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初一数学讲义学生版整理
第一讲和绝对值有关的问题
一、知识结构框图:
二、绝对值的意义:
(1)几何意义:
一般地,数轴上表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值,记作|a|。
(2)代数意义:
①正数的绝对值是它的本身;②负数的绝对值是它的相反数;
③零的绝对值是零。
说明:
(Ⅰ)|a|≥0即|a|是一个非负数;
(Ⅱ)|a|概念中蕴含分类讨论思想。
也可以写成:
三、典型例题
例1.(数形结合思想)已知a、b、c在数轴上位置如图:
则代数式|a|+|a+b|+|c-a|-|b-c|的值等于()
A.-3aB.2c-aC.2a-2bD.b
例2.已知:
,
,且
,那么
的值()
A.是正数 B.是负数 C.是零 D.不能确定符号
例3.(分类讨论思想)已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍,且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧,两点之间的距离为8,求这两个数;若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢?
例4.(整体思想)方程
的解的个数是()
A.1个B.2个C.3个D.无穷多个
例5.(非负性)已知|ab-2|与|a-1|互为相互数,试求下式的值.
例6.(距离问题)观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离4与
,3与5,
与
,
与3.
并回答下列各题:
(1)你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗?
答:
___.
(2)若数轴上的点A表示的数为x,点B表示的数为―1,则A与B两点间的距离
可以表示为________________.
(3)结合数轴求得
的最小值为,取得最小值时x的取值范围为___.
(4)满足
的
的取值范围为______.
第二讲:
代数式的化简求值问题
1、知识链接
1.“代数式”是用运算符号把数字或表示数字的字母连结而成的式子。
它包括整式、分式、二次根式等内容.
2.用具体的数值代替代数式中的字母所得的数值,叫做这个代数式的值。
注:
一般来说,代数式的值随着字母的取值的变化而变化
3.求代数式的值可以让我们从中体会简单的数学建模的好处,为以后学习方程、函数等知识打下基础。
二、典型例题
例1.若多项式
的值与x无关,
求
的值.
例2.x=-2时,代数式
的值为8,求当x=2时,代数式
的值。
例3.当代数式
的值为7时,求代数式
的值.
例4.已知
,求
的值.
例5.(实际应用)A和B两家公司都准备向社会招聘人才,两家公司招聘条件基本相同,只有工资待遇有如下差异:
A公司,年薪一万元,每年加工龄工资200元;B公司,半年薪五千元,每半年加工龄工资50元。
从收入的角度考虑,选择哪家公司有利?
例6.三个数a、b、c的积为负数,和为正数,且
,
则
的值是_______。
例7.如图,平面内有公共端点的六条射线OA,OB,OC,OD,OE,OF,从射线OA开始按逆时针方向依次在射线上写出数字1,2,3,4,5,6,7,….
(1)“17”在射线____上,
“2008”在射线___________上.
(2)若n为正整数,则射线OA上数字的排列规律可以用含n的
代数式表示为__________________________.
例8.将正奇数按下表排成5列:
第一列第二列第三列第四列第五列
第一行1357
第二行1513119
第三行17192123
第四行31292725
根据上面规律,2007应在
A.125行,3列B.125行,2列C.251行,2列D.251行,5列
例9.(2006年嘉兴市)定义一种对正整数n的“F”运算:
①当n为奇数时,结果为3n+5;②当n为偶数时,结果为
(其中k是使
为奇数的正整数),并且运算重复进行.例如,取n=26,则:
若n=449,则第449次“F运算”的结果是__________.
第三讲:
与一元一次方程有关的问题
一、典型例题
例1.若关于x的一元一次方程
=1的解是x=-1,则k的值是()
A.
B.1C.-
D.0
例2.若方程3x-5=4和方程
的解相同,则a的值为多少?
例3.(方程与代数式联系)
a、b、c、d为实数,现规定一种新的运算
.
(1)则
的值为;
(2)当
时,
=.
例4.(方程的思想)如图,一个瓶身为圆柱体的玻璃瓶内装有高
厘米的墨水,将瓶盖盖好后倒置,墨水水面高为h厘米,则瓶内的墨水的体积约占玻璃瓶容积的()
A.
B.
C.
D.
例5.小杰到食堂买饭,看到A、B两窗口前面排队的人一样多,就站在A窗口队伍的里面,过了2分钟,他发现A窗口每分钟有4人买了饭离开队伍,B窗口每分钟有6人买了饭离开队伍,且B窗口队伍后面每分钟增加5人。
此时,若小李迅速从A窗口队伍转移到B窗口后面重新排队,将比继续在A窗口排队提前30秒买到饭,求开始时,有多少人排队。
(提示)题中的等量关系为:
小李在A窗口排队所需时间=转移到B窗口排队所需时间+
课外知识拓展:
一、含字母系数方程的解法:
思考:
是什么方程?
