不等式常见考试题型总结.docx
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不等式常见考试题型总结
《不等式》常见考试题型总结
一、高考与不等式
高考试题,有关不等式的试题约占总分的12%左右,主要考查不等式的基本知识,基本技能,以
及学生的运算能力,逻辑思维能力,分析问题和解决问题的能力•选择题和填空题主要考查不等式的性质、比较大小和解简单不等式,还可能与函数、方程等内容相结合的小综合•解答题主要是解不等式或证明不等式或以其他知识为载体的综合题。
不等式常与下列知识相结合考查:
1不等式的性质的考查常与指数函数、对数函数、三角函数的性质的考查相结合,一般多以选择题的形式出现,有时也与充要条件、函数单调性等知识结合,且试题难度不大;
2解不等式的试题主要在解答中出现,常常是解含参不等式较多,且多与二次函数、指数、对数、可能还会出现导数相结合命题;
3证明不等式是理科考查的重点,经常同一次函数、二次函数、数列、解析几何,甚至还可能与平面向量等结合起来考查.
二、常见考试题型
(1)求解不等式解集的题型
(分式不等式的解法,根式不等式的解法,绝对值不等式的解法,含参不等式的解法,简单的一元高次不等式的解法)
(2)不等式的恒成立问题
(不等式恒成立问题的常规处理方式常应用函数方程思想,分离变量法,数形结合法)
(3)不等式大小比较常用方法:
1.作差:
作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果;2•作商(常用于分数指数幕的代数式);3.分析法;4•平方法;5•分子(或分母)有理化;6.利用函数的单调性;7•寻找中间量或放缩法;8•图象法。
(4)不等式求函数最值
技巧一:
凑项
5.
例:
已知X,求函数V=4x_2•的最大值。
4y4x-5
技巧二:
凑系数
例.当L时,求y=χ(8-2x)的最大值。
技巧三:
分离
2
χ2+7x+10例.求y=(χ.-1)的值域。
X+1
技巧四:
换元
2
例.求、上12(χ,.1)的值域。
x+1
技巧五:
函数的单调性
a
f(X)=X的单调性。
)
X
例:
求函数
技巧六:
整体代换
(多次连用最值定理求最值时,要注意取等号的条件的一致性,否则就会出错。
19
例:
(1)已知X0,y0,且1,求Xy的最小值。
Xy
(2)若X,yR■且2χ∙y=1,求丄.丄的最小值
Xy
⑶已知a,b,X,yR且α≥=I,求x,y的最小值
Xy
技巧七、利用Sin2鳥ACoS2=1转换式子2
技巧八、已知X,y为正实数,且X2++y=1,求X1+y2的最大值.
分析:
因条件和结论分别是二次和一次,故采用公式
b≤a2+b2
ab≤
技巧九:
已知
a,
1
2,
2
X2+J
X2
2
X.1+y2
2X-.'1
即X1+y2=2X
+≤
1
b为正实数,2b+ab+a=30,求函数y=Ob的最小值.
(注意:
在应用最值定理求最值时,若遇等号取不到的情况,应结合函数
这是一个二元函数的最值问题,通常有两个途径,
一是通过消元,转化为一元函数问题,再用单调性或基本不等式求解
二是直接用基本不等式。
例:
1.已知a>0,b>0,ab—(a+b)=1,求a+b的最小值。
2.若直角三角形周长为1,求它的面积最大值。
技巧十:
取平方
例、已知x,y为正实数,3x+2y=10,求函数W=.3x+,2y的最值.(5)证明不等式
常用方法:
比较法、分析法、综合法和放缩法。
基本不等式一最值求法的题型
基础题型一:
指数类最值的求法
1.已知a^3,求3a3b的最小值。
变式1.已知a2b=3,求3a9b的最小值。
变式2.已知X一y=2,求3x的最小值。
3y
1
变式3.已知X-2y—3,求2x∙-y的最小值。
4y
11
变式4.已知点(x,y)在直线y=1χ-1上,求3x的最小值。
29y
基础题型二:
对数类最值的求法
2.已知X0,y0,且2x∙y=4,求log2xlog2y的最大值。
变式1.已知X0,y•0,且X•2y=4,求log1xlogI3y的最小值。
22
变式2.已知点(X,y)是圆X2y2=6在第一象限内的任一点,求log3Xlog3y的最大值。
能力题型一:
常数变形(加或减去某个常数使两个因式的积为常数)
1
1.已知X2,求f(x)=χ∙1∙—的最小值。
X-2
变式1.已知X3,求f(X)=2x-3•的最小值。
x—2
变式2.已知X:
1,求f(x^2^—的最大值。
X-1
能力题型二:
代换变形(把整式乘到分式中去以便于用基本不等式)
21
1.已知X0,y0,且χ∙2y=1,求的最小值。
Xy
23
2.变式1.已知X0,y0,且2xy=3,求的最小值。
Xy
12
变式2.已知X:
:
0,y<0,且X3^-2,求丄上的最大值。
Xy
能力题型三:
指数与系数的变形(调整字母的系数和指数)
1.已知X0,y0,且2x2y^1,求X,12y2的最大值。
变式1.已知X0,y0,且X22y2=3,求2x.Vy2的最大值。
变式2.已知a0,b0,且a2b2=3,求—a12b2的最小值
能力题型四:
对勾函数及其应用
11
【对勾函数】y=χ∙-,由X=—得顶点的横坐标为X=1
XX
y=aχb,由ax=b得顶点的横坐标为
XX
y=ax+—=a(x-1)+a,由a(x-1)=—^得顶点的横坐标为X=1÷<∕-
X-1X-1X-1Va
2
例1.求y=χ(X.[1,4])的值域。
X
2
变式1.求y=χ∙—(x∙[-2,-1])的值域。
X
、、、2
变式2.求y=3x(x•[2,4])的值域。
X
例2.求y=χ∙丄(x_2)的值域。
X+1
1
变式1.求y=2x(X_3)的值域。
X—2
2
x—1
(X乞-2)的值域。
4Tl
例3.求y=sinX(O-X)的值域。
SinX2
变式1.求y=
SinX
4
SinX-1
(O乞X空二)的值域。
变式2.求y=CoSX
cosx1
基本不等式例题
例1.已知'■■'11,且,求二.L'的最小值及相应的】J'值.
