171勾股定理的应用第2课时.docx
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171勾股定理的应用第2课时
17.1勾股定理
(2)教案
【教学目标】
1、知识与方法目标:
通过对一些典型题目的思考、练习,能正确、熟练的进行勾股定理有关计算,深入对勾股定理的理解.
2、过程与方法目标:
通过对一些题目的探讨,以达到掌握知识的目的.
3、情感与态度目标:
感受数学在生活中的应用,感受数学定理的美.
【教学过程】
【知识回顾】
师:
勾股定理的内容是什么?
生:
勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
师:
这个定理为什么是两直角边的平方和呢?
生:
斜边是最长边,肯定是两个直角边的平方和等于斜边的平方,否则不正确的.
师:
是这样的.在RtΔABC中,∠C=90°,有:
AC2+BC2=AB2,勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系.
今天我们来看看这个定理的应用.
【典型例题】
一个门框的尺寸如图所示,一块长为3m,宽2.2m的长方形薄木板能否从门框内通过?
为什么?
师:
上面的例题,先请大家思考如何做?
(留几分钟的时间给学生思考)
师:
看到这个题让我们想起古代一个笑话,说有一个人拿一根杆子进城,横着拿,不能进,竖着拿,也不能进,干脆将其折断,才解决了问题,相信同学们不会这样做.
(我略带夸张的比划、语气,学生笑声一片,有知道这个故事的,抢在我的前面说,学生欣欣然,我观察课堂气氛比较轻松,这也正是我所希望氛围,在这样的情况下,学生更容易掌握知识)
师:
这里木板横着不能进,竖着不能进,只能试试将木板斜着顺进去.
师:
应该比较什么?
生:
这是一块薄木板,比较AC的长度,是否大于2.2就可以了.
师:
李冬说的是正确的.请大家算出来,可以使用计算器.
解:
在RtΔABC中,由题意有:
AC=
=
≈2.236
∵AC大于木板的宽
∴薄木板能从门框通过.
学生进行练习:
1、在Rt△ABC中,AB=c,BC=a,AC=b,∠B=90゜.
①已知a=5,b=12,求c;
②已知a=20,c=29,求b
(请大家画出图来,注意不要简单机械的套a2+b2=c2,要根据本质来看问题)
2、如果一个直角三角形的两条边长分别是6厘米和8厘米,那么这个三角形的周长是多少厘米?
师:
对第二问有什么想法?
生:
分情况进行讨论.
师:
具体说说分几种情况讨论?
生:
①3cm和4cm分别是直角边;②4cm是斜边,3cm是直角边.
师:
呵呵,你们漏了一种情况,还有3cm是斜边,4cm是直角边的这种情况.
生(顿感机会难得,能有一次战胜老师的机会哪能放过):
啊!
斜边应该大于直角边的.这种情况是不可能的.
师:
你们是对的,请把这题计算出来.
(学生情绪高涨,为自己的胜利而高兴)
(这样处理对有的学生来说,印象深刻,让每一个地方都明白无误)
解:
①当6cm和8cm分别为两直角边时;
斜边=
=10
∴周长为:
6+8+10=24cm
②当6cm为一直角边,8cm是斜边时,
另一直角边=
=2
周长为:
6+8+2
=14+2
【能力提升】
1.如图,一架2.6m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上,这时AO为2.4m,如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m,那么梯子底端B也外移0.5m吗?
师:
如图,看上面的例2.
分析:
师:
请大家思考,该如何去做?
生:
运用勾股定理,已知AB、BO,算出AO的长度,又∵A点下滑了0.4米,再算出OC的长度,再利用勾股定理算出OD的长度即可,最后算出BD的长度就能知道了.
师:
这个思路是非常正确的.请大家写出过程.
有生言:
是0.4米.
师:
猜是0.4米,就是想当然了,算出来看看,是不是与你的猜测一样.
(周飞洋在黑板上来做)
解:
由题意有:
∠O=90°,在RtΔABO中
∴AO=
=2.4(米)
又∵下滑了0.4米
∴OC=2.0米
在RtΔODC中
∴OD=
=1.5(米)
∴外移BD=0.8米
答:
梯足将外移0.8米.
