与名师对话文平面向量的综合应用.docx
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与名师对话文平面向量的综合应用
第四节 平面向量的综合应用
高考概览:
1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题;2.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.
[知识梳理]
1.向量在平面几何中的应用
用平面向量解决平面几何问题时,常常建立平面直角坐标系,这样可以使向量的运算更简便一些.在解决这类问题时,共线向量定理和平面向量基本定理起主导作用.
2.向量与三角函数的应用
解决这类问题的关键是应用向量知识将问题准确转化为三角问题,再利用三角知识进行求解.
3.向量在函数、不等式中的应用
利用向量的载体作用,可以将向量与函数、不等式结合起来,解题时通过定义或坐标运算进行转化,使问题的条件结论明朗化.
[辨识巧记]
一个工具作用
利用a⊥b⇔a·b=0;a∥b⇔a=λb(b≠0),可解决垂直、平行问题.
[双基自测]
1.判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若∥,则A,B,C三点共线.( )
(2)在△ABC中,若·<0,则△ABC为钝角三角形.( )
(3)若平面四边形ABCD满足+=0,(-)·=0,则该四边形一定是菱形.( )
(4)作用于同一点的两个力F1和F2的夹角为,且|F1|=3,|F2|=5,则F1+F2的大小为.( )
[答案]
(1)√
(2)× (3)√ (4)√
2.已知向量a=(2,sinθ),b=(1,cosθ),若a∥b,则sin2θ=( )
A.B.-C.D.-
[解析] ∵a∥b,∴2cosθ-sinθ=0,即sinθ=2cosθ,故tanθ=2,∴sin2θ=2sinθcosθ===.故选C.
[答案] C
3.在△ABC中,AB=AC=2,BC=2,则·=( )
A.2B.2C.-2D.-2
[解析] 由余弦定理得
cosA=
==-,
所以·=||·||cosA
=2×2×=-2,故选D.
[答案] D
4.(2019·湖南长沙模拟)如图,正方形ABCD中,E为DC的中点,若=λ+μ,则λ+μ的值为( )
A.B.-
C.1D.-1
[解析] 如图所示,建立平面直角坐标系,
设A(0,0),B(1,0),C(1,1),E,
则=,=(1,0),=(1,1),
由=λ+μ,得λ+μ=.故选A.
[答案] A
5.已知点P在圆x2+y2=1上,点A的坐标为(-2,0),O为原点,则·的最大值为________.
[解析] 解法一:
如图,||=2,·=||||cosα.
当P位于P′时,(·)max=6.
解法二:
设P(x,y),则-1≤x≤1,·=(2,0)·(x+2,y)=2x+4.∵-2≤2x≤2,∴2≤2x+4≤6.∴·的最大值为6.
[答案] 6
考点一 向量在平面几何中的应用
【例1】 (2019·西安高新模拟)如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,CD=2,∠BAD=,若·=2·,则·=________.
[解析] 解法一:
因为·=2·,
所以·-·=·,
所以·=·.
因为AB∥CD,CD=2,∠BAD=,
所以2||=||||cos,化简得||=2.
故·=·(+)=||2+·
=
(2)2+2×2cos=12.
解法二:
如图,建立平面直角坐标系.
依题意,可设点D(m,m),C(m+2,m),B(n,0),其中m>0,n>0,
则由·=2·,得(n,0)·(m+2,m)
=2(n,0)·(m,m),
所以n(m+2)=2nm,化简得m=2.
故·=(m,m)·(m+2,m)=2m2+2m=12.
[答案] 12
向量与平面几何综合问题的解法
(1)基向量法:
适当选取一组基底,沟通向量之间的联系,利用向量间的关系构造关于未知量的方程来进行求解.
(2)坐标法:
把几何图形放在适当的坐标系中,则有关点与向量就可以用坐标表示,这样就能进行相应的代数运算和向量运算,从而使问题得到解决.
[对点训练]
1.已知在直角三角形ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=2,点P是斜边AB上的中点,则·+·=________.
[解析] 由题意可建立如图所示的平面直角坐标系,可得A(2,0),B(0,2),P(1,1),C(0,0),则·+·=(1,1)·(0,2)+(1,1)·(2,0)=2+2=4.
