抽屉原理练习题.docx
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抽屉原理练习题.docx
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抽屉原理练习题
抽屉原理练习题
HER新思路教育
1、某班有个小书架,40个同学可以任意借阅,小书架上至少要有多少本书,才能保证至少有一个图形能借到两本或两本以上的书?
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2、有黑色、白色、黄色的筷子各8根,混杂放在一起,黑暗中想从这些筷子之中取出颜色不同的两双筷子,至少要取出多少根才能保证达到要求?
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3、一副扑克牌(大王、小王除外)有四种花色,每种花色有13X,从中任意抽牌,最少要抽几X,才能保证有四X牌是同一X花色的?
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4、在从1开始的10个奇数中任取6个,一定有两个数的和是20。
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5、在任意的10人中,至少有两个人,他们在这10个人中认识的人数相等?
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6、一副扑克牌有54X,至少要抽取几X牌,方能保证其中至少有2X牌有相同的点数?
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7、某班有49个学生,最大的12岁,最小的9岁,是否一定有两个学生,他们是同年同月出生的?
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8、某校五年级学生共有380人,年龄最大的与年龄最小的相差不到1岁,我们不用去查看学生的出生日期,就可断定在这380个学生中至少有两个是同年同月同日出生的,你知道为什么吗?
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9、有红色、白色、黑色的筷子各10根混放在一起,让你闭上眼睛去摸,
(1)你至少要摸出几根才敢保证有两根筷子是同色的?
(2)至少拿几根,才能保证有两双同色的筷子?
为什么?
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10、任意4个自然数,其中至少有两个数的差是3的倍数,这是为什么?
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11、从任意3个整数中,一定可以找到两个。
使得它们的和是一个偶数,这是为什么?
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12、从任意的5个整数中,一定可以找到3个数,使这3个数的和是3的倍数,这是为什么?
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13、从1到50的自然数中,任取27个数,其中必有两个数的和等于52,这是为什么?
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14、在100米的路段上栽树,至少要栽多少棵树,才能保证至少有两棵树之间的距离小于10米?
(两端各栽一棵)
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15、从1~10这10个数中,任取多少个数,才能保证这些数中一定能找到两个数,使其中的一个数是另一个数的倍数?
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16、任意取多少自然数,才能保证至少有两个自然数的差是7的倍数?
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17、有尺寸、规格相同的6种颜色的袜子各20只,混装在箱内,从箱内至少取出多少只袜子才能保证有3双袜子?
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18、把135块饼干分给16个小朋友,若每个小朋有至少分得一块饼干,那么不管怎么分,一定会有两个小朋友分得的饼干数目相同,这是为什么?
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19、下图中画了3行9列共27个小方格,将每一个小方格涂上红色或蓝色,请你想一想,为什么不管如何涂色,其中必定可以找到两列,它们的涂色方式相同?
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20、学校买来历史、文艺、科普三种图书若干本,每个同学从中任意借两本,那么至少要多少名学生一起来借书,其中才一定有两人所借的图书种类相同?
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21、
(1)从1到100的自然数中,任取52个数,其中必有两个数的和为102.
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(2)从1到100的所有奇数中,任取27个不同的数,其中必有两个数的和等于102,请说明理由。
抽屉原理练习题
1.木箱里装有红色球3个、黄色球5个、蓝色球7个,若蒙眼去摸,为保证取出的球中有两个球的颜色相同,则最少要取出多少个球?
解:
把3种颜色看作3个抽屉,若要符合题意,则小球的数目必须大于3,故至少取出4个小球才能符合要求。
2.一幅扑克牌有54X,最少要抽取几X牌,方能保证其中至少有2X牌有相同的点数?
