7071
-4.0897
-3.8768
1.9987
rint=
-1.737910.7280
-3.274210.5993
-2.982710.8918
-9.61482.3574
-6.40737.2354
-7.90535.8136
-8.79433.7992
-7.00587.5873
-2.452510.2895
-0.063712.8925
-11.17311.6654
-7.99786.5793
-5.85588.6846
-10.37473.7875
-8.29416.2916
-9.06774.3207
-6.14307.5573
-10.22532.0460
-10.34742.5938
-5.23689.2343
stats=
0.9759343.87650.000012.0793
s=
14.3300
由两图分析得知,全部21组数据的回归方程为y=8.1054+5.4659x1+13.2166x2,标准差为:
s=16.6964去掉一组后的回归方程为y=9.7966+5.4160x1+12.5843x2,标准差为:
s=14.3300。
5、Logistic增长曲线模型和Gompertz增长曲线模型是计量经济学等学科中的两个常用模型,可以用来拟合销售量的增长趋势.记Logistic增长曲线模型为
,记Gompertz增长曲线模型为
.这两个模型中L的经济学意义都是销售量的上限,下表中给出的是某地区高压锅销售量(单位:
万台),
表7—4某地区高压锅销量(单位:
万台)
年份
t
y
年份
t
y
1981
0
43.65
1988
7
1238.75
1982
1
109.86
1989
8
1560.00
1983
2
187.21
1990
9
1834.29
1984
3
312.67
1991
10
2199.00
1985
4
496.58
1992
11
2438.89
1986
5
707.65
1993
12
2737.71
1987
6
960.25
1994
为给出此两模型的拟合结果,请考虑以下问题:
(1)两曲线模型是一个可线性化的模型吗?
如果给定L=3000,是否是一个可线性化的模型,如果是,试用线性化模型给出参数a,b和k的估计值;
(2)利用
(1)中所得到的a和k的估计值和L=3000作为Logistic模型的拟合初值,对Logistic模型做非线性回归;
(3)取初值
,拟合Gompertz模型,并与Logistic模型的结果进行比较.
解:
(1)
在commandwindow中输入以下内容:
t=0:
11;
y=[43.65109.86187.21312.67496.58707.56960.251238.751560.001824.292199.002438.89]
z=log(y);
[p,s]=polyfit(t,z,1);
k=p
(1),
a=p
(2),
y0=exp(a)
则有以下结果:
y=
1.0e+003*
0.04370.10990.18720.31270.49660.70760.96031.23881.56001.82432.19902.4389
k=
0.3435
a=
4.4913
y0=
89.2412
(2)
在commandwindow中输入以下内容:
y=[109.86187.21312.67496.58707.56960.251238.751560.001824.292199.00]
k1=[65.337754.166449.472339.761032.765427.658924.207418.767317.513713.9745]
k2=k1./100
z=log(y)
[p,s]=polyfit(y,k2,1)
[y,detal]=polyconf(p,y,s)
则有以下结果:
y=
1.0e+003*
Columns1through9
0.10990.18720.31270.49660.70760.96031.23881.56001.8243
Column10
2.1990
k1=
Columns1through9
65.337754.166449.472339.761032.765427.658924.207418.767317.5137
Column10
13.9745
k2=
Columns1through9
0.65340.54170.49470.39760.32770.27660.24210.18770.1751
Column10
0.1397
z=
Columns1through9
4.69925.23225.74516.20776.56186.86727.12197.35247.5089
Column10
7.6958
p=
-0.00020.5574
s=
R:
[2x2double]
df:
8
normr:
0.1875
y=
Columns1through9
0.53290.51570.48770.44680.39980.34350.28140.20990.1510
Column10
0.0675
detal=
Columns1through9
0.17110.16930.16670.16360.16130.16040.16150.16580.1715
Column10
0.1825
(3)
在commandwindow中输入以下内容:
t=0:
12;
y1=[43.65109.86187.21312.67496.58707.56960.251238.751560.001824.292199.002438.892737.71];
y2=3000./(1+30.01.*exp(-0.4574.*t));
plot(t,y1,'-.g')
holdon
plot(t,y2,'--b')
xlabel('生产年份t')
ylabel('高压锅销售量y')
title('Gompertz模型与Logistic模型')
则产生如下图像:
6、财政收入预测问题:
财政收入与国民收入、工业总产值、农业总产值、总人口、就业人口、固定资产投资等因素有关。
下表列出了1952-1981年的原始数据,试构造预测模型。
年份
国民收入(亿元)
工业总产值(亿元)
农业总产值(亿元)
总人口(万人)
就业人口(万人)
固定资产投资(亿元)
财政收入(亿元)
1952
598
349
461
57482
20729
44
184
1953
586
455
475
58796
21364
89
216
1954
707
520
491
60266
21832
97
248
1955
737
558
529
61465
22328
98
254
1956
825
715
556
62828
23018
150
268
1957
837
798
575
64653
23711
139
286
1958
1028
1235
598
65994
26600
256
357
1959
1114
1681
509
67207
26173
338
444
1960
1079
1870
444
66207
25880
380
506
1961
757
1156
434
65859
25590
138
271
1962
677
964
461
67295
25110
66
230
1963
779
1046
514
69172
26640
85
266
1964
943
1250
584
70499
27736
129
323
1965
1152
1581
632
72538
28670
175
393
1966
1322
1911
687
74542
29805
212
466
1967
1249
1647
697
76368
30814
156
352
1968
1187
1565
680
78534
31915
127
303
1969
1372
2101
688
80671
33225
207
447
1970
1638
2747
767
82992
34432
312
564
1971
1780
3156
790
85229
35620
355
638
1972
1833
3365
789
87177
35854
354
658
1973
1978
3684
855
89211
36652
374
691
1974
1993
3696
891
90859
37369
393
655
1975
2121
4254
932
92421
38168
462
692
1976
2052
4309
955
93717
38834
443
657
1977
2189
4925
971
94974
39377
454
723
1978
2475
5590
1058
96259
39856
550
922
1979
2702
6065
1150
97542
40581
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