[答案] 4
2.已知菱形ABCD的边长为2,∠BAD=120°,点E,F分别在边BC,DC上,BC=3BE,DC=λDF.若·=1,则λ的值为________.
[解析] ·=(+)·(+)=·
=·+·+·+·=||||cos120°+||2+||2+||·||·cos120°=-2++-=-=1,∴λ=2.
[答案] 2
考点二 向量在三角函数中的应用
【例2】 已知向量a=(1,sinx),b=(sinx,-1),c=(1,cosx),x∈(0,π).
(1)若(a+b)∥c,求x的值;
(2)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且B为
(1)中的x,2sin2B+2sin2C-2sin2A=sinBsinC,
求sin的值.
[解]
(1)∵a=(1,sinx),b=(sinx,-1),c=(1,cosx),x∈(0,π),
∴a+b=(1+sinx,sinx-1),
∵(a+b)∥c,
∴(1+sinx)cosx=sinx-1,
∴sinxcosx=sinx-cosx-1,
令sinx-cosx=t,则t=sin,- ∴- t∈(-1,],∴=t-1,即t2+2t-3=0,∴t=1, ∴sinx-cosx=1,于是sin=1⇒ sin=, ∵- (2)∵2sin2B+2sin2C-2sin2A=sinBsinC, ∴2b2+2c2-2a2=bc, ∴=. ∴cosA=⇒sinA=, 又B=,∴sin=sin(π-A-B-)=sin(-A)=sincosA-cossinA=×-×=. 解决向量与三角函数、解三角形知识综合题的关键是把向量关系转化为向量的有关运算,再进一步转化为实数运算(即坐标运算),进而利用三角函数或正余弦定理等知识解决问题. [对点训练] (2019·济南模拟)在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c已知向量m=,n=(c,b-2a),且m·n=0. (1)求∠C的大小; (2)若点D为边AB上一点,且满足=,||=,c=2,求△ABC的面积. [解] (1)∵m=(cos∠B,cos∠C),n=(c,b-2a),m·n=0, ∴ccos∠B+(b-2a)cos∠C=0,在△ABC中,由正弦定理得 sin∠Ccos∠B+(sin∠B-2sin∠A)cos∠C=0, sin∠A=2sin∠Acos∠C,又sin∠A≠0, ∴cos∠C=,而∠C∈(0,π),∴∠C=. (2)由=知,-=-,所以2=+, 两边平方得4||2=b2+a2+2bacos∠ACB=b2+a2+ba=28.① 又c2=a2+b2-2abcos∠ACB,∴a2+b2-ab=12.② 由①②得ab=8,∴S△ABC=absin∠ACB=2. 考点三 向量在函数、不等式中的应用 【例3】 (1)(2019·河北张家口期末)已知向量a=(1,x-1),b=(y,2),其中x>0,y>0,若a⊥b,则xy的最大值为( ) A.-B.C.1D.2 (2)(2018·四川内江一模)已知菱形ABCD的边长为2,∠DAB=60°,P是线段BD上一点,则·(+)的最小值是________. [思路引导] (1)→→→ (2)→→ [解析] (1)因为a=(1,x-1),b=(y,2),a⊥b,则a·b=y+2(x-1)=0,即2x+y=2,因为x>0,y>0,所以2=2x+y≥2,解得xy≤, 当且仅当2x=y,即x=,y=1时,取等号, 故xy的最大值为,故选B. (2)以AC所在直线为x轴,BD所在直线为y轴建立平面直角坐标系,如图所示.由题意可知, A(-,0),B(0,-1),C(,0),D(0,1).设P(0,y),则-1≤y≤1,=(-,-y),=(,-y),=(0,1-y),故·(+)=2y2-y-3= 22-,当y=时,·(+)取得最小值-. [答案] (1)B (2)- 解决向量与函数、不等式综合问题的关键是在平面直角坐标系下转化为函数、基本不等式等问题,借助相关知识进行求解. [对点训练] (2018·安徽师大附中二模)在△ABC中,AB=2AC=6,·=2,点P是△ABC所在平面内一点,则当2+2+2取得最小值时,·=( ) A.B.