解:
点数为1(A)、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11(J)、12(Q)、13(K)的牌各取1X,再取大王、小王各1X,一共15X,这15X牌中,没有两X的点数相同。
这样,如果任意再取1X的话,它的点数必为1~13中的一个,于是有2X点数相同。
3.11名学生到老师家借书,老师是书房中有A、B、C、D四类书,每名学生最多可借两本不同类的书,最少借一本。
试证明:
必有两个学生所借的书的类型相同。
证明:
若学生只借一本书,则不同的类型有A、B、C、D四种,若学生借两本不同类型的书,则不同的类型有AB、AC、AD、BC、BD、CD六种。
共有10种类型,把这10种类型看作10个“抽屉”,把11个学生看作11个“苹果”。
如果谁借哪种类型的书,就进入哪个抽屉,由抽屉原理,至少有两个学生,他们所借的书的类型相同。
4.有50名运动员进行某个项目的单循环赛,如果没有平局,也没有全胜,试证明:
一定有两个运动员积分相同。
证明:
设每胜一局得一分,由于没有平局,也没有全胜,则得分情况只有1、2、3……49,只有49种可能,以这49种可能得分的情况为49个抽屉,现有50名运动员得分,则一定有两名运动员得分相同。
5.体育用品仓库里有许多足球、排球和篮球,某班50名同学来仓库拿球,规定每个人至少拿1个球,至多拿2个球,问至少有几名同学所拿的球种类是一致的?
解题关键:
利用抽屉原理2。
解:
根据规定,多有同学拿球的配组方式共有以下9种:
﹛足﹜﹛排﹜﹛蓝﹜﹛足足﹜﹛排排﹜﹛蓝蓝﹜﹛足排﹜﹛足蓝﹜﹛排蓝﹜。
以这9种配组方式制造9个抽屉,将这50个同学看作苹果50÷9=5……5
由抽屉原理2k=[m/n]+1可得,至少有6人,他们所拿的球类是完全一致的。
6.某校有55个同学参加数学竞赛,已知将参赛人任意分成四组,则必有一组的女生多于2人,又知参赛者中任何10人中必有男生,则参赛男生的人生为__________人。
解:
因为任意分成四组,必有一组的女生多于2人,所以女生至少有4×2+1=9(人);因为任意10人中必有男生,所以女生人数至多有9人。
所以女生有9人,男生有55-9=46(人)
7、证明:
从1,3,5,……,99中任选26个数,其中必有两个数的和是100。
解析:
将这50个奇数按照和为100,放进25个抽屉:
(1,99),(3,97),(5,95),……,(49,51)。
根据抽屉原理,从中选出26个数,则必定有两个数来自同一个抽屉,那么这两个数的和即为100。
8. 某旅游车上有47名乘客,每位乘客都只带有一种水果。
如果乘客中有人带梨,并且其中任何两位乘客中至少有一个人带苹果,那么乘客中有______人带苹果。
解析:
由题意,不带苹果的乘客不多于一名,但又确实有不带苹果的乘客,所以不带苹果的乘客恰有一名,所以带苹果的就有46人。
9. 一些苹果和梨混放在一个筐里,小明把这筐水果分成了若干堆,后来发现无论怎么分,总能从这若干堆里找到两堆,把这两堆水果合并在一起后,苹果和梨的个数是偶数,那么小明至少把这些水果分成了_______堆。
解析:
要求把其中两堆合并在一起后,苹果和梨的个数一定是偶数,那么这两堆水果中,苹果和梨的奇偶性必须相同。
对于每一堆苹果和梨,奇偶可能性有4种:
(奇,奇),(奇,偶),(偶,奇),(偶,偶),所以根据抽屉原理可知最少分了4+1=5筐。
10.有黑色、白色、蓝色手套各5只(不分左右手),至少要拿出_____只(拿的时候不许看颜色),才能使拿出的手套中一定有两双是同颜色的。
解析:
考虑最坏情况,假设拿了3只黑色、1只白色和1只蓝色,则只有一双同颜色的,但是再多拿一只,不论什么颜色,则一定会有两双同颜色的,所以至少要那6只。
11.从前25个自然数中任意取出7个数,证明:
取出的数中一定有两个数,这两个数中大数不超过小数的1.5倍.
证明:
把前25个自然数分成下面6组:
1;①
2,3;②
4,5,6;③
7,8,9,10;④
11,12,13,14,15,16;⑤
17,18,19,20,21,22,23,⑥
因为从前25个自然数中任意取出7个数,所以至少有两个数取自上面第②组到第⑥组中的某同一组,这两个数中大数就不超过小数的1.5倍.
12.一副扑克牌有四种花色,每种花色各有13X,现在从中任意抽牌。
问最少抽几X牌,才能保证有4X牌是同一种花色的?
