导数的概念导数公式与应用.docx

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导数的概念导数公式与应用

导数的概念及运算

知识点一：

函数的平均变化率

（1）概念：

　　函数

中，如果自变量

在

处有增量

，那么函数值y也相应的有增量△y=f（x0+△x）-f（x0），其比值

叫做函数

从

到

+△x的平均变化率，即

。

　　若

，

，则平均变化率可表示为

，称为函数

从

到

的平均变化率。

　　注意：

　　①事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”。

如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值；　　②函数的平均变化率表现函数的变化趋势，当

取值越小，越能准确体现函数的变化情况。

　　③

是自变量

在

处的改变量，

；而

是函数值的改变量，可以是0。

函数的平均变化率是0，并不一定说明函数

没有变化，应取

更小考虑。

（2）平均变化率的几何意义　　函数

的平均变化率

的几何意义是表示连接函数

图像上两点割线的斜率。

　　如图所示，函数

的平均变化率

的几何意义是：

直线AB的斜率。

　　事实上，

。

　　作用：

根据平均变化率的几何意义，可求解有关曲线割线的斜率。

知识点二：

导数的概念：

1．导数的定义：

　　对函数

，在点

处给自变量x以增量

，函数y相应有增量

。

若极限

存在，则此极限称为

在点

处的导数，记作

或

，此时也称

在点

处可导。

　　即：

（或

）　　注意：

　　①增量

可以是正数，也可以是负数；　　②导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率。

2．导函数：

　　如果函数

在开区间

内的每点处都有导数，此时对于每一个

，都对应着一个确定的导数

，从而构成了一个新的函数

称这个函数

为函数

在开区间内的导函数，简称导数。

　　注意：

函数的导数与在点

处的导数不是同一概念，

是常数，是函数

在

处的函数值，反映函数

在

附近的变化情况。

3．导数几何意义：

（1）曲线的切线　　曲线上一点P（x0，y0）及其附近一点Q（x0+△x,y0+△y），经过点P、Q作曲线的割线PQ，其倾斜角为

当点Q（x0+△x,y0+△y）沿曲线无限接近于点P（x0，y0），即△x→0时，割线PQ的极限位置直线PT叫做曲线在点P处的切线。

　　若切线的倾斜角为

，则当△x→0时，割线PQ斜率的极限，就是切线的斜率。

　　即：

。

（2）导数的几何意义：

　　函数

在点x0的导数

是曲线

上点（

）处的切线的斜率。

　　注意：

　　①若曲线

在点

处的导数不存在，但有切线，则切线与

轴垂直。

　　②

，切线与

轴正向夹角为锐角；

，切线与

轴正向夹角为钝角；

切线与

轴平行。

　　（3）曲线的切线方程　　如果

在点

可导，则曲线

在点（

）处的切线方程为：

。

4．瞬时速度：

　　物体运动的速度等于位移与时间的比，而非匀速直线运动中这个比值是变化的，如何了解非匀速直线运动中每一时刻的运动快慢程度，我们采用瞬时速度这一概念。

　　如果物体的运动规律满足s=s（t）（位移公式），那么物体在时刻t的瞬时速度v，就是物体t到t+△t这段时间内，当△t→0时平均速度的极限，即

。

　　如果把函数

看作是物体的位移公式），导数

表示运动物体在时刻

的瞬时速度。

规律方法指导1．如何求函数的平均变化率　　求函数的平均变化率通常用“两步”法：

　　①作差：

求出

和

　　②作商：

对所求得的差作商，即

。

　　注意：

（1）

，式子中

、

的值可正、可负，但

的值不能为零，

的值可以为零。

若函数

为常数函数时，

。

（2）在式子

中，

与

是相对应的“增量”，即在

时，

。

　　（3）在式子

中，当

取定值，

取不同的数值时，函数的平均变化率不同；当

取定值，

取不同的数值时，函数的平均变化率也不一样。

2．如何求函数在一点处的导数　　

（1）利用导数定义求函数在一点处的导数，通常用“三步法”。

　　　　①计算函数的增量：

；　　　　②求平均变化率：

；　　　　③取极限得导数：

。

（2）利用基本初等函数的导数公式求初等函数的导数。

3．导数的几何意义　　①设函数

在点

的导数是

，则

表示曲线

在点（

）处的切线的斜率。

　　②设

是位移关于时间的函数，则

表示物体在

时刻的瞬时速度；　　③设

是速度关于时间的函数，则

表示物体在

时刻的加速度；4．利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤　　①求出

在

处的导数

；　　②利用直线方程的点斜式得切线方程为

。

类型一：

求函数的平均变化率　　

1、求

在

到

之间的平均变化率，并求

，

时平均变化率的值.思路点拨：

求函数的平均变化率，要紧扣定义式

进行操作.　　

