最新全国二卷立体几何真题及模拟题.docx
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最新全国二卷立体几何真题及模拟题
立体几何(理科)
立体几何解题中常用的判定定理及性质定理
1•直线与平面平行的判定定理:
如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行.(线线平行=线面平行)
若a?
:
-,b?
:
-,a//b,则a//:
-.
2.直线与平面平行的性质定理:
如果一条直线和一个平面平行,过这条直线的任
一平面与此平面的交线与该直线平行.(线面平行=线线平行)
若a//a,a?
B,«?
b,则a//b.
3.直线与平面垂直的判定定理:
如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直,
则该直线与此平面垂直.
若m?
a,n?
a,m?
n=O,I丄m,I丄n,贝UI丄a.
4.直线与平面垂直的性质定理:
垂直于同一个平面的两条直线平行.
若a丄a,b±a,贝Ua//b.
5.平面与平面平行的判定定理:
如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个
平面,那么这两个平面平行.(线面平行=面面平行)
若a:
b:
-,a?
b=A,a/'■,b/'■,则:
//'■.
6.平面与平面平行的性质定理:
如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么
它们的交线平行.
若〉//'■,:
-G尸a,5尸b,则a//b.
7.两个平面垂直的判定定理:
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这
两个平面互相垂直.
若IX:
I,则[丄I
8.两个平面垂直的性质定理:
如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于
它们交线的直线垂直于另一个平面.
若:
•丄:
=I,a二:
;,a丄I,贝Ua丄:
.
空间角的计算
(1)两条异面直线所成角的求法
设直线a,b的方向向量为a,b,其夹角为9,则
平面a的法向量为n,直线I与平面a
(3)二面角的求法
①利用向量求二面角的大小,可以不作出平面角,如图所示,〈m,n〉即为
所求二面角的平面角.
②对于易于建立空间直角坐标系的几何体,求二面角的大小时,可以利用这
两个平面的法向量的夹角来求.
如图所示,二面角al-B,平面
a的法向量为ni,平面B的法向量为“2,
〈ni,n2〉=9,则
空间距离的计算
直线到平面的距离,两平行平面的距离均可转化为点到平面的距离.
点P到平面
a的距离,d=
(其中n为a的法向量,
M为a内任
点)•
空间角的范围
n
⑴异面直线所成的角(®:
Ov均;
n
(2)直线与平面所成的角(9:
OW花;
(3)二面角(9:
0<9 历年高考真题及解析 (2013课标全国U,理18)如图,直三棱柱ABC-AEG中,D,E分别是AB,BBi的 中点,AA=AC=CB=AB. 2 (1)证明: BG//平面ACD; (2)求二面角D-A,C—E的正弦值. 解: ⑴连结ACi交AiC于点F,则F为ACi中点.又D是AB中点,连结DF,则BCi//DF. 因为DF平面AiCD,BCi二平面AiCD,所以BCi//平面AiCD. 2 (2)由AC=CB=〒AB得,AC丄BC. 以C为坐标原点,CA的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系C—xyz. i 设CA=2,则Dd,O),E(0,2,i),Ai(2,0,2),CD二(i,i,O),CE二(0,2,i),CA二(2,0,2). 设n=虫,yi,zi)是平面AiCD的法向量, 则nCD7即xiyi", nCA,=0,纠2弓=0. 可取n=(1,—1,—1). 同理,设m是平面AiCE的法向量, …mCE=0, 则可取m=(2,1,—2). mCA;=0, 从而cos〈n,m〉=nm3, In||m|3 故sin〈n, m〉」. 3 求三棱锥E-ACD的体积. 即二面角D-A1C-E的正弦值为乎(2014课标全国U,理18)如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA丄 平面ABCD,E为PD的中点. (I)证明: PB//平面AEC; (U)设二面角D-AE-C为60°AP=1,AD=、、3, 解: (I) 设AC的中点为G,连接EG.在三角形PBD中,中位线EG//PB,且EG在平面AEC上,所以PB//平面AEC. (U)设CD=m,分别以,AB,AD,AP 为X,Y,Z 轴建立坐标系,则 lV31厂 A0,0,0),D3Q0),E(-p0,-),CC.3,m,0). •••AD=3,0,0),AE=^23,0,2),AC=(..3,m,0). 设平面ADE法向量为m=(x,,%,乙),则n,AD=0,n,AE=0, 解得一个ni=(0,1,0). 同理设平面ACE法向量为n2=(x2,y2,z2),则^AC=0,n^AE=0,解得一个n2=(m,-、..3,-、..3m). *■■■— 冗I|n2? n2|v31命砒曰3 cos=|cos 3|n21? |n2|Vm2+3+3m222 EFi设F为AD的中点,贝VPA//EF,且PA=二一,EF丄面ACD, 22 i-即为三棱锥E-ACD的高••••Ve-acd=2? S从CD? EF=丄? 1? ^? ..3? 