中考数学试题分类汇编考点30切线的性质和判定及解析.docx
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中考数学试题分类汇编考点30切线的性质和判定及解析
2018中考数学试题分类汇编:
考点30切线的性质和判定
一.选择题(共11小题)
1.(2018•哈尔滨)如图,点P为⊙O外一点,PA为⊙O的切线,A为切点,PO交⊙O于点B,∠P=30°,OB=3,则线段BP的长为( )
A.3B.3
C.6D.9
【分析】直接利用切线的性质得出∠OAP=90°,进而利用直角三角形的性质得出OP的长.
【解答】解:
连接OA,
∵PA为⊙O的切线,
∴∠OAP=90°,
∵∠P=30°,OB=3,
∴AO=3,则OP=6,
故BP=6﹣3=3.
故选:
A.
2.(2018•眉山)如图所示,AB是⊙O的直径,PA切⊙O于点A,线段PO交⊙O于点C,连结BC,若∠P=36°,则∠B等于( )
A.27°B.32°C.36°D.54°
【分析】直接利用切线的性质得出∠OAP=90°,再利用三角形内角和定理得出∠AOP=54°,结合圆周角定理得出答案.
【解答】解:
∵PA切⊙O于点A,
∴∠OAP=90°,
∵∠P=36°,
∴∠AOP=54°,
∴∠B=27°.
故选:
A.
3.(2018•重庆)如图,已知AB是⊙O的直径,点P在BA的延长线上,PD与⊙O相切于点D,过点B作PD的垂线交PD的延长线于点C,若⊙O的半径为4,BC=6,则PA的长为( )
A.4B.2
C.3D.2.5
【分析】直接利用切线的性质得出∠PDO=90°,再利用相似三角形的判定与性质分析得出答案.
【解答】解:
连接DO,
∵PD与⊙O相切于点D,
∴∠PDO=90°,
∵∠C=90°,
∴DO∥BC,
∴△PDO∽△PCB,
∴
=
=
=
,
设PA=x,则
=
,
解得:
x=4,
故PA=4.
故选:
A.
4.(2018•福建)如图,AB是⊙O的直径,BC与⊙O相切于点B,AC交⊙O于点D,若∠ACB=50°,则∠BOD等于( )
A.40°B.50°C.60°D.80°
【分析】根据切线的性质得到∠ABC=90°,根据直角三角形的性质求出∠A,根据圆周角定理计算即可.
【解答】解:
∵BC是⊙O的切线,
∴∠ABC=90°,
∴∠A=90°﹣∠ACB=40°,
由圆周角定理得,∠BOD=2∠A=80°,
故选:
D.
5.(2018•泸州)在平面直角坐标系内,以原点O为圆心,1为半径作圆,点P在直线y=
上运动,过点P作该圆的一条切线,切点为A,则PA的最小值为( )
A.3B.2C.
D.
【分析】如图,直线y=
x+2
与x轴交于点C,与y轴交于点D,作OH⊥CD于H,先利用一次解析式得到D(0,2
),C(﹣2,0),再利用勾股定理可计算出CD=4,则利用面积法可计算出OH=
,连接OA,如图,利用切线的性质得OA⊥PA,则PA=
,然后利用垂线段最短求PA的最小值.
【解答】解:
如图,直线y=
x+2
与x轴交于点C,与y轴交于点D,作OH⊥CD于H,
当x=0时,y=
x+2
=2
,则D(0,2
),
当y=0时,
x+2
=0,解得x=﹣2,则C(﹣2,0),
∴CD=
=4,
∵
OH•CD=
OC•OD,
∴OH=
=
,
连接OA,如图,
∵PA为⊙O的切线,
∴OA⊥PA,
∴PA=
=
,
当OP的值最小时,PA的值最小,
而OP的最小值为OH的长,
∴PA的最小值为
=
.
故选:
D.
6.(2018•泰安)如图,BM与⊙O相切于点B,若∠MBA=140°,则∠ACB的度数为( )
A.40°B.50°C.60°D.70°
【分析】连接OA、OB,由切线的性质知∠OBM=90°,从而得∠ABO=∠BAO=50°,由内角和定理知∠AOB=80°,根据圆周角定理可得答案.
