平面向量数量积运算专题附标准答案.docx
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平面向量数量积运算专题附标准答案
平面向量数量积运算
题型一平面向量数量积的基本运算
例1
(1)(2014·天津)已知菱形ABCD的边长为2,∠BAD=120°,点E,F分别在边BC,DC
上,BC=3BE,DC=λDF.若A→E·A→F=1,则λ的值为.
(2)已知圆O的半径为1,PA,PB为该圆的两条切线,A,B为切点,那么PA·PB的最小值为()
B.
A.-4+2
C.-4+22
-3+2
D.-3+22
变式训练1(2015·湖北)已知向量O→A⊥A→B,|O→A|=3,则O→A·O→B=
题型二利用平面向量数量积求两向量夹角
例2
(1)(2015·重庆)若非零向量a,b满足|a|=232|b|,且(a-b)⊥(3a+2b),则a与b的夹角为()
ππ3π
A.4B.2C.4D.π
π
(2)若平面向量a与平面向量b的夹角等于3,|a|=2,|b|=3,则2a-b与a+2b的夹角的余弦值等于()
1111
A.26B.-26C.12D.-12
变式训练2(2014·课标全国Ⅰ)已知A,B,C为圆O上的三点,若A→O=12(A→B+A→C),则A→B与
A→C的夹角为.
题型三利用数量积求向量的模
例3
(1)已知平面向量a和b,|a|=1,|b|=2,且a与b的夹角为120°,则|2a+b|等于()
A.
B.4
D.6
2
C.25
(2)已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,
→→
则|P→A+3P→B|的最小值为.
1
变式训练3(2015·浙江)已知e1,e2是平面单位向量,且e1·e2=2.若平面向量b满足b·e1=b·e2
=1,则|b|=
B.-34a
4
D.32a
高考题型精练
1.(2015山·东)已知菱形ABCD的边长为a,∠ABC=60°,则BD·CD等于()
A.-32a
C.34a2
4
A.min{|a+b|,|a-b|}≤min{|a|,|b|}
B.min{|a+b|,|a-b|}≥min{|a|,|b|}
2222
C.
B.7
D.9
max{|a+b|2,|a-b|2}≤|a|2+|b|2
4.如图,在等腰直角△ABO中,OA=OB=1,C为AB上靠近点A的四等分点,过C作AB
的垂线l,P为垂线上任一点,设
O→A=a,O→B=b,O→P=p,则p·(b-a)等于(
B.12
3
D.2
C.-2
→→→→→→→→1→
5.在平面上,AB1⊥AB2,|OB1|=|OB2|=1,AP=AB1+AB2.若|OP|<2,则|OA|的取值范围是()
B.
A.(0,25]
C.(25,2]
(25,27]
D.(27,2]
6.如图所示,△ABC中,∠ACB=90°且AC=BC=4,点M满足BM=3MA,则CM·CB等于()
A.2B.3
C.4D.6
7.(2014安·徽)设a,b为非零向量,|b|=2|a|,两组向量x1,x2,x3,x4和y1,y2,y3,y4均由2个a和2个b排列而成.若x1·y1+x2·y2+x3·y3+x4·y4所有可能取值中的最小值为4|a|2,则a与b的夹角为()
2πππ
A.3πB.3πC.6πD.0
则AB·AD的值是
9.设非零向量a,b的夹角为θ,记f(a,b)=acosθ-bsinθ.若e1,e2均为单位向量,且e1·e2=23,则向量f(e1,e2)与f(e2,-e1)的夹角为.
10.如图,在△ABC中,O为BC中点,若AB=1,AC=3,〈A→B,A→C〉=60°,则|O→A|=
cos2x-sin2x的值;
→5→
D,AD=5,且满足AD=11DB.
3
11.已知向量a=(sinx,4),b=(cosx,-1).当a∥b时,求
12.在△ABC中,AC=10,过顶点C作AB的垂线,垂足为
(1)求|A→B-A→C|;
(2)存在实数t≥1,使得向量x=A→B+tA→C,y=tA→B+A→C,令k=x·y,求k的最小值.
平面向量数量积运算
题型一平面向量数量积的基本运算例1
(1)(2014·天津)已知菱形ABCD的边长为2,∠BAD=120°,点E,F分别在边BC,DC
上,BC=3BE,DC=λDF.若AE·AF=1,则λ的值为
(2)已知圆O的半径为1,PA,PB为该圆的两条切线,A,B为切点,那么PA·PB的最小值为()
B.-3+2
D.-3+22
A.-4+2
C.
-4+22答案
(1)2
(2)D解析
(1)如图,
→→→→→→→1→→1→→→1→→1→→1
AE·AF=(AB+BE)·(AD+DF)=(AB+BC)·(AD+DC)=AB·AD+AB·DC+BC·AD+
3λλ33λ
BC·DC=2×2×cos120°+1×2×2+1×2×2+1×2×2×cos120°=-2+4+4-2=10-2,
λ33λλ33λ3λ3
又∵A→E·A→F=1,
(2)方法一设|PA|=|PB|=x,∠APB=θ,
2θ
从而
1-tan2
2x-1
cosθ==2.
