高考全国1卷理科数学试题与答案解析.docx
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高考全国1卷理科数学试题与答案解析
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绝密★启用前
2017年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
本试卷5页,23小题,满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
用2B铅笔将
试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;
如需要改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应
位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。
不按
以上要求作答无效。
4.考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:
本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目
要求的。
1.已知集合A={x|x<1},B={x|3x1},则
A.A
B{x|x
0}
B.
C.A
B{x|x
1}
D.
ABR
AB
2.如图,正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形
的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是
A.1
B.π
4
8
C.1
D.π
2
4
3.设有下面四个命题
p1:
若复数z满足1R,则zR;
z
p2:
若复数z满足z2R,则zR;
p3:
若复数z1,z2满足z1z2R,则z1z2;
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p4:
若复数z
R,则zR.
其中的真命题为
A.p1,p3
B.p1,p4
C.p2,p3
D.p2,p4
4.记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a4
a5
24,S6
48,则{an}的公差为
A.1
B.2
C.4
D.8
5.函数f(x)在(
)单调递减,且为奇函数.若
f
(1)
1,则满足1f(x2)
1的x的取值范围
是
A.[
2,2]
B.[1,1]
C.[0,4]
D.[1,3]
6.(1
12)(1x)6展开式中x2的系数为
x
A.15
B.20
C.30
D.35
7.某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为
2,俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为
A.10B.12C.14D.16
8.右面程序框图是为了求出满足3n-2n>1000的最小偶数n,那么在和两个空白框中,可以分别填入
A.A>1000和n=n+1
B.A>1000和n=n+2
C.A1000和n=n+1
D.A1000和n=n+2
9.已知曲线C1:
y=cosx,C2:
y=sin(2x+2π),则下面结论正确的是
3
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A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π个单位长度,得
6
到曲线C2
B.把C上各点的横坐标伸长到原来的
2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移
π
个单位长度,得
1
12
2
到曲线C
C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的
1倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移
π个单位长度,得
2
6
到曲线C2
D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的
1倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移
π个单位长度,得
2
12
到曲线C
2
2
=4x的焦点,过
F作两条互相垂直的直线
l,l,直线l
与C交于A、B两点,直
10.已知F为抛物线C:
y
1
1
2
线
l
2与
交于
、
两点,则|
|+|
|的最小值为
C
DE
AB
DE
A.16
B.14
C.12
D.10
11.设xyz为正数,且2x
3y
5z,则
A.2x<3y<5z
B.5z<2x<3y
C.3y<5z<2x
D.3y<2x<5z
12.几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件
.为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解
数学题获取软件激活码”的活动
.这款软件的激活码为下面数学问题的答案:
已知数列
1,1,2,1,2,
4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,⋯,其中第一项是
20,接下来的两项是20,21,再接下来的三项是
20,21,22,依此类推.求满足如下条件的最小整数N:
N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款
软件的激活码是
A.440
B.330
C.220
D.110
二、填空题:
本题共
4小题,每小题
5分,共20分。
13.已知向量a,b的夹角为60°,|a|=2,|b|=1,则|
a+2b|=.
x
2y
1
14.设x,y满足约束条件2xy
1,则z3x
2y的最小值为.
x
y
0
15.已知双曲线
:
x2
y2
1
a>0b>0
A
A
b
A
A
C
C
(
)的右顶点为
为圆心,
为半径做圆
与双曲线
b2
,
,以
,圆
a2
的一条渐近线交于
M、N两点。
若∠MAN=60°,则C的离心率为________。
16.如图,圆形纸片的圆心为
O,半径为5cm,该纸片上的等边三角形
ABC的中心为O。
D、E、F为圆O上
的点,△
,△
,△
分别是以
,,
为底边的等腰三角形。
沿虚线剪开后,分别以
,
DBCECA
FAB
BCCA
AB
BC
CA,AB为折痕折起△DBC,△ECA,△FAB,使得D、E、F重合,得到三棱锥。
当△
ABC的边长变化时,
所得三棱锥体积(单位:
cm3)的最大值为_______。
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三、解答题:
共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17~21题为必考题,每个试题考生
都必须作答。
第22、23题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:
共60分。
17.(12分)
a2
△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为
3sinA
(1)求sinBsinC;
(2)若6cosBcosC=1,a=3,求△ABC的周长.
17.(12分)
如图,在四棱锥P-ABCD中,AB//CD,且BAPCDP90.
(1)证明:
平面PAB⊥平面PAD;
(2)若PA=PD=AB=DC,APD90,求二面角A-PB-C的余弦值.
19.(12分)
为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其
尺寸(单位:
cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布
N(,2).
(1)假设生产状态正常,记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(3,3)之外的零件数,
求P(X1)及X的数学期望;
(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(3,3)之外的零件,就认为这条生产线在这一
天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.
(ⅰ)试说明上述监控生产过程方法的合理性;
(ⅱ)下面是检验员在一天内抽取的
16个零件的尺寸:
9.95
10.12
9.96
9.96
10.01
9.92
9.98
10.04
10.26
9.91
10.13
10.02
9.22
10.04
10.05
9.95
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1
16
1
16
x)2
1
16
2
16x2)2
经计算得x
xi
9.97,s
(xi
(xi
0.212,其中xi为抽取
16i
1
16i1
16
i1
的第i个零件的尺寸,
i
1,2,
16.