XtytZeE^tX-2y+3z=Of-
例2.唸的最小值为。
仗+掰
例3•已知:
■-1■'',二"「成等差数列,二八「成等比数列,则J的最小值是
()
例4•函数二I-的图象恒过定点」,若点」在直线:
:
二门-X'',上,则
11
—+_
mH的最小值为.
11
-J+
例5.若二…-,则「:
的最小值是()
例6.下列各函数中,最小值为2的是()
[_F+2
「:
一B.'J-C
51
例7
(1)已知X,求函数y=4x-2的最大值.
44x-5
2422
(2)求函数y=χ-—的最小值求y二4—X-—的最大值.
X+1X+2
练习•设则'的最大值为
例8.已知,且--V二.求二二C「的最大值及相应的:
「的值
11
例9若X,y是正数,则(X)2(y)2的最小值是
2y2x
练习:
已知实数X,y满足X+y—仁0,则X2+y2的最小值
例10.若实数a、b满足a+b=2,是3a+3b的最小值是
基本不等式证明
例已知a,b为正数,求证:
⅜½Na+⅛⅛Iτ⅛ill:
实际应用:
某单位用木材制作如图所示的框架,框架的下部是边长分别为
Xy(单位:
m)的矩形,上部是等
腰直角三角形,要使框架围成的总面积为8m2,问Xy分别为多少时用料最省?
.基本不等式
基本不等式应用
1.
(1)若a,bR,则a2b2_2ab⑵
22
若a,b∙R,则ab<-—
_2
(当且仅当a=b时取“=”)
若a,b尸R,则a∙b_2∙.ab(当且仅当a=b时取“=”)
2.
(1)若a,bR*,则—_.ab⑵
2
(3)若a,b∙R*,则ab・:
:
•Jb(当且仅当a=b时取“=”)
飞2丿
11
3.若X0,则X2(当且仅当X=1时取“=”);若X:
:
:
O,则X2(当且仅当X=-1时取“=”)
XX
若XHO,则X+1>2即X十丄启2或X+1兰-2(当且仅当a=b时取“=")XXX
3.若ab0,则ab_2(当且仅当a=b时取“=”)
ba
22
≤ab(当且仅当a=b时取“=”)_2
若ab^0,^U巳+二兰2即-+-工2或-+-≤-2(当且仅当a=b时取“=”)
4.若a,b∙R,则(Lb)2
2
注:
(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”
(2)求最值的条件“一正,二定,三取等”
比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用.
(3)均值定理在求最值、
应用一:
求最值
例1:
求下列函数的值域
21
(I)y=3x+27
⑵y=x+X
解:
(1)y=3x2+2x2≥2.'3x
2步=V6•值域为[丽,+∞)
(2)当χ>0时,y=X+X≥2Qx•1
=2;
1
当XV0时,y=x+-=—(—
X
解:
因4x-5:
:
:
0,所以首先要“调整”符号,又(4x-2
不是常数,所以对4x-2要进行拆、凑项,
11
x—_)≤—2X•_=—2
XJ;X
•••值域为(一∞,—2]U[2,+∞)
解题技巧:
技巧一:
凑项
5A
求函数y=4x-2'的取大值。
44x—5
t5II1
X,∙5—4x0,.y=4x-25-4X
44x-5I5-4xJ
1
当且仅当5-4X-,即x=1时,上式等号成立,故当x=1时,ymax=1。
5-4X
评注:
本题需要调整项的符号,又要配凑项的系数,使其积为定值。
技巧二:
凑系数
例1.当-一时,求y=x(8-2x)的最大值。
解析:
由L-<-知,丨二:
二一,利用基本不等式求最值,必须和为定值或积为定值,此题为两个式子积的形式,但其和不是定值。
注意到2x(8—2x)=8为定值,故只需将y=x(8—2x)凑上一个系数即可。
λ=xC8-2x)=1[2x*(3-2x)]U(2x+^^ξx)3=8
当.-=■-■■:
即X=2时取等号当X=2时,y=x(8-2x)的最大值为8。
评注:
本题无法直接运用基本不等式求解,但凑系数后可得到和为定值,从而可利用基本不等式求最大值。
3
变式:
设0:
:
:
X,求函数y=4x(3-2x)的最大值。
”3
解:
•••0:
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