java经典算法.docx
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java经典算法.docx
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java经典算法
1.河内之塔
说明
河内之塔(TowersofHanoi)是法国人M.Claus(Lucas)于1883年从泰国带至法国的,河内为越战时
北越的首都,即现在的胡志明市;1883年法国数学家EdouardLucas曾提及这个故事,据说创世
纪时Benares有一座波罗教塔,是由三支钻石棒(Pag)所支撑,开始时神在第一根棒上放置64
个由上至下依由小至大排列的金盘(Disc),并命令僧侣将所有的金盘从第一根石棒移至第三根
石棒,且搬运过程中遵守大盘子在小盘子之下的原则,若每日仅搬一个盘子,则当盘子全数搬
运完毕之时,此塔将毁损,而也就是世界末日来临之时。
解法如果柱子标为ABC,要由A搬至C,在只有一个盘子时,就将它直接搬至C,当有两个盘
子,就将B当作辅助柱。
如果盘数超过2个,将第三个以下的盘子遮起来,就很简单了,每次处
理两个盘子,也就是:
A->B、A->C、B->C这三个步骤,而被遮住的部份,其实就是进入程式
的递回处理。
事实上,若有n个盘子,则移动完毕所需之次数为2^n-1,所以当盘数为64时,则
64
如果对这数字没什幺概念,就假设每秒钟搬一个盘子好了,也要约5850亿年左右。
#include
voidhanoi(intn,charA,charB,charC){
if(n==1){
printf("Movesheet%dfrom%cto%c\n",n,A,C);
}
else{
hanoi(n-1,A,C,B);
printf("Movesheet%dfrom%cto%c\n",n,A,C);
hanoi(n-1,B,A,C);
}
}
intmain()
intn;
printf("请输入盘数:
");
scanf("%d",&n);
hanoi(n,'A','B','C');
return0;}所需次数为:
2-1=184********709551615为5.05390248594782e+16年,也就是约5000世纪
2.AlgorithmGossip:
费式数列
说明
Fibonacci为1200年代的欧洲数学家,在他的着作中曾经提到:
「若有一只免子每个月生一只小免
子,一个月后小免子也开始生产。
起初只有一只免子,一个月后就有两只免子,二个月后有三
只免子,三个月后有五只免子(小免子投入生产)......。
如果不太理解这个例子的话,举个图就知道了,注意新生的小免子需一个月成长期才会投入生
产,类似的道理也可以用于植物的生长,这就是Fibonacci数列,一般习惯称之为费氏数列,例
如以下:
1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89......
解法
依说明,我们可以将费氏数列定义为以下:
fn=fn-1+fn-2
fn=n
ifn>1
ifn=0,1
#include
#include
#defineN20
intmain(void){
intFib[N]={0};
inti;
Fib[0]=0;
Fib[1]=1;
for(i=2;i Fib[i]=Fib[i-1]+Fib[i-2]; for(i=0;i printf("%d",Fib[i]); printf("\n"); return0; } 3.巴斯卡三角形 #include #defineN12 longcombi(intn,intr){ inti; longp=1; for(i=1;i<=r;i++) p=p*(n-i+1)/i; returnp; } voidpaint(){ intn,r,t; for(n=0;n<=N;n++){ for(r=0;r<=n;r++){ inti;/*排版设定开始*/ if(r==0){ for(i=0;i<=(N-n);i++) }else{ printf(" "); printf(" "); }/*排版设定结束*/ printf("%3d",combi(n,r)); } printf("\n"); } } 4.AlgorithmGossip: 三色棋 说明 三色旗的问题最早由E.W.Dijkstra所提出,他所使用的用语为DutchNationFlag(Dijkstra为荷兰 人),而多数的作者则使用Three-ColorFlag来称之。 假设有一条绳子,上面有红、白、蓝三种颜色的旗子,起初绳子上的旗子颜色并没有顺序,您 希望将之分类,并排列为蓝、白、红的顺序,要如何移动次数才会最少,注意您只能在绳子上 进行这个动作,而且一次只能调换两个旗子。 