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高中数学必修110
§1.1 算法的含义
学习目标 1.通过回顾二元一次方程组的求解过程,体会算法的基本思想(难点);2.了解算法的含义和特征;3.会用自然语言描述简单的具体问题的算法(重点).
预习教材P4-6完成下面的问题:
知识点一 算法的含义及特征
1.算法的概念
12世纪的算法
是指用阿拉伯数字进行算术运算的过程
数学中的算法
通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤
现代算法
通常可以编成计算机程序,让计算机执行并解决问题
2.算法的特征
(1)有限性:
一个算法的步骤序列是有限的,必须在有限的操作之后停止,不能是无限的.
(2)确定性:
算法中的每一步应该是确定的,并且能有效地执行且得到确定的结果,而不应当模棱两可.
(3)顺序性与正确性:
算法从初始步骤开始,分为若干明确的步骤,每一个步骤只能有一个确定的后续步骤,前一步是后一步的前提,只有执行完前一步才能进行下一步,并且每一步都准确无误,才能完成问题.
(4)不唯一性:
求解某一问题的解法不一定是唯一的,对于同一个问题可以有不同的算法.
(5)普遍性:
很多具体的问题,都可以设计合理的算法去解决,如心算、计算器计算都要经过有限、事先设计好的步骤加以解决.
3.算法与计算机
计算机解决任何问题都要依赖于算法.只有将解决问题的过程分解为若干个明确的步骤,即算法,并用计算机能够接受的“语言”准确地描述出来,计算机才能够解决问题.
【预习评价】
下列不是算法的是________.(填序号)
①解方程2x-6=0的过程是移项和系数化为1;
②从济南到温哥华要先乘火车到北京,再转乘飞机;
③解方程2x2+x-1=0;
④利用公式S=πr2计算半径为3的圆面积.
解析 ③不是算法,没有给出解这个方程的步骤.
答案 ③
知识点二 算法的设计
1.设计算法的目的
设计算法的目的实际上是寻求一类问题的算法,它可以通过计算机来完成.设计算法的关键是把过程分解成若干个明确的步骤,然后用计算机能够接受的“语言”准确地描述出来,从而达到让计算机执行的目的.
2.设计算法的要求
(1)写出的算法必须能解决一类问题.
(2)要使算法尽量简单、步骤尽量少.
(3)要保证算法步骤有效,且计算机能够执行.
【预习评价】
一次青青草原园长包包大人带着灰太狼、懒羊羊和一捆青草过河.河边只有一条船,由于船太小,只能装下两样东西.在无人看管的情况下,灰太狼要吃懒羊羊,懒羊羊要吃青草,请问包包大人如何才能带着他们平安过河?
提示 包包大人采取的过河的算法可以是:
第一步 包包大人带懒羊羊过河;
第二步 包包大人自己返回;
第三步 包包大人带青草过河;
第四步 包包大人带懒羊羊返回;
第五步 包包大人带灰太狼过河;
第六步 包包大人自己返回;
第七步 包包大人带懒羊羊过河.
题型一 算法的概念
【例1】 下面的结论中正确的序号是________.
①算法的每一步操作必须是明确的,不能有歧义;
②一个算法可以无止境地运算下去;
③完成一件事情的算法有且只有一种;
④设计算法要本着简单方便的原则.
解析 算法的步骤必须明确,其中不能含有模糊不清,让人误解的叙述,所以①正确;一个算法必须在执行有限步之后结束,且每一步都可在有限时间内完成,所以②错误;由于求解某一类问题的算法不是唯一的,所以③错误;算法设计要尽量简单、步骤尽量少,所以④正确.
答案 ①④
规律方法 针对这个类型的问题,正确理解算法的概念和特点是解决此类问题的关键.
【训练1】 下面对算法的描述正确的一项是________.
①算法只能用自然语言来描述
②算法只能用图形方式来表示
③同一问题可以有不同的算法
④同一问题的算法不同,结果必然不同
解析 根据算法含义可判断只有③正确.
答案 ③
题型二 算法的判断
【例2】 下列语句是算法的有________.(填写正确的序号)
①解方程x2-2x-3=0;②做米饭需要刷锅、淘米、添水、加热等几个步骤;③学习需要预习、质疑、听讲、练习、巩固等步骤;④利用公式S=4πr2计算半径为6的球的表面积,就是计算4π×62.
解析 ②③④都描述了解决问题的过程,是算法,而①只描述了一个事实,没有说明怎么解决问题,不是算法.
答案 ②③④
规律方法 “算法”与“一般意义上具体问题的解法”既有联系又有区别,它们之间是一般与特殊的关系,也是抽象与具体的关系.
【训练2】 下列说法中是算法的有________.(填序号)
①从上海到拉萨旅游,先坐飞机,再坐客车;
②解一元一次不等式的步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项,系数化为1;
③求以A(1,1),B(-1,-2)两点为端点的线段AB的中垂线方程,可先求出AB中点坐标,再求kAB及中垂线的斜率,最后用点斜式方程求得线段AB的中垂线方程;
④求1×2×3×4的值,先计算1×2=2,再计算2×3=6,6×4=24,得最终结果为24;
⑤
x>2x+4.