【解答】解:
如图,连接OA、OB,
∵BM是⊙O的切线,
∴∠OBM=90°,
∵∠MBA=140°,
∴∠ABO=50°,
∵OA=OB,
∴∠ABO=∠BAO=50°,
∴∠AOB=80°,
∴∠ACB=
∠AOB=40°,
故选:
A.
7.(2018•深圳)如图,一把直尺,60°的直角三角板和光盘如图摆放,A为60°角与直尺交点,AB=3,则光盘的直径是( )
A.3B.
C.6D.
【分析】设三角板与圆的切点为C,连接OA、OB,由切线长定理得出AB=AC=3、∠OAB=60°,根据OB=ABtan∠OAB可得答案.
【解答】解:
设三角板与圆的切点为C,连接OA、OB,
由切线长定理知AB=AC=3,OA平分∠BAC,
∴∠OAB=60°,
在Rt△ABO中,OB=ABtan∠OAB=3
,
∴光盘的直径为6
,
故选:
D.
8.(2018•重庆)如图,△ABC中,∠A=30°,点O是边AB上一点,以点O为圆心,以OB为半径作圆,⊙O恰好与AC相切于点D,连接BD.若BD平分∠ABC,AD=2
,则线段CD的长是( )
A.2B.
C.
D.
【分析】连接OD,得Rt△OAD,由∠A=30°,AD=2
,可求出OD、AO的长;由BD平分∠ABC,OB=OD可得
OD与BC间的位置关系,根据平行线分线段成比例定理,得结论.
【解答】解:
连接OD
∵OD是⊙O的半径,AC是⊙O的切线,点D是切点,
∴OD⊥AC
在Rt△AOD中,∵∠A=30°,AD=2
,
∴OD=OB=2,AO=4,
∴∠ODB=∠OBD,又∵BD平分∠ABC,
∴∠OBD=∠CBD
∴∠ODB=∠CBD
∴OD∥CB,
∴
即
∴CD=
.
故选:
B.
9.(2018•湘西州)如图,直线AB与⊙O相切于点A,AC、CD是⊙O的两条弦,且CD∥AB,若⊙O的半径为5,CD=8,则弦AC的长为( )
A.10B.8C.4
D.4
【分析】由AB是圆的切线知AO⊥AB,结合CD∥AB知AO⊥CD,从而得出CE=4,Rt△COE中求得OE=3及AE=8,在Rt△ACE中利用勾股定理可得答案.
【解答】解:
∵直线AB与⊙O相切于点A,
∴OA⊥AB,
又∵CD∥AB,
∴AO⊥CD,记垂足为E,
∵CD=8,
∴CE=DE=
CD=4,
连接OC,则OC=OA=5,
在Rt△OCE中,OE=
=
=3,
∴AE=AO+OE=8,
则AC=
=
=4
,
故选:
D.
10.(2018•宜昌)如图,直线AB是⊙O的切线,C为切点,OD∥AB交⊙O于点D,点E在⊙O上,连接OC,EC,ED,则∠CED的度数为( )
A.30°B.35°C.40°D.45°
【分析】由切线的性质知∠OCB=90°,再根据平行线的性质得∠COD=90°,最后由圆周角定理可得答案.
【解答】解:
∵直线AB是⊙O的切线,C为切点,
∴∠OCB=90°,
∵OD∥AB,
∴∠COD=90°,
∴∠CED=
∠COD=45°,
故选:
D.
11.(2018•无锡)如图,矩形ABCD中,G是BC的中点,过A、D、G三点的圆O与边AB、CD分别交于点E、点F,给出下列说法:
(1)AC与BD的交点是圆O的圆心;
(2)AF与DE的交点是圆O的圆心;(3)BC与圆O相切,其中正确说法的个数是( )
A.0B.1C.2D.3
【分析】连接DG、AG,作GH⊥AD于H,连接OD,如图,先确定AG=DG,则GH垂直平分AD,则可判断点O在HG上,再根据HG⊥BC可判定BC与圆O相切;接着利用OG=OG可判断圆心O不是AC与BD的交点;然后根据四边形AEFD为⊙O的内接矩形可判断AF与DE的交点是圆O的圆心.