丄二3. 332228 所以,三棱锥E-ACD的体积为— 8 (2015课标全国U,理19)如图,长方体 ABCDA\B1C1D1,AB=16,BC=10,AA=8,点E,F 分别在AB1,DQ1上,AE-UF=4.过点E,F的平面 : -与此长方体的面相交,交线围成一个正方形. (I)在图中画出这个正方形,不必说明画法和理由; (II)求直线AF与平面〉所成角的正弦值.解: (I)交线围成的正方形EHGF如图: (U)作EM屈,垂足为M,则AMAE1=4, EM二AA=8,因为EHGF为正方形,所以 EH二EF二BC=10.于是MH=-EH2-EM2=6, IhFG /? 所以AH=10.以D为坐标原点,DA的方向为x 轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系 D—xyz,贝UA(10,0,0,H(10,10,0),E(10,4,8), F(0,4,8), FE=(10,0,0), =(0,-6,8).设n=(x,y,z是平面EHGF的法向量,贝U匚二I ■' (2016课标全国U,理19)(本小题满分12分) 如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,AB=5,AC=6,点E,F分别 5 在AD,CD上,AE二CF二-,EF交BD于点H.将ADEF沿EF折到ADEF的位 4 置OD': =活0. (I)证明: DH_平面ABCD; (II)求二面角B-DA-C的正弦值. (I)证明: IAE二CF=-, 4 •••四边形ABCD为菱形,二AC_BD, •••EF_BD,IEF_DH,二EF_DH. •/AC=6,•AO=3; 又AB=5,AO_OB,•OB=4, •AE/I・2I2II2 …OHOD=1,DH二DH=3,ODOH一D'H, AO •D'H_OH. 又TOHIEF=H,•••D'H_面ABCD. (U)建立如图坐标系H_xyz. D B5,0,0,C1,3,0,D'0,0,3,A1,-3,0, LT ••Rj=3,_4,5. •sinV-^95 25 (2016课标全国川,理19) 如图,四棱锥P-ABCD中,PA丄底面ABCD, AD//BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线 p N M C 段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点. (I)证明: MN//平面PAB; (U)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值. 解: 2 (由已知得am=3AD=2,取BP的中点T,连接arn,由N为 1PC中点知TN//BC,TNBC=2. 2 又AD//BC,故TN平行且等于AM,四边形AMNT为平行四边形,于是 MN//AT. 因为AT平面PAB,MN二平面PAB,所以MN//平面PAB. (n)取BC的中点E,连结AE,由AB二AC得AE_BC,从而AE_AD, 且AE»AB2_BE2=AB2_严)2」5. \2 以A为坐标原点,AE的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,由题意知, PM 二(0,2,-4), 1,-2),AN=(乎,1,2). P(0,0,4),M(0,2,0),C(5,2,0),N谆,1,2), 2x-4z=0设n=(x,y,z)为平面PMN的法向量,则;翌0,即.5 nPN=0|——x+y—2z=0 LI2 可取n=(0,2,1), |nAN]8.15 于疋|cos: : n,AN| |n||AN|25 咼考模拟题 1.如图,已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD为菱形,PA丄平面ABCD,/ABC=60,E,F分别是BC,PC的中点. (1)证明: AE丄PD; (2)若PA=AB=2,求二面角E-AF-C的余弦值. 2.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,/DAB=60,PD丄平面ABCD,PD=AD=1,点E,F分别为AB和PD中点. (I)求证: 直线AF//平面PEC; (U)求PC与平面PAB所成角的正弦值. 3.在长方体ABCD-AiBiCiDi中,AB=2,AD=1,AAi=1,点E在棱AB上移动. (1)探求AE等于何值时,直线DiE与平面AAiDiD成45°角; (2)点E移动为棱AB中点时,求点E到平面AiDCi的距离. 高考模拟题答案 1. (1)证明: •••四棱锥P-ABCD,底面ABCD为菱形, /ABC=60,E,F分别是BC,PC的中点, •△ABC是等边三角形, •AE丄BC,•AE丄AD, •••PA丄平面ABCD,AE? 平面ABCD, •AE丄PA, •••AEHAD=A,•AE丄平面PAD, •••PD? 平面PAD,•AE丄PD. (2)解: 由 (1)知AE、AD、AP两两垂直, •••以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系, •••E,F分别为BC,PC的中点,PA=AB=2, •••A(0,0,0),B(迥-1,0),C(頂,1, D(0,2,0),P(0,
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