解析 ①说明了从上海到拉萨的行程安排.
②给出了解一元一次不等式这类问题的解法.
③给出了求线段的中垂线的方法及步骤.
④给出了求1×2×3×4的值的过程并得出结果.
故①②③④都是算法.
答案 ①②③④
【例3】 计算下列各式中的S值,能设计算法求解的是________.
①S=1+2+3+…+100.
②S=1+2+3+…+100+….
③S=1+2+3+…+n(n∈N*).
解析 算法是为解决某一类问题而设计的一系列操作或可计算的步骤,也就是说在实际的算法中n的值是具体确定的,因此①③是正确的,而算法又是具有有限性的,即执行有限步操作后一定能解决问题,而②显然不符合算法的有限性,所以②不正确.
答案 ①③
【迁移1】 写出求2+4+6+…+200的一个算法.(可以运用公式2+4+6+…+2n=n(n+1)直接计算)
第一步:
__________________________________________________________;
第二步:
__________________________________________________________;
第三步:
输出运算结果.
解析 解此题应首先求出算式中n的值,然后将n的值代入公式n(n+1)进行计算,即可得此题的一个算法.
答案 取n=100;计算n(n+1)
【迁移2】 写出求1+2+3+4+5的值的一个算法.
解 法一 算法步骤如下:
第一步 计算1+2,得3;
第二步 将第一步的运算结果3与3相加,得6;
第三步 将第二步的运算结果6与4相加,得10;
第四步 将第三步的运算结果10与5相加,得15;
第五步 输出结果.
法二 算法步骤如下:
第一步 取n=5;
第二步 计算
;
第三步 输出运算结果.
【迁移3】 写出求2×4×6×8×10的一个算法.
解 算法如下:
第一步 计算2×4得8;
第二步 将第一步中的运算结果8与6相乘得48;
第三步 将第二步中的运算结果48与8相乘得384;
第四步 将第三步中的运算结果384与10相乘得3840.
规律方法 ①解决一个问题的算法一般不是唯一的,不同的算法有优劣之分.②相乘的数小,数少,能很容易地算出,如果数多了,数大了,没有这样的过程,没有这样的步骤就很难去解决.如果要求2×4×6×8×…×100000的值,用计算机软件瞬间就能完成,计算机的运算靠程序支持,程序编写要依赖算法.
课堂达标
1.判断下列语句的正误:
(1)任何问题都能用算法来解决;( )
(2)算法的每一步都能得到一个确定的结果;( )
(3)一个算法可以解决一类问题,而不是个别问题;( )
(4)歌谱是一首歌曲的算法;( )
(5)算法只能用自然语言来描述.( )
答案
(1)×
(2)√ (3)√ (4)√ (5)×
2.下列关于算法的说法中正确的序号是________.
①算法是某个具体的解题过程;
②算法执行后可以不产生确定的结果;
③解决某类问题的算法不是唯一的;
④算法可以无限地操作下去不停止.
解析 算法与一般意义上具体问题的解法,既有区别,又有联系,算法的获得要借助一类问题的求解方法,而这一类具体问题都可以用这种方法来解决,因此①不对;算法中的每一步都应该是确定的,并且能有效执行,得到确定的结果,而不能含糊其辞或有歧义,所以②不正确;算法的操作步骤必须是有限的,必须在有限的步骤内完成,因此④不对;算法具有不唯一性,③正确.
答案 ③
3.下列四种自然语言叙述中,能称为算法的序号是________.
①在家里一般是妈妈做饭;
②植树需要运苗,挖坑,栽苗,浇水这些步骤;
③在野外做饭叫野炊;
④做饭必须要有米.
解析 算法是做一件事情或解决一个问题等的程序或步骤,故填②.
答案 ②
4.已知某学生的语文、数学、英语成绩分别为90分、95分、94分,求他的总分和平均分的一个算法为:
第一步 取A=90,B=95,C=94;
第二步 ____________________;
第三步 ____________________;
第四步 输出D,E.
答案 计算D=A+B+C 计算E=
5.下面是解决一个问题的算法:
第一步 输入x.
第二步 若x≥4,转到第三步;否则转到第四步.
第三步 输出2x-1.
第四步 输出x2-2x+3.
当输入x的值为________时,输出的数值最小值为________.
解析 所给算法解决的问题是求分段函数f(x)=
的函数值问题,当x≥4时,f(x)=2x-1≥2×4-1=7;
当x<4时,f(x)=x2-2x+3=(x-1)2+2≥2,所以f(x)min=2,此时x=1.即输入x的值为1时,输出的数值最小,最小值为2.
答案 1 2
课堂小结
1.算法的特点:
有限性、确定性、顺序性、不唯一性、普遍性.
2.算法设计的要求:
(1)写出的算法必须能够解决一类问题,并且能够重复使用.
(2)要使算法尽量简单,步骤尽量少.
(3)要保证算法正确,且算法步骤能够一步一步执行,在有限步后能得到结果.