【解答】解:
连接DG、AG,作GH⊥AD于H,连接OD,如图,
∵G是BC的中点,
∴AG=DG,
∴GH垂直平分AD,
∴点O在HG上,
∵AD∥BC,
∴HG⊥BC,
∴BC与圆O相切;
∵OG=OG,
∴点O不是HG的中点,
∴圆心O不是AC与BD的交点;
而四边形AEFD为⊙O的内接矩形,
∴AF与DE的交点是圆O的圆心;
∴
(1)错误,
(2)(3)正确.
故选:
C.
二.填空题(共14小题)
12.(2018•安徽)如图,菱形ABOC的边AB,AC分别与⊙O相切于点D,E.若点D是AB的中点,则∠DOE= 60 °.
【分析】连接OA,根据菱形的性质得到△AOB是等边三角形,根据切线的性质求出∠AOD,同理计算即可.
【解答】解:
连接OA,
∵四边形ABOC是菱形,
∴BA=BO,
∵AB与⊙O相切于点D,
∴OD⊥AB,
∵点D是AB的中点,
∴直线OD是线段AB的垂直平分线,
∴OA=OB,
∴△AOB是等边三角形,
∵AB与⊙O相切于点D,
∴OD⊥AB,
∴∠AOD=
∠AOB=30°,
同理,∠AOE=30°,
∴∠DOE=∠AOD+∠AOE=60°,
故答案为:
60.
13.(2018•连云港)如图,AB是⊙O的弦,点C在过点B的切线上,且OC⊥OA,OC交AB于点P,已知∠OAB=22°,则∠OCB= 44° .
【分析】首先连接OB,由点C在过点B的切线上,且OC⊥OA,根据等角的余角相等,易证得∠CBP=∠CPB,利用等腰三角形的性质解答即可.
【解答】解:
连接OB,
∵BC是⊙O的切线,
∴OB⊥BC,
∴∠OBA+∠CBP=90°,
∵OC⊥OA,
∴∠A+∠APO=90°,
∵OA=OB,∠OAB=22°,
∴∠OAB=∠OBA=22°,
∴∠APO=∠CBP=68°,
∵∠APO=∠CPB,
∴∠CPB=∠ABP=68°,
∴∠OCB=180°﹣68°﹣68°=44°,
故答案为:
44°
14.(2018•泰州)如图,△ABC中,∠ACB=90°,sinA=
,AC=12,将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A'B'C,P为线段A′B'上的动点,以点P为圆心,PA′长为半径作⊙P,当⊙P与△ABC的边相切时,⊙P的半径为
或
.
【分析】分两种情形分别求解:
如图1中,当⊙P与直线AC相切于点Q时,如图2中,当⊙P与AB相切于点T时,
【解答】解:
如图1中,当⊙P与直线AC相切于点Q时,连接PQ.
设PQ=PA′=r,
∵PQ∥CA′,
∴
=
,
∴
=
,
∴r=
.
如图2中,当⊙P与AB相切于点T时,易证A′、B′、T共线,
∵△A′BT∽△ABC,
∴
=
,
∴
=
,
∴A′T=
,
∴r=
A′T=
.
综上所述,⊙P的半径为
或
.
15.(2018•宁波)如图,正方形ABCD的边长为8,M是AB的中点,P是BC边上的动点,连结PM,以点P为圆心,PM长为半径作⊙P.当⊙P与正方形ABCD的边相切时,BP的长为 3或4
.
【分析】分两种情形分别求解:
如图1中,当⊙P与直线CD相切时;如图2中当⊙P与直线AD相切时.设切点为K,连接PK,则PK⊥AD,四边形PKDC是矩形;
【解答】解:
如图1中,当⊙P与直线CD相切时,设PC=PM=m.
在Rt△PBM中,∵PM2=BM2+PB2,
∴x2=42+(8﹣x)2,
∴x=5,
∴PC=5,BP=BC﹣PC=8﹣5=3.
如图2中当⊙P与直线AD相切时.设切点为K,连接PK,则PK⊥AD,四边形PKDC是矩形.
∴PM=P
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