解法 在一条绳子上移动,在程式中也就意味只能使用一个阵列,而不使用其它的阵列来作辅助,问 题的解法很简单,您可以自己想像一下在移动旗子,从绳子开头进行,遇到蓝色往前移,遇到 白色留在中间,遇到红色往后移,如下所示: 只是要让移动次数最少的话,就要有些技巧: 如果图中W所在的位置为白色,则W+1,表示未处理的部份移至至白色群组。 如果W部份为蓝色,则B与W的元素对调,而B与W必须各+1,表示两个群组都多了一个元素。 如果W所在的位置是红色,则将W与R交换,但R要减1,表示未处理的部份减1。 注意B、W、R并不是三色旗的个数,它们只是一个移动的指标;什幺时候移动结束呢? 一开始 时未处理的R指标会是等于旗子的总数,当R的索引数减至少于W的索引数时,表示接下来的旗 子就都是红色了,此时就可以结束移动,如下所示: #include #include #include #defineBLUE'b' #defineWHITE'w' #defineRED'r' #defineSWAP(x,y){chartemp;\ temp=color[x];\ color[x]=color[y];\ color[y]=temp;} intmain(){ charcolor[]={'r','w','b','w','w', 'b','r','b','w','r','\0'}; intwFlag=0; intbFlag=0; intrFlag=strlen(color)-1; inti; for(i=0;i printf("%c",color[i]); printf("\n"); while(wFlag<=rFlag){ if(color[wFlag]==WHITE) wFlag++; elseif(color[wFlag]==BLUE){ SWAP(bFlag,wFlag); bFlag++;wFlag++; } else{ while(wFlag rFlag--; SWAP(rFlag,wFlag); rFlag--; } } for(i=0;i printf("%c",color[i]); printf("\n"); return0; } 5.AlgorithmGossip: 老鼠走迷官 (一) 说明老鼠走迷宫是递回求解的基本题型,我们在二维阵列中使用2表示迷宫墙壁,使用1来表 示老鼠的行走路径,试以程式求出由入口至出口的路径。 解法老鼠的走法有上、左、下、右四个方向,在每前进一格之后就选一个方向前进,无法前 进时退回选择下一个可前进方向,如此在阵列中依序测试四个方向,直到走到出口为止,这是 递回的基本题,请直接看程式应就可以理解。 #include #include intvisit(int,int); intmaze[7][7]={{2,2,2,2,2,2,2}, {2,0,0,0,0,0,2}, {2,0,2,0,2,0,2}, {2,0,0,2,0,2,2}, {2,2,0,2,0,2,2}, {2,0,0,0,0,0,2}, {2,2,2,2,2,2,2}}; intstartI=1,startJ=1;//入口 intendI=5,endJ=5;//出口 intsuccess=0; intmain(void){ inti,j; printf("显示迷宫: \n"); for(i=0;i<7;i++){ for(j=0;j<7;j++) if(maze[i][j]==2) printf("█"); else printf(" "); printf("\n"); } if(visit(startI,startJ)==0) printf("\n没有找到出口! \n"); else{ printf("\n显示路径: \n"); for(i=0;i<7;i++){ for(j=0;j<7;j++){ if(maze[i][j]==2) printf("█"); elseif(maze[i][j]==1) printf("◇"); else printf(" "); } printf("\n"); } } return0; } intvisit(inti,intj){ maze[i][j]=1; if(i==endI&&j==endJ) success=1; if(success! =1&&maze[i][j+1]==0)visit(i,j+1); if(success! =1&&maze[i+1][j]==0)visit(i+1,j); if(success! =1&&maze[i][j-1]==0)visit(i,j-1); if(success! =1&&maze[i-1][j]==0)visit(i-1,j); if(success! =1) maze[i][j]=0; returnsuccess; } 6.AlgorithmGossip: 老鼠走迷官 (二) 说明由于迷宫的设计,老鼠走迷宫的入口至出口路径可能不只一条,如何求出所有的路径呢? 解法求所有路径看起来复杂但其实更简单,只要在老鼠走至出口时显示经过的路径,然后退 回上一格重新选择下一个位置继续递回就可以了,比求出单一路径还简单,我们的程式只要作 一点修改就可以了。 #include #include voidvisit(int,int); intmaze[9][9]={{2,2,2,2,2,2,2,2,2}, {2,0,0,0,0,0,0,0,2}, {2,0,2,2,0,2,2,0,2}, {2,0,2,0,0,2,0,0,2}, {2,0,2,0,2,0,2,0,2}, {2,0,0,0,0,0,2,0,2}, {2,2,0,2,2,0,2,2,2}, {2,0,0,0,0,0,0,0,2}, {2,2,2,2,2,2,2,2,2}}; intstartI=1,startJ=1;//入口 intendI=7,endJ=7;//出口 intmain(void){ inti,j; printf("显示迷宫: \n"); for(i=0;i<7;i++){ for(j=0;j<7;j++) if(maze[i][j]==2) printf("█"); else printf(" "); printf("\n"); } visit(startI,startJ); return0; } voidvisit(inti,intj){ intm,n; maze[i][j]=1; if(i==endI&&j==endJ){ printf("\n显示路径: \n"); for(m=0;m<9;m++){ for(n=0;n<9;n++) if(maze[m][n]==2) printf("█"); elseif(maze[m][n]==1) printf("◇"); else printf(" "); printf("\n"); } } if(maze[i][j+1]==0)visit(i,j+1); if(maze[i+1][j]==0)visit(i+1,j); if(maze[i][j-1]==0)visit(i,j-1); if(maze[i-1][j]==0)visit(i-1,j); maze[i][j]=0; } 7.AlgorithmGossip: 骑士走棋盘 说明骑士旅游(Knighttour)在十八世纪初倍受数学家与拼图迷的注意,它什么时候被提出 已不可考,骑士的走法为西洋棋的走法,骑士可以由任一个位置出发,它要如何走完[所有的位 置? 解法骑士的走法,基本上可以使用递回来解决,但是纯綷的递回在维度大时相当没有效率, 一个聪明的解法由J.C.Warnsdorff在1823年提出,简单的说,先将最难的位置走完,接下来的路 就宽广了,骑士所要走的下一步,「为下一步再选择时,所能走的步数最少的一步。 」,使用这个 方法,在不使用递回的情况下,可以有较高的机率找出走法(找不到走法的机会也是有的)。 #include intboard[8][8]={0}; intmain(void){ intstartx,starty; inti,j; printf("输入起始点: "); scanf("%d%d",&startx,&starty); if(travel(startx,starty)){ printf("游历完成! \n"); } else{ printf("游历失败! \n"); } for(i=0;i<8;i++){ for(j=0;j<8;j++){ printf("%2d",board[i][j]); } putchar('\n'); } return0; } inttravel(intx,inty){ //对应骑士可走的八个方向 intktmove1[8]={-2,-1,1,2,2,1,-1,-2}; intktmove2[8]={1,2,2,1,-1,-2,-2,-1}; //测试下一步的出路 intnexti[8]={0}; intnextj[8]={0}; //记录出路的个数 intexists[8]={0}; inti,j,k,m,l; inttmpi,tmpj; intcount,min,tmp; i=x; j=y; board[i][j]=1; for(m=2;m<=64;m++){ for(l=0;l<8;l++) exists[l]=0; l=0; //试探八个方向 for(k=0;k<8;k++){ tmpi=i+ktmove1[k]; tmpj=j+ktmove2[k]; //如果是边界了,不可走 if(tmpi<0||tmpj<0||tmpi>7||tmpj>7) continue; //如果这个方向可走,记录下来 if(board[tmpi][tmpj]==0){ nexti[l]=tmpi; nextj[l]=tmpj; //可走的方向加一个 l++; } } count=l; //如果可走的方向为0个,返回 if(count==0){ return0; } elseif(count==1){ //只有一个可走的方向 //所以直接是最少出路的方向 min=0; } else{ //找出下一个位置的出路数 for(l=0;l for(k=0;k<8;k++){ tmpi=nexti[l]+ktmove1[k]; tmpj=nextj[l]+ktmove2[k]; if(tmpi<0||tmpj<0|| tmpi>7||tmpj>7){ continue; } if(board[tmpi][tmpj]==0) exists[l]++; } } tmp=exists[0]; min=0; //从可走的方向中寻找最少出路的方向 for(l=1;l if(exists[l] tmp=exists[l]; min=l; } } } //走最少出路的方向 i=nexti[min]; j=nextj[min]; board[i][j]=m; } return1; } 8.AlgorithmGossip: 八皇后 说明西洋棋中的皇后可以直线前进,吃掉遇到的所有棋子,如果棋盘上有八个皇后,则这八 个皇后如何相安无事的放置在棋盘上,1970年与1971年,E.W.Dijkstra与N.Wirth曾经用这个问 题来讲解程式设计之技巧。 解法关于棋盘的问题,都可以用递回求解,然而如何减少递回的次数? 在八个皇后的问题中, 不必要所有的格子都检查过,例如若某列检查过,该该列的其它格子就不用再检查了,这个方 法称为分支修剪。 #include #include #defineN8 intcolumn[N+1];//同栏是否有皇后,1表示有 intrup[2*N+1];//右上至左下是否有皇后 intlup[2*N+1];//左上至右下是否有皇后 intqueen[N+1]={0}; intnum;//解答编号 voidbacktrack(int);//递回求解 intmain(void){ inti; num=0; for(i=1;i<=N;i++) column[i]=1; for(i=1;i<=2*N;i++) rup[i]=lup[i]=1; backtrack (1); return0; } voidshowAnswer(){ intx,y; printf("\n解答%d\n",++num); for(y=1;y<=N;y++){ for(x=1;x<=N;x++){ if(queen[y]==x){ printf("Q"); } else{ printf("."); } } printf("\n"); } } voidbacktrack(inti){ intj; if(i>N){ showAnswer(); } else{ for(j=1;j<=N;j++){ if(column[j]==1&& rup[i+j]==1&&lup[i-j+N]==1){ queen[i]=j; //设定为占用 column[j]=rup[i+j]=lup[i-j+N]=0; backtrack(i+1); column[j]=rup[i+j]=lup[i-j+N]=1; } } } } 9.AlgorithmGossip: 八枚银币 说明现有八枚银币abcdefgh,已知其中一枚是假币,其重量不同于真币,但不知是较轻或 较重,如何使用天平以最少的比较次数,决定出哪枚是假币,并得知假币比真币较轻或较重。 解法单就求假币的问题是不难,但问题限制使用最少的比较次数,所以我们不能以单纯的回 圈比较来求解,我们可以使用决策树(decisiontree),使用分析与树状图来协助求解。 一个简单 的状况是这样的,我们比较a+b+c与d+e+f,如果相等,则假币必是g或h,我们先比较g或h哪个 较重,如果g较重,再与a比较(a是真币),如果g等于a,则g为真币,则h为假币,由于h比g轻 而g是真币,则h假币的重量比真币轻。 #include #include #include voidcompare(int[],int,int,int); voideightcoins(int[]); intmain(void){ intcoins[8]={0}; inti; srand(time(NULL)); for(i=0;i<8;i++) coins[i]=10; printf("\n输入假币重量(比10大或小): "); scanf("%d",&i); coins[rand()%8]=i; eightcoins(coins); printf("\n\n列出所有钱币重量: "); for(i=0;i<8;i++) printf("%d",coins[i]); printf("\n"); return0; } voidcompare(intcoins[],inti,intj,intk){ if(coins[i]>coins[k]) printf("\n假币%d较重",i+1); else printf("\n假币%d较轻",j+1); } voideightco
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