弹簧质量对振动系统的影响修改1汇总.docx
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弹簧质量对振动系统的影响修改1汇总
玉林师范学院本科生毕业论文
弹簧质量对振动系统的影响
TheInfluenceofSpringQualityonVibrationSystem
院系
物理科学与工程技术学院
专业
物理学
学生班级
2009级2班
姓名
戴石贵
学号
200905401240
指导教师单位
物理科学与工程技术学院
指导教师姓名
关小蓉
指导教师职称
副教授
弹簧质量对振动系统的影响
物理学2009级2班戴石贵
指导教师关小蓉
摘要
弹簧振子是物理学中的一个典型模型,弹簧振子是指忽略质量的轻弹簧系一物体所组成的系统。
在实验中得到的弹簧振子的振动频率和理论结果存在着较大的差异,其中有很多原因,但主要是由于弹簧的质量对振动有一定的影响。
人们在讨论弹簧振子的振动情况时,往往忽略弹簧本身的质量,实际弹簧振子由质量为
、弹性系数为
的弹簧和连接于弹簧一端质量为
的振动物体组成,为解决实际弹簧振子弹簧质量对振动系统的影响问题,采用研究系统的能量方法,建立了有弹簧质量时系统的动能和势能公式,从不同角度定量的分析了弹簧质量对振动系统的周期之间的影响,该研究对实际振动系统的振动问题具有一定的参考价值和指导意义。
由于弹簧本身有质量,这种弹簧振子不是理想的振子,它的振动周期与弹簧的质量有着密切的联系,当我们把这种影响仅归于质量因素时,振子的周期可以写成与弹簧有效质量有关的表达式,实际上处理这类问题的方法有很多种,像四阶龙格——库塔法、瑞利法、传递矩阵法、求解波动方程法、试探法求解微分方程、机械能守恒近似法、迭代法等等,本文主要运用机械能守恒定律和迭代法分别近似求解实际弹簧振子的周期,并对结果做出详细的讨论。
关键词:
弹簧振子,弹簧质量,周期,动能,势能
TheInfluenceofSpringQualityonVibrationSystem
Physics2009-2DaiShi-gui
SupervisorGuanXiao-rong
Abstract
Springoscillatorisatypicalmodelofphysics,thespringoscillatormeanstoignorethequalityofthelightspringanobjectcomposedofsystem.Experimentspringoscillatorfrequencyofvibrationandtheoreticalresultsthereisagreaterdifference,therearemanyreasons,butmainlyduetothequalityofthespringhaveacertainimpactonthevibration.Inthediscussionofthespringoscillatorvibrationcase,peopletendtoignorethequalityofthespringitself,theactualchildofspringvibrationbythespring-massform0,elasticcoefficientkforthespringandqualityconnectionononeendofthespringtomvibratingobjectcomposition,toaddresstheactualspringoscillatorspring-massvibrationsystem,energyresearchsystem,theestablishmentoftheformulaofkineticandpotentialenergyofthespring-masssystem,aquantitativeanalysisofthequalityofthespringbetweentheperiodofthevibrationsystemfromdifferentangles,thetheactualvibrationofvibrationproblems,thestudyhassomereferencevalueandsignificance.
Springquality,thisspringvibrationsub-vibrationsubisnotideal,thequalityofitsvibrationcyclewithspring'shascloseties,whenweputthiseffectisonlyattributedtothequalityfactor,theoscillatorcyclecanbewrittenasspring-effectivequality-relatedexpression,infact,dealwithsuchissuesaremany,likeRunge-Kuttamethod,Rayleighmethod,transfermatrixmethodforsolvingthewaveequationmethod,heuristicsforsolvingdifferentialequationsofconservationofmechanicalenergyapproximation,iterativemethod,etc.Inthispaper,theuseofmechanicalenergyconservationlawandtheiterativemethodofapproximatesolutiontotheactualspringoscillatorcycle,andtheresultsmakeadetaileddiscussion.