用样本平均数
x作为
的估计值
?
,用样本标准差s作为
的估计值
?
,利用估计值判断是否需对当
天的生产过程进行检查?
剔除
(
?
3
?
?
3
?
和(精确到
0.01).
)之外的数据,用剩下的数据估计
附:
若随机变量
Z服从正态分布N(
2),则P(
3
Z
3)
0.9974,
0.997416
0.9592,
0.008
0.09.
20.(12分)
已知椭圆C:
x2
y2
3
3
)中恰有
1
2
3
4
a2
b2=1
(ab
),四点
P(
1,1
),
P(
0,1
),P(–,
),P(1,
>>0
1
2
2
三点在椭圆C上.
(1)求C的方程;
(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A,B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1,证明:
l过定点.
20.(12分)
已知函数
(fx)
ae2x+(a﹣2)ex﹣x.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.
(二)选考题:
共
10分。
请考生在第
22、23题中任选一题作答。
如果多做,则按所做的第一题计分。
22.[选修4―4:
坐标系与参数方程
](10分)
在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为
x
3cos
(θ为参数),直线
l的参数方程为
y
sin
xa4t,
(t为参数).
y1t,
(1)若a=-1,求C与l的交点坐标;
(2)若C上的点到l的距离的最大值为
17,求a.
23.[选修4—5:
不等式选讲](10分)
已知函数f(x)=–x2+ax+4,g(x)=│x+1│+│x–1│.
(1)当a=1时,求不等式f(x)≥g(x)的解集;
(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[–1,1],求a的取值范围.
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2017年新课标1理数答案
1.A2.B3.B4.C5.D6.C7.B8.D9.D10.A11.D12.A
13.
2
3
14.
5
5.
2
3
4
15
16.
3
17.解:
(1)由题设得
1acsinB
a2
,即1csinB
a
.
2
3sinA
2
3sinA
由正弦定理得1sinCsinB
sinA
.
2
3sinA
2
故sinBsinC.
3
1
1
(2)由题设及(
1)得cosBcosCsinBsinC
C)
,即cos(B
.
2π
2
2
所以B
C
π
3
,故
A
.
3
由题设得1bcsinA
a2
,即bc
8.
2
3sinA
由余弦定理得b2
c2
bc
9,即(b
c)2
3bc
9,得b
c
33.
故△ABC的周长为3
33.
18.解:
(1)由已知
BAP
CDP
90
,得AB⊥AP,CD⊥PD.
由于AB∥CD,故AB⊥PD,从而AB⊥平面PAD.
又AB平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAD.
(2)在平面PAD内做PFAD,垂足为F,
由
(1)可知,AB平面PAD,故ABPF,可得PF平面ABCD.
以F为坐标原点,FA的方向为x轴正方向,|AB|为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系Fxyz.
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由
(1)及已知可得
A(
2
2
2
2
0,0),P(0,0,
),B(
1,0),C(,1,0).
2
2
2
2
所以PC
(
2
1,
2),CB
(
2,0,0)
,PA(
2,0,
2),AB(0,1,0).
2
2
2
2
设n(x,y,z)是平面PCB的法向量,则
nPC
0
2xy
2z
0
nCB
0
,即
2
2
,
2x
0
可取n
(0,
1,
2).
设m(x,y,z)是平面PAB的法向量,则
mPA
0
2
x
2
z0,
2
2
mAB
,即
0
y
0
可取n
(1,0,1).
则cos
nm
3,
|n||m|
3
所以二面角A
PB
C的余弦值为
3
.
3
19.【解】
(1)抽取的一个零件的尺寸在
(
3
3
)之内的概率为
0.9974,从而零件的尺寸在
(3
3
)之外的概率为0.0026
,故X~B(16,0.0026)
.因此
P(X
1)
1
P(X
0)
1
0.9974
0.0408.
X
的数学期望为
EX
16
0.0026
0.0416
.
(2)(i)如果生产状态正常,一个零件尺寸在
(
3
3
)之外的概率只有0.0026,一天内抽取的16
个零件中,出现尺寸在
(
3
3
)之外的零件的概率只有
0.0408,发生的概率很小.因此一旦发生这
种情况,就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程学科&网可能出现了异常情况,需对当天的生产过程
进行检查,可见上述监控生产过程的方法是合理的.
(ii)由x9.97,s0.212,得的估计值为?
9.97,的估计值为?
0.212,由样本数据可以看
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出
有一个零件的尺寸在
(?
3?
?
3?
)之外,因此需对当天的生产过程进行检查.
剔除(?
3?
?
3?
)之外的数据
9.22,剩下数据的平均数为
1(169.979.22)10.02,因此
的估
15
计值为10.02.
16
2
2
2
(
?
?
?
?
之外的数据
160.212
16
9.97
1591.134
,剔除
9.22,剩下数据的样本方
xi
3,
3)
i1
差为1(1591.134
9.222
15
10.022)0.008,
15
因此
的估计值为
0.008
0.09.
20.(12分)解:
(1)由于
P3,P4两点关于y轴对称,故由题设知
C经过P3,P4两点.
又由1
1
1
3
1
2
a
2
b
2
a
2
2
知,C不经过点P,所以点P在C上.
4b
1
1
a2
因此
b2
4
1
3
,解得
.
1
b2
1
a2
4b2
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