运筹学第四次作业排队论问题.docx
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运筹学第四次作业排队论问题
一、汽车维修站问题
某汽车维修站只有一名修理工,一天8h平均修理10辆汽车。
已知维修时间服从负指数分布,汽车的到来服从泊松流,平均每小时有1辆汽车到达维修站。
假如一位司机愿意在维修站等候,一旦汽车修复就立即开走,问司机平均需要等待多长时间。
如果假设每小时有1.2辆汽车去修理,试问该维修工每天的空闲时间有多少?
这对维修站里的汽车数及修理后向顾客交货时间又有怎样的影响?
结合以上所求得的数据,分析汽车维修站的服务质量水平。
解:
该问题是一个标准的M/M/1/2模型,即汽车司机相继到达间隔时间的分布满足负指数分布,维修工服务时间分布满足负指数分布,服务台数为c=1,系统容量限制为N=2。
(1)已知汽车的到来服从泊松流,平均到达率为
,维修时间服从负指数分布,平均每辆汽车接受服务的时间为T=0.8h,单位时间服务车辆的数量为
。
则根据该模型运行指标的计算公式可得出:
①系统的平均服务强度为
;
②顾客到达后理科就能得到服务的概率,即维修站空闲,没有顾客的概率为
;
③系统的队长为
;
④系统的排队长
;
⑤系统的有效到达率为
;
⑥顾客逗留时间为
;
⑦系统满员的概率,即顾客被拒绝的概率为
;
利用LINGO软件来求解,记有关参数
,系统最大容量为N=2,顾客平均到达率为
,平均每个顾客的服务时间为
。
则相应程序如下:
MODEL:
sets:
num_i/1..2/:
P;
endsets
c=1;N=2;L=1;T=0.8;
P0*L=(1/T)*p
(1);
(L+1/T)*p
(1)=L*p0+c/T*p
(2);
@for(num_i(i)|i#gt#1#and#i#lt#N:
(L+c/T)*p(i)=L*p(i-1)+c/T*p(i+1));
L*p(N-1)=c/T*P(N);
P0+@sum(num_i(i)|i#le#N:
P(i))=1;
Plost=p(N);
Q=1-p(N);
L_e=Q*L;
L_s=@sum(num_i(i)|i#le#N:
i*P(i));
L_q=L_s-L_e*T;
W_s=L_s/L_e;
W_q=W_s-T;
end
运行结果如下表:
运行结果为:
P0=0.409836,Plost=0.2622951,L_e=0.7377049,L_s=0.8524590,L_q=0.2622951,W_s=1.155556,W_q=0.3555556。
该结果表明顾客到维修站可立即得到服务的概率为0.41,即该维修工空闲的概率为0.41;系统的队长为0.852,系统的排队长为0.262,则说明排队加服务的总队长不超过1个人,而且等待的队长是很短的;系统有效到达率为0.738,系统圆满被拒绝的概率为0.262,说明顾客被拒绝的概率是很低的;逗留时间为1.156h,服务时间为0.356h,说明每个顾客平均排队加服务完的时间大约为1.156h,而等待服务的时间大概为21min。
综合以上数据,该维修站的服务质量还是比较高的,维修工的空闲时间很充足,顾客等待的队长也不长,其逗留时间也基本在容许范围内。
二、售票窗口管理问题
某公园售票处有两个售票窗口。
根据历史数据可以知道,节假日期间,顾客的到达服从泊松流,平均到达率为l=8人/min,每个售票窗口的售票时间均服从参数为m=5人/min的负指数分布。
试比较以下两种排队方案的运行效率:
(1)顾客到达后,以0.5的概率排成两列;
(2)顾客到达后排成一列,发现哪个窗口空闲时,就到该窗口去购票。
试分析讨论,该公园在节假日期间采用哪种排队方案服务效率高。
解:
(1)若顾客到达后,以0.5的概率排成两列,则该问题是一个标准的2个M/M/1模型。
已知顾客的到达服从泊松流,平均到达率为l=8人/min,由于顾客到达后,以0.5的概率排成两列,排成两队后不再进行换队,这就形成了两个队,
每个售票窗口的售票时间均服从参数为m=5人/min的负指数分布,平均每个人接受服务的时间为T=0.2min,则有
。
则根据该模型运行指标的计算公式可得出:
①系统的平均服务强度为
;
②顾客平均等待时间为
;
③顾客的平均逗留时间为
;
④系统的队长
和排队长
分布为
,
;
利用LINGO软件来求解,记有关参数
,并记
,
。
则相应程序如下:
MODEL:
c=1;L=4;T=0.2;R=L*T;
P_wait=@peb(R,c);
W_Q=P_wait/(c/T-L);
L_Q=L*W_Q;
W_S=W_Q+T;
L_S=L*W_S;
End
运行结果如下表所示:
运行结果为:
P_wait=0.8,W_Q=0.8,L_Q=3.2,W_S=1,L_S=4。
即顾客平均等待概率为0.8,顾客平均等待时间为0.8min,顾客平均逗留时间为1min,系统的排队长为3.2,系统的队长为4。
(2)顾客到达后排成一列,发现哪个窗口空闲时,就到该窗口去购票,在这种情况下,则该问题是一个标准的多服务台M/M/2模型。
该排队模型的服务台个数c=2,顾客平均到达率为l=8人/min,
。
每个售票窗口的售票时间均服从参数为m=5人/min的负指数分布,平均每个人接受服务的时间为T=0.2min,则有
,系统平均服务强度为
。
则根据该模型运行指标的计算公式可得出:
1系统空闲概率为
;
2系统的队长为
;
3系统的排队长为
;
4顾客的平均等待时间为
;
5顾客的平均逗留时间为
;
利用LINGO软件来求解,记有关参数
,并记
,
。
则相应程序如下:
MODEL:
c=2;L=8;T=0.2;R=L*T;
Pwork=@peb(R,c);
W_q=Pwork*T/(c-R);
L_q=L*W_q;
W_s=W_q+T;
L_s=L*W_s;
End
运行结果如下表所示:
运行结果为:
PWORK=0.7111111,W_Q=0.3555556,L_Q=2.844444,W_S=0.555556,L_S=4.44444。
即售票窗口不空闲的概率为0.711,顾客平均等待时间为0.356min,顾客平均逗留时间为0.556min,顾客的排队长为2.844,顾客的队长为4.444。
由以上数据进行对比分析可得,我们把两种方案的对比在下表中显示。
第一种方案
第二种方案
顾客平均等待概率
0.8
0.711
顾客平均等待时间/min
0.8
0.356
顾客平均逗留时间/min
1
0.556
顾客排队长/人
3.2
2.844
顾客队长/人
4
4.444
由该表可以看出,采用第二种方案在顾客平均等待概率,顾客平均等待时间,顾客平均逗留时间和顾客的排队长等方面均优于第一种方案;只是在顾客队长方面,第二种方案劣于第一种方案,这是由于第二种方案采取了只排一支队的缘故,但是在售票窗口服务时,两个窗口是同时进行的,所以在其他方面第二种方案都会比第一种方案好,因此在排队方案的选取中,我们选择第二种排队方案。
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