常微分方程第三版复习资料.docx
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常微分方程第三版复习资料
常微分方程
2.1
1.
并求满足初始条件:
x=0,y=1的特解.
解:
对原式进行变量分离得
并求满足初始条件:
x=0,y=1的特解.
解:
对原式进行变量分离得:
3
解:
原式可化为:
12.
解
15.
16.
解:
,这是齐次方程,令
17.
解:
原方程化为
令
方程组
则有
令
当
当
另外
19.已知f(x)
.
解:
设f(x)=y,则原方程化为
两边求导得
20.求具有性质x(t+s)=
的函数x(t),已知x’(0)存在。
解:
令t=s=0x(0)=
=
若x(0)
0得x
=-1矛盾。
所以x(0)=0.x’(t)=
)
两边积分得arctgx(t)=x’(0)t+c所以x(t)=tg[x’(0)t+c]当t=0时x(0)=0故c=0所以
x(t)=tg[x’(0)t]
习题2.2
求下列方程的解
1.
=
解:
y=e
(
e
)
=e
[-
e
(
)+c]
=ce
-
(
)是原方程的解。
2.
+3x=e
解:
原方程可化为:
=-3x+e
所以:
x=e
(
e
e
)
=e
(
e
+c)
=ce
+
e
是原方程的解。
3.
=-s
+
解:
s=e
(
e
)
=e
(
)
=e
(
)
=
是原方程的解。
4.
,n为常数.
解:
原方程可化为:
是原方程的解.
5.
+
=
解:
原方程可化为:
=-
(
)
=
是原方程的解.
6.
解:
=
+
令
则
=u
因此:
=
(*)
将
带入(*)中得:
是原方程的解.
13
这是n=-1时的伯努利方程。
两边同除以
,
令
P(x)=
Q(x)=-1
由一阶线性方程的求解公式
=
14
两边同乘以
令
这是n=2时的伯努利方程。
两边同除以
令
P(x)=
Q(x)=
由一阶线性方程的求解公式
=
=
15
这是n=3时的伯努利方程。
两边同除以
令
=
P(y)=-2yQ(y)=
由一阶线性方程的求解公式
=
=
16y=
+
P(x)=1Q(x)=
由一阶线性方程的求解公式
=
=
c=1
y=
17设函数
(t)于
∞ ∞上连续, (0)存在且满足关系式 (t+s)= (t) (s) 试求此函数。 令t=s=0得 (0+0)= (0) (0)即 (0)= 故 或 (1)当 时 即 ∞, ∞) (2)当 时 = = = = 于是 变量分离得 积分 由于 ,即t=0时 1= c=1 故 20.试证: (1)一阶非齐线性方程(2.28)的任两解之差必为相应的齐线性方程(2.3)之解; (2)若 是(2.3)的非零解,而 是(2.28)的解,则方程(2.28)的通解可表为 ,其中 为任意常数. (3)方程(2.3)任一解的常数倍或任两解之和(或差)仍是方程(2.3)的解. 证明: (2.28) (2.3) (1)设 , 是(2.28)的任意两个解 则 (1) (2) (1)- (2)得 即 是满足方程(2.3) 所以,命题成立。 (2)由题意得: (3) (4) 1)先证 是(2.28)的一个解。 于是 得 故 是(2.28)的一个解。 2)现证方程(4)的任一解都可写成 的形式 设 是(2.28)的一个解 则 (4’) 于是(4’)-(4)得 从而 即 所以,命题成立。 (3)设 , 是(2.3)的任意两个解 则 (5) (6) 于是(5) 得 即 其中 为任意常数 也就是 满足方程(2.3) (5) (6)得 即 也就是 满足方程(2.3) 所以命题成立。 21.试建立分别具有下列性质的曲线所满足的微分方程并求解。 (5)曲线上任一点的切线的纵截距等于切点横坐标的平方; (6)曲线上任一点的切线的纵截距是切点横坐标和纵坐标的等差中项; 解: 设 为曲线上的任一点,则过 点曲线的切线方程为 从而此切线与两坐标轴的交点坐标为 即横截距为 , 纵截距为 。 由题意得: (5) 方程变形为 于是 所以,方程的通解为 。 (6) 方程变形为 于是 所以,方程的通解为 。 22.求解下列方程。 (1) 解: = = = (2) P(x)= Q(x)= 由一阶线性方程的求解公式 = = = 习题2.3 1、验证下列方程是恰当方程,并求出方程的解。 1. 解: , =1. 则 所以此方程是恰当方程。 凑微分, 得: 2. 解: , . 则 . 所以此方程为恰当方程。 凑微分, 得 3. 解: 则 . 因此此方程是恰当方程。 (1) (2) 对 (1)做 的积分,则 = (3) 对(3)做 的积分,则 = = 则 故此方程的通解为 4、 解: , . . 则此方程为恰当方程。 凑微分, 得: 5.