基础过关
1.算法的有穷性是指________(填序号).
①算法的最后包含输出;
②算法中每个操作步骤都是可执行的;
③算法的步骤必须有限.
解析 据算法的特点判断.
答案 ③
2.下列可以看成算法的是________(填序号).
①学习数学时,课前预习,课上认真听讲并记好笔记,课下先复习再做作业,之后做适当的练习题;
②今天餐厅的饭真好吃;
③这道数学题难做;
④求过点M与N的直线方程.
解析 ①是学习数学的一个步骤,所以是算法.
答案 ①
3.我们已学过的算法有求解一元二次方程的求根公式,加减消元法求二元一次方程组的解,二分法求出函数的零点等,对算法的描述有:
①对一类问题都有效;
②算法可执行的步骤必须是有限的;
③算法可以一步一步地进行,每一步都有确切的含义;
④是一种通法,只要按部就班地做,总能得到结果.
以上算法的描述正确的有________(填序号).
解析 由算法的概念可知①②③④都正确.
答案 ①②③④
4.在用二分法求方程零点的算法中,下列说法正确的序号是________.
①这个算法可以求所有的零点;
②这个算法可以求任何方程的零点;
③这个算法能求所有零点的近似解;
④这个算法可以求变号零点近似解.
解析 二分法的理论依据是函数的零点存在性定理.它解决的是求变号零点的问题,并不能求所有零点的近似值.
答案 ④
5.已知直角三角形两直角边长为a,b,求斜边长c的一个算法分下列三步:
(1)计算c=
;
(2)输入直角三角形两直角边长a,b的值;
(3)输出斜边长c的值.
其中正确的顺序是________.
解析 算法的步骤是有先后顺序的,第一步是输入,最后一步是输出,中间的步骤是赋值、计算.
答案
(2)
(1)(3)
6.写出解方程3x+5=0的算法步骤:
第一步 ________________①________________;
第二步 ________________②________________;
第三步 ________________③________________.
解析 解一元一次方程的步骤是移项,两边同时除以x的系数,得出x的值.
答案 ①移项,得3x=-5 ②两边同时除以3,得x=-
③得结论,方程3x+5=0的解为x=-
7.输入一个x值,利用y=|x+1|求函数值的算法如下,请将所缺部分补充完整:
第一步 输入x;
第二步 _________________________________________________________;
第三步 计算y=-x-1;
第四步 输出y.
解析 y=|x+1|=
故第二步为当x≥-1时,计算y=x+1;否则执行第三步.
答案 当x≥-1时,计算y=x+1;否则执行第三步
能力提升
8.阅读下面的算法:
第一步 输入两个实数a,b;
第二步 若a<b,则交换a,b的值,否则执行第三步;
第三步 输出a.
这个算法输出的是________.
解析 第二步中,若a<b,则交换a,b的值,那么a是a,b中的较大数.
答案 a,b中的较大数
9.小王中午放学回家自己煮面条吃,有下列几道工序:
①洗锅盛水2分钟;②洗菜6分钟;③准备面条及佐料2分钟;④用锅把水烧开10分钟;⑤煮面条3分钟.小王要将面条煮好最少要用的时间为________分钟.
解析 ①洗锅盛水2分钟,④用锅把水烧开10分钟(同时进行:
②洗菜6分钟,③准备面条及佐料2分钟),⑤煮面条3分钟,共用15分钟.
答案 15
10.给出下列算法:
第一步 输入x的值;
第二步 当x>4时,计算y=x+2,否则执行第三步;
第三步 计算y=
;
第四步 输出y.
当输入x=0时,输出y=________.
解析 由于x=0<4,故计算y=
=3,输出y=3.
答案 3
11.给出如下算法:
第一步 输入a,b,c的值;
第二步 当a>b时,令“最小值”为b;否则,令“最小值”为a;
第三步 当“最小值”大于c时,令“最小值”为c;否则,“最小值”不变;
第四步 输出“最小值”.
若输入a=5,b=3,c=-6,则输出的值是________.
解析 本算法的功能是输入a,b,c的值,输出其中的最小值,由于c<b<a,则输出的值是-6.
答案 -6
12.对于算法:
第一步 输入n;
第二步 判断n是否等于2,若n=2,则n满足条件;若n>2,则执行第三步;
第三步 依次从2到(n-1)检验能不能被n整除,若不能被n整除,则执行第四步;若能整除n,则结束算法;
第四步 输出n.
满足条件的n是________.
解析 此题首先要理解质数,只能被1和自身整除的大于1的整数叫质数.2是最小的质数,这个算法通过对2到(n-1)一一验证,看是否有其他约数,来判断其是否为质数.
答案 质数
13.(选做题)鸡兔同笼问题:
鸡和兔各若干只,数腿共100条,数头共30只,试设计一个算法,求出鸡和兔各有多少只.
解 第一步 设有x只鸡,y只兔,列方程组
第二步 ②÷2+①×(-1),得y=20;
第三步 把y=20代入x=30-y,得x=10;
第四步 得到方程组的解
第五步 输出结果,鸡10只,兔20只.
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