2θx2+11+tan2
2422x-1x-x=x2·2=2
·x2+1x2+1
x2+12-x23+x12+1+2
=x2+1+x2+21-3≥22-3,
当且仅当x2+1=2,
即x2=2-1时取等号,故P→A·P→B的最小值为22-3.
方法二设∠APB=θ,0<θ<π,
→→→→
PA·PB=|PA||PB|cos
令x=sin22θ,0 则P→A·P→B=1-x1-2x x 1 =2x+-3≥22-3, x 故P→A·P→B的最小值为22-3. 方法三以O为坐标原点,建立平面直角坐标系xOy,则圆O的方程为x2+y2=1,设A(x1,y1),B(x1,-y1),P(x0,0),则PA·PB=(x1-x0,y1)·(x1-x0,-y1)=x12-2x1x0+x20-y12. 由OA⊥PA? O→A·P→A=(x1,y1)·(x1-x0,y1)=0 x12-x1x0+y21=0,又x21+y21=1,所以x1x0=1. 从而PA·PB=x21-2x1x0+x20-y21=x12-2+x02-(1-x12) =2x21+x02-3≥22-3. 故PA·PB的最小值为22-3. 点评 (1)平面向量数量积的运算有两种形式: 一是依据长度和夹角,二是利用坐标运算,具体应用哪种形式由已知条件的特征来选择.注意两向量a,b的数量积a·b与代数中a,b的乘 积写法不同,不应该漏掉其中的“·”. (2)向量的数量积运算需要注意的问题: a·b=0时得不到a=0或b=0,根据平面向量数量积 的性质有|a|2=a2,但|a·b|≤|a|·|b|. 变式训练1(2015·湖北)已知向量O→A⊥A→B,|O→A|=3,则O→A·O→B= 答案9 解析因为O→A⊥A→B,所以O→A·A→B=0.所以O→A·O→B=O→A·(O→A+A→B)=O→A2+O→A·A→B=|O→A|2+0=32=9. 题型二利用平面向量数量积求两向量夹角 例2 (1)(2015·重庆)若非零向量a,b满足|a|=232|b|,且(a-b)⊥(3a+2b),则a与b的夹角为() π A.4π π B.2π 3π C.34π D.π π (2)若平面向量a与平面向量b的夹角等于3,|a|=2,|b|=3,则2a-b与a+2b的夹角的余弦 值等于( 1A.A.26 1 B.-26 C.112 1 D.-12 答案 (1)A (2)B 解析 (1)由(a-b)⊥(3a+2b)得(a-b)·(3a+2b)=0,即3a2-a·b-2b2=0.又∵|a|=232|b|,设 3 〈a,b〉=θ,即3|a|2-|a|·|b|c·osθ-2|b|2=0, 822222∴3|b|2-3|b|2·cosθ-2|b|2=0. ∴cosθ=22.又∵0≤θ≤π,∴θ=4π. (2)记向量2a-b与a+2b的夹角为θ, 又(2a-b)2 222π(a+2b)2=22+4×32+4×2×3×cos3=52,3 22 (2a-b)·(a+2b)=2a2-2b2+3a·b=8-18+9=-1, 1, 26, 故cosθ=|22aa--bb|·|·aa++22bb|= 即2a-b与a+2b的夹角的余弦值是-1.26 点评求向量的夹角时要注意: (1)向量的数量积不满足结合律, (2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角,数量积等于0说明两向量的夹角为直角,数量积小于0且两向量不能共线时两向量的夹角为钝角. 变式训练2(2014·课标全国Ⅰ)已知A,B,C为圆O上的三点,若A→O=12(A→B+A→C),则A→B与A→C的夹角为. 答案90 解析∵A→O=12(A→B+A→C),∴点O是△ABC中边BC的中点,∴BC为直径,根据圆的几何性质得AB与AC的夹角为90°. 题型三利用数量积求向量的模 例3 (1)已知平面向量a和b,|a|=1,|b|=2,且a与b的夹角为120°,则|2a+b|等于() A. B.4 2 C.25D.6 (2)已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,→→ 则|P→A+3P→B|的最小值为. 答案 (1)A (2)5 解析 (1)因为平面向量a和b,|a|=1,|b|=2,且a与b的夹角为120°,所以|2a+b|=2a2+b2+2×|2a|×|b|cos120° =22×12+22+2×2×1×2×-21=2. (2)方法一以D为原点,分别以DA、DC所在直线为x、y轴建立如图所示的平面直角坐标系,设DC=a,DP=x. ∴D(0,0),A(2,0),C(0,a),B(1,a),P(0,x), P→A=(2,-x),P→B=(1,a-x), ∴PA+3PB=(5,3a-4x), →
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