举一反三：

　　【变式1】求函数y=5x2+6在区间[2，2+

]内的平均变化率。

【变式2】已知函数

，分别计算

在下列区间上的平均变化率：

（1）[1，3]；　　

（2）[1，2]；　　（3）[1，]；　　（4）[1，].

【变式3】自由落体运动的运动方程为

，计算t从3s到，，各段内的平均速度（位移s的单位为m）。

【变式4】过曲线

上两点

和

作曲线的割线，求出当

时割线的斜率.

类型二：

利用定义求导数　　

2、用导数的定义，求函数

在x=1处的导数。

举一反三：

　　【变式1】已知函数

（1）求函数在x=4处的导数.　　

（2）求曲线

上一点

处的切线方程。

　　【变式2】利用导数的定义求下列函数的导数：

（1）

；　　

（2）

；　　（3）

；　　（4）

。

3、求曲线y=x3+2x在x=1处的切线方程.　　思路点拨：

从函数在一点处的导数定义可求得函数y=x3+2x在x=1处的导数值，再由导数的几何意义，得所求切线的斜率，将x=1代入函数可得切点坐标，从而建立切线方程.　

举一反三：

　　【变式】在曲线y=x2上过哪一点的切线：

（1）平行于直线y=4x―5；　　

（2）垂直于直线2x―6y+5=0；　　（3）与x轴成135°的倾斜角。

知识点三：

常见基本函数的导数公式　　

（1）

（C为常数），

（2）

（n为有理数），

　　（3）

，

　　（4）

，

　　（5）

，

　　（6）

，

　　（7）

，

　　（8）

，

知识点四：

函数四则运算求导法则　　设

，

均可导　　

（1）和差的导数：

（2）积的导数：

　　（3）商的导数：

（

）知识点五：

复合函数的求导法则　　

或

　　即复合函数

对自变量

的导数

，等于已知函数

对中间变量

的导数

，乘以中间变量

对自变量

的导数

。

　　注意：

选择中间变量是复合函数求导的关键。

求导时需要记住中间变量，逐层求导，不遗漏。

求导后，要把中间变量转换成自变量的函数。

规律方法指导1．求复合函数的导数的一般步骤　　①适当选定中间变量，正确分解复合关系；　　②分步求导（弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导）；　　③把中间变量代回原自变量（一般是x）的函数。

　　整个过程可简记为分解——求导——回代，熟练以后，可以省略中间过程。

若遇多重复合，可以相应地多次用中间变量。

类型一：

利用公式及运算法则求导数　　

1、求下列函数的导数：

（1）

；　　　　　　　　

（2）

（3）

；　　　（4）y=2x3―3x2+5x＋4　　

举一反三：

　　【变式】求下列函数的导数：

（1）

；

（2）

（3）y=6x3―4x2+9x―6　　　　　　

2、求下列各函数的导函数　　

（1）

；　

（2）y=x2sinx;　　

（3）y=

；　　　　　　　（4）y=

举一反三：

　　【变式1】函数

在

处的导数等于（）　　A．1　　　B．2　　　C．3　　　D．4　　【变式2】下列函数的导数　　

（1）

；

（2）

【变式3】求下列函数的导数.　　

（1）

；

（2）

；（3）

.　　

类型四：

复合函数的求导　　

3、求下列函数导数.　　

（1）

；　　

（2）

；　　

（3）

；　　　　（4）

.　　

举一反三：

　　【变式1】求下列函数的导数：

（1）

；　　　

（2）

（3）y=ln（x＋

）；　（4）

类型五：

求曲线的切线方程　　

4、求曲线y=x3+2x在x=1处的切线方程.

举一反三：

　　【变式1】求曲线

在点

处的切线的斜率，并写出切线方程.　

【变式2】已知

，

是曲线

上的两点，则与直线

平行的曲线

的切线方程是________.　

【变式3】已知曲线

.　　

（1）求曲线

上横坐标为1的点处的切线的方程；　　

（2）第

（1）小题中的切线与曲线

是否还有其他的公共点？

　　【变式4】如果曲线

的某一切线与直线

平行，求切点坐标与切线方程

5、已知直线

为曲线

在点（1，0）处的切线，

为该曲线的另一条切线，且

.　　

（1）求直线

的方程；　　

（2）求由直线

、

和

轴所围成的三角形的面积.　　

举一反三：

【变式1】曲线

在点（1，1）处的切线与

轴、直线

所围成的三角形的面积为________.　　

【变式2】曲线

在（0，1）处的切线与

的距离为

，求

的方程.