师:
这与有的同学猜测的答案一样吗?
生:
不一样.
师:
做题应该是老老实实,不应该想当然的.
【成果展示】
1.再来看一道古代名题:
这是一道成书于公元前一世纪,距今约两千多年前的,《九章算术》中记录的一道古代趣题:
原题:
“今有池,方一丈,葭生其中央,出水一尺.引葭赴岸,适与岸齐,问水深、葭长各几何?
”
师:
谁来给大家说一说:
“葭”如何读?
并请解释是什么意思?
生:
葭(jiā),是芦苇的意思.
师:
这是正确的.
师:
谁来翻译?
吴智勇:
现在有一个正方形的池子,一株芦苇长在水中央,露出水面的部分为一尺,拉芦苇到岸边,刚好与搭在岸上……
师:
听了吴智勇的翻译,我觉得“适与岸齐”翻译得不达意,应该理解为芦苇与水面与岸的交接线的中点上.
生:
老师,我也认为是刚好到岸边,“齐”就是这个意思的.
师:
这是字表面的意思,古人的精炼给我们今天的理解带来了困难,如果照同学们的翻译,这题就无解了,这理的理解应该是芦苇与水面同岸的交接线的中点上,而且还要求不左偏右倒.
(与学生进行争论,能够让师生双方对这个问题都有更深刻的印象,我是欢迎学生们发表自己的见解)
师:
正方形的池子,如何理解?
生:
指长、宽、高都相等.
师:
呵呵!
照你们的看法,应该说成是正方体,而不应该是正方形了?
再想想,池子的下方是什么形?
生:
照这样说来,下面是其它形状也可以啊!
师:
我也这样认为,再来具体的说说正方形池子指什么?
生:
仅指池口是正方形.
师:
是这样的.(用粉笔盒口演示给学生看)
有生:
一丈10尺是指什么?
师:
我也正想问这个问题呢,谁能来解答?
生:
指AD的长度.
师:
能指BC的长度吗?
生:
不能,刚说的其下方是不能确定的.
我们整理翻译一下:
“现在有一个贮满水的正方形池子,池子的中央长着一株芦苇,水池的边长为10尺,芦苇露出水面1尺.若将芦苇拉到岸边,刚好能达到水池岸与水面的交接线的中点上.请求出水深与芦苇的长各有多少尺?
师:
请大家思考如何进行计算?
(留几分钟的时间给学生思考)
师:
刚才有一部分同学已经做出来了,但还有约一半的同学还未能做出来.
师:
没做出来的同学,请思考你是不是遇到了EF与FD两个未知数啊,一是想想1尺有什么用;二是如何把两个未知数变成一个未知数,当然也可以多列一个方程.
(再等一等学生,留时间让他们做出来,这里等一等所花费的时间,对中等与中等偏下的同学是极为有利的,这点时间的付出会得到超值回报的)
解:
由题意有:
DE=5尺,DF=FE+1.
设EF=x尺,则DF=(x+1)尺
由勾股定理有:
x2+52=(x+1)2
解之得:
x=12
答:
水深12尺,芦苇长13尺.
生:
这题的关键是理解题意.
师:
看来还很会点评嘛,属于当领导的哦!
(开个善意的玩笑,教室中一片温馨的笑声).审题,弄清题意也是我们做题的首要的关键的一环,用同学们的总结来说,以后遇到难题不要怕,要敢于深入进去,弄清情景.
2.如图,校园内有两棵树,相距12米,一棵树高16米,另一棵树高11米,一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端,小鸟至少要飞多少米?
师:
请思考如何做?
至少怎么理解?
生:
走直线就短,用勾股定理就可以了,还要做辅助线.
师:
是啊,要连哪些线?
生:
连结两树顶得AB,过B作高树的垂线就可以了.
师:
请解出来.
解:
由题意有:
BC=12米,AC=16-11=5米.
在RtΔABC中
AB=
=13
答:
小鸟至少要飞13米.