Keywords:
Springoscillator,Spring-mass,Cycle,Kineticenergy,Potentialenergy
目录
1前言1
2振动系统的动能和势能2
2.1弹簧振动系统的动能分析概况2
2.2弹簧振动系统势能分析概况4
2.3弹簧振动系统的机械能5
2.3.1弹簧振子放置水平位置(
)弹簧振动系统的机械能5
2.3.2弹簧振子放置竖直位置(
)弹簧振动系统的机械能6
2.3.3弹簧振子放置倾斜程度为
位置(
)弹簧振动系统的机械能6
3弹簧质量对振动周期的影响7
3.1机械能守恒近似法研究弹簧质量对振动周期的影响7
3.2迭代法研究弹簧质量对振动周期的影响9
3.3弹簧质量对振动周期影响的分析11
致谢13
参考文献14
1前言
弹簧振动作为自然界中最普遍的最广泛的运动形式之一,在物理学的基础理论研究中同样是具有显著地位,正确理解并掌握其振动系统的客观规律对于今后深入研究并掌握自然界的普遍运动规律具有非常重要的理论上的意义和实践中的意义。
作为自然界弹簧系统振动形式中最简单的抽象化的物理模型--简谐振子,它由质量为
的振子和弹簧弹性系数为
的无质量的理想的弹簧所组成,则其弹簧振动系统的周期为:
简谐振子实际上是一个理想化的抽象化的物理模型,实际上弹簧的自身质量
相比振子的质量
来说未必可以忽略不计,而一旦忽略了弹簧质量的影响,就必定会造成理论上计算值与实际测量值之间的不吻合,并且这种差异并非属于随机简单的计算误差,而是具有明显的系统误差性质,必要时还是应予以修正的。
在实验中得到的弹簧振子的振动周期和理论结果存在着这些的差异,其中原因可能有很多,但主要是由于弹簧的质量对振动存在一定的影响;一般人们在讨论弹簧振子的振动情况时,通常不考虑弹簧的质量影响,而按照理想状态处理。
但是在实际情况下,弹簧质量还是对弹簧振子的振动系统有一定的影响,而作为弹簧系统振动周期的一级近似,可以将弹簧质量
的三分之一有效质量加到振子的质量
上去,从而将弹簧质量为
、振子质量为
的实际弹簧振动系统等效看作是一个具有质量为
的理想质量的弹簧振动系统,弹簧系统的振动周期为:
为解决实际弹簧振子弹簧质量对振动系统的影响问题,采用研究系统的能量方法,建立了有弹簧质量时系统的动能和势能公式,从不同角度定量的分析研究了弹簧质量对振动系统影响,并且结合运用机械能守恒定律和迭代法分别近似求解实际弹簧振子的周期,并对结果做出详细的讨论,该结论对于研究实际弹簧振动系统的振动问题具有一定的参考价值和指导意义。
2振动系统的动能和势能
通常用弹簧振子来研究简谐振动问题,用到轻弹簧[1~3],这里考虑到弹簧质量,系统振动时弹簧不仅具有振动动能,而且弹簧在某一位置还具有重力势能。
下面就从振动系统的能量开始,按弹簧的动能与势能分两部分来研究,再对弹簧振动系统的机械能概括总结,同时也是针对其质量对整个弹簧系统振动状态的影响。
2.1弹簧振动系统的动能分析概况
弹簧振子按照如下图2.1放置在一个光滑的倾斜程度为
斜面上,弹性系数为
,弹簧的原长为
,达到平衡位置时弹簧伸长量
,物体的质量为
,弹簧的质量为
。
图2.1弹簧振子
Figure2.1springoscillator
因为弹簧振子中的弹簧质量为
,弹性系数为
,振子质量为
,若弹簧的振动方程为:
(2.1)
那么弹簧振子在运动过程中其速度就可以通过求导来得到,那么对(2.1)式进行求导可得弹簧振子任意时刻的速度
为:
(2.2)
因为考虑到弹簧的质量,所以振动系统的动能是由两部分组成,即振子的动能与弹簧动能之和,即:
根据动能的表达式:
其中
为振子的动能为:
(2.3)
而
则为弹簧的振动动能,如上图图2.1所示,设弹簧总共绕匝数为
匝,任意
的振幅为:
(2.4)
由于
与振子的振动频率相同且相一致的,所以弹簧的振动方程为:
(2.5)
所以弹簧的任意时刻的速度
为:
(2.6)
因此弹簧的振动动能为:
(2.7)
又
而
为振子的振动速度。
所以在弹簧系统中弹簧本身的动能为:
(2.8)
如图图2.1,已知弹簧放在光滑的倾斜程度为
(
)斜面上,所以综上所述,考虑了弹簧质量的振动系统的总动能
为:
(2.9)
2.2弹簧振动系统势能分析概况
弹簧振子按照如图图2.2,放置在一光滑的斜面上,图2.2中弹簧水平放置时原长为
,当系统达到平衡位置时,弹簧系统中弹簧伸长量为
。
坐标原点、弹簧弹性势能以及重力势能零点都选在平衡位置,任意时刻振子运动到位置为
考虑到弹簧的质量,因此弹簧的重力势能不能够忽略不计,那么弹簧振子系统的势能
等于弹簧的弹性势能
和弹簧振子的重力势能
以及弹簧的重力势能
之和,即为:
图2.2弹簧振子
Figure2.2springoscillator
(2.10)
因为弹簧的弹性系数为
,根据弹簧的弹性势能的式子:
,而重力势能的式子为:
;又弹性势能和重力势能
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