-C.9D.-9 [解析] ∵·=||·||·cosB=||2,∴||·cosB=||=6, ∴⊥,即A=, 以A为坐标原点建立如图所示的坐标系, 则B(6,0),C(0,3), 设P(x,y), 则2+2+2=x2+y2+(x-6)2+y2+x2+(y-3)2 =3x2-12x+3y2-6y+45 =3[(x-2)2+(y-1)2+10], ∴当x=2,y=1时,2+2+2取得最小值,此时·=(2,1)·(-6,3)=-9,故选D. [答案] D 创新交汇系列③——三角形的“心”的向量表示及应用 素养解读: 三角形各“心”的概念介绍 重心: 三角形的三条中线的交点; 垂心: 三角形的三条高线的交点; 内心: 三角形的三个内角角平分线的交点(三角形内切圆的圆心); 外心: 三角形的三条边的垂直平分线的交点(三角形外接圆的圆心). 根据概念,可知各心的特征条件.比如: 重心将中线长度分成2∶1;垂线与对应边垂直;角平分线上的任意点到角两边的距离相等;外心到三角形各顶点的距离相等. 【典例】 (1)已知O是平面上的一定点,A、B、C是平面上不共线的三个动点,若动点P满足=+λ(+),λ∈(0,+∞),则点P的轨迹一定通过△ABC的( ) A.内心 B.外心C.重心D.垂心 [切入点] 借助向量的和差运算,结合向量的几何意义进行判断. [关键点] 向量的转化与各“心”的几何位置相结合. [规范解答] (1)由原等式,得-=λ(+),,即=λ(+),根据平行四边形法则,知+是△ABC的中线AD(D为BC的中点)所对应向量的2倍,所以点P的轨迹必过△ABC的重心.故选C. (2)由条件,得-=λ,即=λ·,而和分别表示平行于,的单位向量, 故+平分∠BAC,即平分∠BAC,所以点P的轨迹必过△ABC的内心.故选A. (3)由条件,得=λ, 从而·=λ=λ·+λ·=0,所以⊥,则动点P的轨迹一定通过△ABC的垂心.故选D. [答案] (1)C (2)A (3)D 三角形各“心”的向量表示 (1)O是△ABC的重心⇔++=0. (2)O是△ABC的垂心⇔·=·=·. (3)O是△ABC的外心⇔||=||=||(或2=2=2). (4)O是△ABC的内心⇔· =·=·=0. [感悟体验] 1.若O为△ABC内一点,||=||=||,则O是△ABC的( ) A.内心B.外心C.垂心D.重心 [解析] 由向量模的定义知O到△ABC的三顶点距离相等,故O是△ABC的外心,故选B. [答案] B 2.点P是△ABC所在平面上一点,若·=·=·,则点P是△ABC的( ) A.外心B.内心C.重心D.垂心 [解析] 由·=·,得·-·=0,即·(-)=0,即·=0,即PB⊥CA. 同理PA⊥BC,PC⊥AB,所以P为△ABC的垂心.故选D. [答案] D 3.(2019·西工大附中四模)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,点G在△ABC内,且满足++=0,·=0,若a2+b2=λc2(λ∈R),则λ=( ) A.-5B.-2C.2D.5 [解析] 设BC的中点为D,连接GD,则+=2. 又++=0,所以2=,所以A,G,D三点共线,且AG=2GD. 故==×(+)=(+). 同理可得=(+). 由·=0,得(+)·(+)=0, 所以(+)·(-2)=0,即||2-2||2-·=0, 所以b2-2c2-bc·=0, 化简得a2+b2=5c2. 又a2+b2=λc2(λ∈R),所以λ=5.故选D. [答案] D 课后跟踪训练(三十) 基础巩固练 一、选择题 1.已知菱形ABCD的边长为6,∠ABD=30°,点E,F分别在边BC,DC上,BC=2BE,CD=λCF.若·=-9,则λ的值为( ) A.2B.3C.4D.5 [解析] 依题意得=+=-,=+,因此·=·=2-2+·,于是有×62+×62×cos60°=-9,由此解得λ=3,故选B. [答案] B 2.已知点A(-1,1),B(1,2),C(-2,-1),D(3,4),则向量在方向上的投影是( ) A.-3B.