解析:
根据抽屉原理,当每次取出4X牌时,则至少可以保障每种花色一样一X,按此类推,当取出12X牌时,则至少可以保障每种花色一样三X,所以当抽取第13X牌时,无论是什么花色,都可以至少保障有4X牌是同一种花色,选B。
13.从1、2、3、4……、12这12个自然数中,至少任选几个,就可以保证其中一定包括两个数,他们的差是7?
【解析】在这12个自然数中,差是7的自然树有以下5对:
{12,5}{11,4}{10,3}{9,2}{8,1}。
另外,还有2个不能配对的数是{6}{7}。
可构造抽屉原理,共构造了7个抽屉。
只要有两个数是取自同一个抽屉,那么它们的差就等于7。
这7个抽屉可以表示为{12,5}{11,4}{10,3}{9,2}{8,1}{6}{7},显然从7个抽屉中取8个数,则一定可以使有两个数字来源于同一个抽屉,也即作差为7,所以选择D。
15.某幼儿班有40名小朋友,现有各种玩具122件,把这些玩具全部分给小朋友,是否会有小朋友得到4件或4件以上的玩具?
分析与解:
将40名小朋友看成40个抽屉。
今有玩具122件,122=3×40+2。
应用抽屉原理2,取n=40,m=3,立即知道:
至少有一个抽屉中放有4件或4件以上的玩具。
也就是说,至少会有一个小朋友得到4件或4件以上的玩具。
16.一个布袋中有40块相同的木块,其中编上1,2,3,4的各有10块。
问:
一次至少要取出多少木块,才能保证其中至少有3块相同的木块?
分析与解:
将1,2,3,4四种看成4个抽屉。
要保证有一个抽屉中至少有3件物品,根据抽屉原理2,至少要有4×2+1=9(件)物品。
所以一次至少要取出9块木块,才能保证其中有3块相同的木块。
17.六年级有100名学生,他们都订阅甲、乙、丙三种杂志中的一种、二种或三种。
问:
至少有多少名学生订阅的杂志种类相同?
分析与解:
首先应当弄清订阅杂志的种类共有多少种不同的情况。
订一种杂志有:
订甲、订乙、订丙3种情况;
订二种杂志有:
订甲乙、订乙丙、订丙甲3种情况;
订三种杂志有:
订甲乙丙1种情况。
总共有3+3+1=7(种)订阅方法。
我们将这7种订法看成是7个“抽屉”,把100名学生看作100件物品。
因为100=14×7+2。
根据抽屉原理2,至少有14+1=15(人)所订阅的报刊种类是相同的。
18.篮子里有苹果、梨、桃和桔子,现有81个小朋友,如果每个小朋友都从中任意拿两个水果,那么至少有多少个小朋友拿的水果是相同的?
分析与解:
首先应弄清不同的水果搭配有多少种。
两个水果是相同的有4种,两个水果不同有6种:
苹果和梨、苹果和桃、苹果和桔子、梨和桃、梨和桔子、桃和桔子。
所以不同的水果搭配共有4+6=10(种)。
将这10种搭配作为10个“抽屉”。
81÷10=8……1(个)。
根据抽屉原理2,至少有8+1=9(个)小朋友拿的水果相同。
19.学校开办了语文、数学、美术三个课外学习班,每个学生最多可以参加两个(可以不参加)。
问:
至少有多少名学生,才能保证有不少于5名同学参加学习班的情况完全相同?