师:
这题的计算也不难,关键也是理解题意.
【板书设计】
1、勾股定理的应用:
生活中的数学问题
立体问题
折叠问题
【教学反思】
在教学安排上,采用先讲解例题,再让学生练习的方法,进一步加深对勾股定理的认识,并从解决问题的过程中感受数学知识在实际生活的应用,感受数学中的解题思维。
【当堂达标】
1.如果Rt△两直角边的比为5:
12,则斜边上的高与斜边的比为()
A、60:
13B、5:
12C、12:
13D、60:
169
【答案】D.
【解析】
根据题意设直角三角形两直角边分别为5k,12k,
根据勾股定理得:
斜边为
∵S=
×5k×12k=
×13k×h,
∴h=
,
则斜边上高与斜边之比为
:
13=60:
169.
故选D.
2.如图,一根长18cm的牙刷置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱形水杯中,牙刷露在杯子外面的长度为hcm,则h的取值范围是_____________.
【答案】5cm≤h≤6cm.
【解析】
∵将一根长为18cm的筷子,置于底面直径为5cm,高为12cm的圆柱形水杯中,
∴在杯子中筷子最短是等于杯子的高,最长是等于杯子斜边长度,
∴当杯子中筷子最短是等于杯子的高时,x=12,
最长时等于杯子斜边长度是:
x=
,
∴h的取值范围是:
(18-13)cm≤h≤(18-12)cm,
即5cm≤h≤6cm.
3.小东拿着一根长竹竿进一个宽为3米的城门,他先横着拿不进去,又竖起来拿,结果竹竿比城门高1米,当他把竹竿斜着时,两端刚好顶着城门的对角,问竹竿长多少米?
【答案】竹竿长5米.
【解析】
设竹竿长x米,则城门高为(x-1)米.
根据题意得:
3²+(x-1)²=x²
解得x=5
所以,竹竿长5米.
4.一个2.5m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AC上,这时AC的距离为2.4m.如果梯子顶端A沿墙下滑0.4m,那么梯子底端B也外移0.4m吗?
解:
在Rt△ABC中,∵∠ACB=90°,
∴AC²+BC²=AB²,即2.4²+BC²=2.5²,
∴BC=0.7m.
由题意得:
DE=AB=2.5m,
DC=AC-AD=2.4-0.4=2(m).
在Rt△DCE中,∵∠DCE=90°,
∴DC²+CE²=DE²,即2²+CE²=2.5²,
∴CE=1.5m,∴BE=1.5-0.7=0.8m≠0.4m.答:
梯子底端B不是外移0.4m.
5、如图是一个三级台阶,它的每一级的长、宽、高分别为55寸、10寸和6寸,A和B是这个台阶的两个相对端点,A点上有一只蚂蚁想到B点去吃可口的食物,则它所走的最短路线长度是多少?
解:
展开后由题意得:
∠C=90°,AC=3×10+3×6=48(寸),
BC=55寸,
由勾股定理得:
AB==73(寸)
【拓展提升】已矩形ABCD的边长AB=6,BC=4,点F在DC上,DF=2.动点M、N分别从点D、B同时出发,沿线段DA、线段BA向点A的方向运动,当动点M运动到点A时,M、N两点同时停止运动.连接FM、FN.设点M、N的运动速度都是1个单位/秒,M、N运动的时间为x秒,问:
当x为多少时,FM⊥FN?
解:
连接MN,做NP⊥DC,
当FM⊥FN时,即△MFN为直角三角形,∴FM2+FN2=MN2,
∵MN2=AM2+AN2,DM2+DF2=FM2,PF2+PN2=FN2,
又∵设点M、N的运动速度都是1个单位/秒,矩形ABCD的边长AB=6,BC=4,DF=2,M、N运动的时间为x秒,DM=x,AM=4-x,AN=6-x,PN=4,PF=6-2-x,
∴DM2+DF2+PF2+PN2=AM2+AN2,
∴x2+4+(4-x)2+16=(4-x)2+(6-x)2,解得:
x=4/3。
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