( sin - cos +1)dx+( cos - sin + )dy=0 解: M= sin - cos +1N= cos - sin + =- sin - cos - cos + sin =- sin - cos - cos + sin 所以, = ,故原方程为恰当方程 因为 sin dx- cos dx+dx+ cos dy- sin dy+ dy=0 d(-cos )+d(sin )+dx+d(- )=0 所以,d(sin -cos +x- )=0 故所求的解为sin -cos +x- =C 求下列方程的解: 6.2x(y -1)dx+ dy=0 解: =2x =2x 所以, = ,故原方程为恰当方程 又2xy dx-2xdx+ dy=0 所以,d(y -x )=0 故所求的解为y -x =C 7.(e +3y )dx+2xydy=0 解: e dx+3y dx+2xydy=0 e x dx+3x y dx+2x ydy=0 所以,de (x -2x+2)+d(x y )=0 即d[e (x -2x+2)+x y ]=0 故方程的解为e (x -2x+2)+x y =C 8.2xydx+(x +1)dy=0 解: 2xydx+x dy+dy=0 d(x y)+dy=0 即d(x y+y)=0 故方程的解为x y+y=C 9、 解: 两边同除以 得 即, 故方程的通解为 10、 解: 方程可化为: 即, 故方程的通解为: 即: 同时,y=0也是方程的解。 11、 解: 方程可化为: 即: 故方程的通解为: 12、 解: 方程可化为: 故方程的通解为: 即: 13、 解: 这里 , 方程有积分因子 两边乘以 得: 方程 是恰当方程 故方程的通解为: 即: 14、 解: 这里 因为 故方程的通解为: 即: 15、 解: 这里 方程有积分因子: 两边乘以 得: 方程 为恰当方程 故通解为: 即: 16、 解: 两边同乘以 得: 故方程的通解为: 17、试导出方程 具有形为 和 的积分因子的充要条件。 解: 若方程具有 为积分因子, ( 是连续可导) 令 , . , , , 方程有积分因子 的充要条件是: 是 的函数, 此时,积分因子为 . 令 , 此时的积分因子为 18.设 及 连续,试证方程 为线性方程的充要条件是它有仅依赖于 的积分因子. 证: 必要性若该方程为线性方程,则有 此方程有积分因子 只与 有关. 充分性若该方程有只与 有关的积分因子 . 则 为恰当方程, 从而 . 其中 .于是方程可化为 即方程为一阶线性方程. 20.设函数f(u),g(u)连续、可微且f(u) g(u),\,试证方程yf(xy)dx+xg(xy)dy=0 有积分因子u=(xy[f(xy)-g(xy)]) 证: 在方程yf(xy)dx+xg(xy)dy=0两边同乘以u得: uyf(xy)dx+uxg(xy)dy=0 则 =uf+uy +yf = + -yf = = = 而 =ug+ux +xg = + -xg = = 故 = ,所以u是方程得一个积分因子 21.假设方程(2.43)中得函数M(x,y)N(x,y)满足关系 = Nf(x)-Mg(y),其中f(x),g(y)分别为x和y得连续函数,试证方程(2.43) 有积分因子u=exp( + ) 证明: M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 即证 u +M =u +N u( - )=N -M u( - )=Ne f(x) -Me g(y) u( - )=e (Nf(x)-Mg(y)) 由已知条件上式恒成立,故原命题得证。 22、求出伯努利方程的积分因子. 解: 已知伯努利方程为: 两边同乘以 ,令 , 线性方程有积分因子: ,故原方程的积分因子为: ,证毕! 23、设 是方程 的积分因子,从而求得可微函数 , 使得 试证 也是方程 的积分因子的充要条件是 其中 是 的可微函数。 证明: 若 ,则 又 即 为 的一个积分因子。 24、设 是方程 的两个积分因子,且 常数,求证 (任意常数)是方程 的通解。 证明: 因为 是方程 的积分因子 所以 为恰当方程 即 , 下面只需证 的全微分沿方程恒为零 事实上: 即当 时, 是方程的解。 证毕! 习题2.4 求解下列方程 1、 解: 令 ,则 , 从而 , 于是求得方程参数形式得通解为 . 2、 解: 令 ,则 ,即 , 从而 , 于是求得方程参数形式得通解为 . 3、 解: 令 ,则 , 从而 = , 于是求得方程参数形式的通解为 另外,y=0也是方程的解. 4、 为常数 解: 令 ,则 , 从而 , 于是求得方程参数形式的通解为 . 5、 1 解: 令 ,则
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