在一元一次方程的标准形式、最简形式中都要求a≠0,所以
不是一元一次方程
我们把它称为含字母系数的方程。
例6.解方程
例7.问当a、b满足什么条件时,方程2x+5-a=1-bx:
(1)有唯一解;
(2)有无数解;(3)无解。
例8.解方程
二、含绝对值的方程解法
例9.解下列方程
例10.解方程
例11.解方程
第四讲:
图形的初步认识
基本要求:
1.如图四个图形都是由6个大小相同的正方形组成,其中是正方体展开图的是( )
A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②④
较高要求:
2.下图可以沿线折叠成一个带数字的正方体,每三个带数字的面交于正方体的
一个顶点,则相交于一个顶点的三个面上的数字之和最小是()
A.7B.8C.9D.10
3.一个正方体的展开图如右图所示,每一个面上都写有一个自然数并且相对
两个面所写的两个数之和相等,那么a+b-2c=()
A.40B.38C.36D.34
4.下图是某一立方体的侧面展开图,则该立方体是()
9.下面是四个立体图形的展开图,则相应的立体图形依次是()
A.正方体、圆柱、三棱柱、圆锥 B.正方体、圆锥、三棱柱、圆柱
C.正方体、圆柱、三棱锥、圆锥 D.正方体、圆柱、四棱柱、圆锥
13.对右面物体的视图描绘错误的是()
(四)新颖题型
16.正方体每一面不同的颜色对应着不同的数字,将四个这样的正方体如图拼成一个水平放置的长方体,那么长方体的下底面数字和为.
第五讲:
线段和角
一、知识结构图
二、典型问题:
(一)数线段——数角——数三角形
问题1、直线上有n个点,可以得到多少条线段?
问题2.如图,在∠AOB内部从O点引出两条射线OC、OD,则图中小于平角的角共有()个
(A)3(B)4(C)5(D)6
拓展:
在∠AOB内部从O点引出n条射线图中小于平角的角共有多少个?
(二)与线段中点有关的问题
线段的中点定义:
文字语言:
若一个点把线段分成相等的两部分,那么这个点叫做线段的中点
图形语言:
几何语言:
∵M是线段AB的中点
∴
,
典型例题:
1.由下列条件一定能得到“P是线段AB的中点”的是()
(A)AP=
AB(B)AB=2PB(C)AP=PB(D)AP=PB=
AB
2.若点B在直线AC上,下列表达式:
①
;②AB=BC;③AC=2AB;④AB+BC=AC.
其中能表示B是线段AC的中点的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.已知线段MN,P是MN的中点,Q是PN的中点,R是MQ的中点,那么MR=______MN.
4.如图所示,B、C是线段AD上任意两点,M是AB的中点,N是CD中点,若MN=a,BC=b,则线段AD的长是()
A2(a-b)B2a-bCa+bDa-b
(三)与角有关的问题
1.已知:
一条射线OA,若从点O再引两条射线OB、OC,使∠AOB=600,∠BOC=200,
则∠AOC=____________度(分类讨论)
2.A、O、B共线,OM、ON分别为∠AOC、∠BOC的平分线,猜想∠MON的度数,试证明你的结论.
3.如图,已知直线
和
相交于
点,
是直角,
平分
,
,
求
的度数.
4.如图,BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB,
(1)若∠A=60°,求∠O;
(2)若∠A=100°,∠O是多少?
若∠A=120°,∠O又是多少?
(3)由
(1)、
(2)你又发现了什么规律?
当∠A的度数发生变化后,你的结论仍成立吗?
(提示:
三角形的内角和等于180°)
5.如图,O是直线AB上一点,OC、OD、OE是三条射线,则图中互补的角共有(B)对
(A)2(B)3(C)4(D)5
6.互为余角的两个角 ()
(A)只和位置有关(B)只和数量有关
(C)和位置、数量都有关(D)和位置、数量都无关
7.已知∠1、∠2互为补角,且∠1>∠2,则∠2的余角是()
A.
(∠1+∠2)B.
∠1C.
(∠1-∠2)D.
∠2
第六讲:
相交线与平行线
一、知识框架
二、典型例题
1.下列说法正确的有()
①对顶角相等;②相等的角是对顶角;③若两个角不相等,则这两个角一定不是对顶角;
④若两个角不是对顶角,则这两个角不相等.
A.1个B.2个C.3个D.4个
2.如图所示,下列说法不正确的是()毛
A.点B到AC的垂线段是线段AB;B.点C到AB的垂线段是线段AC
C.线段AD是点D到BC的垂线段;D.线段BD是点B到AD的垂线段
3.下列说法正确的有()
①在平面内,过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线;
②在平面内,过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线;
③在平面内,过一点可以任意画一条直线垂直于已知直线;
④在平面内,有且只有一条直线垂直于已知直线.
A.1个B.2个C.3个D.4个
4.一学员驾驶汽车,两次拐弯后,行驶的方向与原来的方向相同,
这两次拐弯的角度可能是()
A.第一次向左拐30°第二次向右拐30°B.第一次向右拐50°第二次向左拐130°
C.第一次向右拐50°第二次向右拐130°D.第一次向左拐50°第二次向左拐130°
5.如图,若AC⊥BC于C,CD⊥AB于D,则下列结论必定成立的是()
A.CD>ADB.AC 6.如图,已知AB∥CD,直线EF分别交AB,CD于E,F,EG平分∠BEF,若∠1=72°, 则∠2=______. 7.如图,AB∥EF∥CD,EG∥BD,则图中与∠1相等的角(∠1除外)共有() A.6个B.5个C.4个D.3个 8.如图,直线l1、l2、l3交于O点,图中出现了几对对顶角,若n条直线相交呢? 9.如图,在 的正方形网
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