分析与解:
首先要弄清参加学习班有多少种不同情况。
不参加学习班有1种情况,只参加一个学习班有3种情况,参加两个学习班有语文和数学、语文和美术、数学和美术3种情况。
共有1+3+3=7(种)情况。
将这7种情况作为7个“抽屉”,根据抽屉原理2,要保证不少于5名同学参加学习班的情况相同,要有学生 7×(5-1)+1=29(名)。
20.在1,4,7,10,…,100中任选20个数,其中至少有不同的两对数,其和等于104。
分析:
解这道题,可以考虑先将4与100,7与97,49与55……,这些和等于104的两个数组成一组,构成16个抽屉,剩下1和52再构成2个抽屉,这样,即使20个数中取到了1和52,剩下的18个数还必须至少有两个数取自前面16个抽屉中的两个抽屉,从而有不同的两组数,其和等于104;如果取不到1和52,或1和52不全取到,那么和等于104的数组将多于两组。
解:
1,4,7,10,……,100中共有34个数,将其分成{4,100},{7,97},……,{49,55},{1},{52}共18个抽屉,从这18个抽屉中任取20个数,若取到1和52,则剩下的18个数取自前16个抽屉,至少有4个数取自某两个抽屉中,结论成立;若不全取1和52,则有多于18个数取自前16个抽屉,结论亦成立。
21.任意5个自然数中,必可找出3个数,使这三个数的和能被3整除。
分析:
解这个问题,注意到一个数被3除的余数只有0,1,2三个,可以用余数来构造抽屉。
解:
以一个数被3除的余数0、1、2构造抽屉,共有3个抽屉。
任意五个数放入这三个抽屉中,若每个抽屉内均有数,则各抽屉取一个数,这三个数的和是3的倍数,结论成立;若至少有一个抽屉内没有数,那么5个数中必有三个数在同一抽屉内,这三个数的和是3的倍数,结论亦成立。
22.在边长为1的正方形内,任意放入9个点,证明在以这些点为顶点的三角形中,必有一个三角形的面积不超过1/8.
解:
分别连结正方形两组对边的中点,将正方形分为四个全等的小正方形,则各个小正方形的面积均为1/4。
把这四个小正方形看作4个抽屉,将9个点随意放入4个抽屉中,据抽屉原理,至少有一个小正方形中有3个点。
显然,以这三个点为顶点的三角形的面积不超过1/8。
反思:
将边长为1的正方形分成4个面积均为1/4的小正方形,从而构造出4个抽屉,是解决本题的关键。
我们知道。
将正方形分成面积均为1/4的图形的方法不只一种,如可连结两条对角线将正方形分成4个全等的直角三角形,这4个图形的面积也都是1/4,但这样构造抽屉不能证到结论。
可见,如何构造抽屉是利用抽屉原理解决问题的关键。
23.班上有50名学生,将书分给大家,至少要拿多少本,才能保证至少有一个学生能得到两本或两本以上的书。
解:
把50名学生看作50个抽屉,把书看成苹果,根据原理1,书的数目要比学生的人数多,即书至少需要50+1=51本.
24.在一条长100米的小路一旁植树101棵,不管怎样种,总有两棵树的距离不超过1米。
解:
把这条小路分成每段1米长,共100段,每段看作是一个抽屉,共100个抽屉,把101棵树看作是101个苹果,于是101个苹果放入100个抽屉中,至少有一个抽屉中有两个苹果,即至少有一段有两棵或两棵以上的树.
25.有50名运动员进行某个项目的单循环赛,如果没有平局,也没有全胜.试证明:
一定有两个运动员积分相同
证明:
设每胜一局得一分,由于没有平局,也没有全胜,则得分情况只有1、2、3……49,只有49种可能,以这49种可能得分的情况为49个抽屉,现有50名运动员得分则一定有两名运动员得分相同.
26.体育用品仓库里有许多足球、排球和篮球,某班50名同学来仓库拿球,规定每个人至少拿1个球,至多拿2个球,问至少有几名同学所拿的球种类是一致的?
解题关键:
利用抽屉原理2。
解:
根据规定,多有同学拿球的配组方式共有以下9种:
{足}{排}{蓝}{足足}{排排}{蓝蓝}{足排}{足蓝}{排蓝}
以这9种配组方式制造9个抽屉,将这50个同学看作苹果=5.5……5
由抽屉原理2k=〔〕+1可得,至少有6人,他们所拿的球类是完全一致的。
【欢迎你来解】
1.某班37名同学,至少有几个同学在同一个月过生日?
2.42只鸽子飞进5个笼子里,可以保证至少有一个笼子中可以有几只鸽子?
3.口袋中有红、黑、白、黄球各10个,它们的外型与重量都一样,至少要摸出几个球,才能保证有4个颜色相同的球?
4.饲养员给10只猴子分苹果,其中至少要有一只猴子得到7个苹果,饲养员至少要拿来多少个苹果?
5.从13个自然数中,一定可以找到两个数,它们的差是12的倍数。
6.一个班有40名同学,现在有课外书125本。
把这些书分给同学,是否有人会得到4件或4件以上的玩具?
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