-C.3D. [解析] 依题意得,=(-2,-1),=(5,5),·=-15,||=,因此向量在方向上的投影是==-3,故选A. [答案] A 3.(2019·山西太原一模)已知向量a=(1,cosα),b=(sinα,1),且0<α<π,若a⊥b,则α=( ) A.B.C.D. [解析] 解法一: 因为a=(1,cosα),b=(sinα,1),且a⊥b,所以a·b=sinα+cosα=0,所以tanα=-1,因为0<α<π,所以α=,故选B. 解法二: α=或时,sinα>0,cosα>0,所以a·b≠0,故排除选项C,D,再验证选项A或B,如α=时,a=,b=,a·b=0,故选B. [答案] B 4.(2018·浙江台州中学期中)设向量a,b满足|a|=1,a与a-b的夹角为150°,则|b|的取值范围是( ) A.B. C.D.(1,+∞) [解析] 作△OAB,设=a,=b,则=-=a-b. ∵a与a-b的夹角为150°,即与的夹角为150°, ∴在△OAB中,∠OAB=150°. 由正弦定理得=,0° ∴0 ∴|b|==∈(1,+∞).故选D. [答案] D 5.(2019·福建高三质检)△ABC中,∠A=90°,AB=2,AC=1,设点P,Q满足=λ,=(1-λ).若·=-2,则λ=( ) A.B.C.D.2 [解析] 以点A为坐标原点,以的方向为x轴的正方向,以的方向为y轴的正方向,建立如图平面直角坐标系,由题知B(2,0),C(0,1),P(2λ,0),Q(0,1-λ),=(-2,1-λ),=(2λ,-1).∵·=-2,∴1+3λ=2,解得λ=,故选A. [答案] A 二、填空题 6.(2018·天津一中月考)已知向量与的夹角为120°,且||=3,||=2.若=λ+,且⊥,则实数λ=________. [解析] 由题意可知=-,因为⊥,所以·=0,所以·=(λ+)·(-)=λ·-λ2+2-·=λ×3×2×-λ×32+22-2×3×=-12λ+7=0.解得λ=. [答案] 7.已知向量a=(cosθ,sinθ),向量b=(,-1),则|2a-b|的最大值与最小值的和为________. [解析] 由题意可得a·b=cosθ-sinθ=2cos,则|2a-b|===∈[0,4],所以|2a-b|的最大值与最小值的和为4. [答案] 4 8.(2019·湖南长沙长郡中学模拟)已知AD是△ABC的中线,=λ+μ(λ,μ∈R),∠A=120°,·=-2,则||的最小值是________. [解析] 由题意知=(+),记||=c,||=b,则·=bccos120°=-2,所以bc=4. 2=(2+2+2·)=×(c2+b2-4),显然b2+c2≥2bc=8(当且仅当b=c时取等号),所以2≥×(8-4)=1,即||的最小值为1. [答案] 1 三、解答题 9.已知向量a=(1,2sinθ),b=,θ∈R. (1)若a⊥b,求tanθ的值; (2)若a∥b,且θ∈,求θ的值. [解] (1)因为a⊥b,所以a·b=0, 所以2sinθ+sin=0,即sinθ+cosθ=0. 因为cosθ≠0,所以tanθ=-. (2)由a∥b,得2sinθsin=1, 即2sin2θcos+2sinθcosθsin=1,即(1-cos2θ)+sin2θ=1,整理得sin=, 又θ∈,所以2θ-∈, 所以2θ-=,即θ=. 10.(2019·山东枣庄一中一模)在△ABC中,设内角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量m=(cosA,sinA),向量n=(-sinA,cosA),若|m+n|=2. (1)求角A的大小; (2)若b=4,且c=a,求△ABC的面积. [解] (1)∵m+n=(+cosA-sinA,cosA+sinA), ∴|m+n|2=(+cosA-sinA)2+(cosA+sinA)2=2+2(cosA-sinA)+(cosA-sinA)2+(cosA+sinA)2=2+2(cosA-sinA)+2=4-4sin=4, ∴sin=0.
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