初中九年级数学详细内容.docx

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初中九年级数学详细内容

九年级上册

第二十一章二次根式

21.1二次根式

二次根式：

一般地，我们把形如

的式子叫做二次根式。

“

”称为二次根号。

二次根式性质：

1）

是一个非负数。

2）

。

3）

。

代数式：

用基本运算符号（基本运算符号包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数和表示数的字母连接起来的式子，叫做代数式。

21.2二次根式的乘除

二次根式乘法：

二次根式除法：

最简二次根式：

满足以下两个条件的二次根式，1）被开方数不含分母；2）被开方数中不能含有能开得尽方的因数或因式。

在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式。

21.3二次根式的加减

二次根式加减：

二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。

二次根式运算中，多项式乘法法则和乘法公式仍然适用。

阅读与思考海伦秦九韶公式复杂变形技术，用的是乘法公式。

数学活动数学的实际应用，可能有一定的吸引力。

第二十二章一元二次方程

22.1一元二次方程

一元二次方程：

等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。

一元二次方程的一般形式：

一般地，任何一个一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式

。

这种形式叫做一元二次方程的一般形式，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。

22.2降次解一元二次方程

降次思想：

把高次方程降成低次的，最终变成一次方程去解。

（这个说了也白说。

）

形方程的解法：

。

配方法：

通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法。

配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程来解。

公式法：

先把一元二次方程化为一般形式，

，则方程的解有三种情况：

1）

，方程有两个不相等的实数根

，

；2）

，方程有两个相等的实数根

；3）

，方程无实数根。

求根公式的配方法推导一定要学会，这个是理解配方法的检验标准。

判别式：

一般地，式子

叫做方程

根的判别式，通常用希腊字母

表示它，即

。

因式分解法：

先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法。

一元二次方程根与系数的关系：

由求根公式推导，可再由因式分解法推导，加深理解。

【韦达定理之二次特例，韦达定理所述之n次方程根与系数的关系由法国韦达最早于16世纪提出，其证明所依据的代数基本定理却是由高斯1799年才给出严格证明。

（高斯1799年在哥廷根大学的博士论文）】

阅读与思考黄金分割数黄金分割比的几何背景与方程解法，实际上这是个方程的应用问题。

22.3实际问题与一元二次方程

增长率问题与面积问题是最重要的两个典型问题。

实验与探究三角点阵中前n行的点数计算这个方法是一个提高性问题，高中数学才讲到；另外此问题也可用平行四边形面积公式解决。

面积法推广后可以得到梯形点阵中前n行点数的计算。

在初中数学里，这个问题作为一元二次方程的应用问题，背景本身的难度太大了。

数学活动仍然关注面积问题与增长率问题。

第二十三章旋转

23.1图形的旋转

旋转：

把一个平面图形绕着平面内的某一点转动一个角度，叫做图形的旋转，此点叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角。

对应点：

如果图形上的一点，经过旋转变成另一点，那么这两个点叫做这个旋转的对应点。

旋转的性质：

1）对应点到旋转中心的距离相等；2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；3）旋转前后的图形全等。

【第3条与全等三角形会联系起来使用。

】

23.2中心对称

中心对称：

把一个图形绕着某一个点旋转180度，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心。

这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点。

【与轴对称要区分开】

中心对称的性质：

1）中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分；2）中心对称的两个图形是全等图形。

中心对称图形：

把一个图形绕着某一个点旋转180度，如果旋转后的图形与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。

关于原点对称的点的坐标：

两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点（x，y）关于原点的对称称点为（-x，-y）。

信息技术的应用探索旋转的性质寻求关于旋转的感性认识。

23.3课题学习图案设计

平移、轴对称、旋转的综合应用与对比，主要还是感性认识。

阅读与思考旋转对称性扩展了对称性的概念，使之由生活中的轴对称概念扩展到旋转对称。

数学活动坐标系中轴对称与旋转对称的关系。

第二十四章圆

24.1圆

圆：

在一个平面内，线段绕其固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆。

固定的端点叫做圆心，线段叫做半径。

以

为圆心的圆，记作“

”，读作“圆

”。

圆的性质：

1）圆上各点到定点（圆心）的距离都等于定长（半径）；2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上。

弦：

连接圆上任意两点的线段叫做弦。

直径：

经过圆心的弦叫做直径。

弧：

圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。

半圆：

圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

等圆：

能够重合的两个圆是等圆。

等弧：

能够互相重合的弧叫做等弧。

圆的对称性：

1）圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴。

2）圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。

垂径定理：

垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。

【没给出证明，只是从对称性得到。

】

垂径定理相关1：

平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

垂径定理相关2：

平分弦所对的两条弧的直径平分弦，并且垂直于弦。

圆心角：

顶点在圆心的角叫做圆心角。

圆心角定理：

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。

圆心角定理相关1：

在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等。

圆心角定理相关2：

在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等。

圆心角总结：

同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等。

圆周角：

顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。

圆周角定理：

在同圆或等圆中，同弧所或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。

【此表述有逻辑错误】

圆周角定理推论1：

在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。

圆周角定理推论2：

半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90度的圆周角所对的弦是直径。

圆周角定理推论3：

圆内接四边形的对角互补。

圆周角定理推论4：

如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

【练习中出现】

多边形与圆：

如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。

24.2点、直线、圆和圆的位置关系

点与圆的位置关系：

设

的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有

经过三点作圆：

尺规作图。

定理：

不在同一直线上的三个点确定一个圆。

三角形的外心：

经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形是三条边垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心。

反证法之正式提出。

【此处可以总结前面所有可以用反证法证明的定理以加深理解。

】

直线和圆相交：

直线和圆有两个公共点，这时我们说这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线。

直线和圆相切：

直线和圆只有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点。

直线和圆相离：

直线和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆相离。

直线和圆的位置关系：

圆的切线的判定定理：

经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

已知圆和切点作切线：

尺规作图。

圆的切线的性质定理：

圆的切线垂直于过切点的半径。

【反证法】

已知圆和圆外一点作切线：

尺规作图。

切线长：

经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。

切线长定理：

从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆的连线平分两条切线的夹角。

三角形的内心：

与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心。

圆和圆相离：

如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离，有外离和内含两种情况。

圆和圆相切：

如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，有外切和内切两种情况。

圆和圆相交：

如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交。

圆和圆的位置关系：

设两圆心的距离是d，两圆的半径分别是r1和r2，则

外离——d>r1+r2;

外切——d=r1+r2;

相交——r1+r2>d>r1-r2;

内切——d=r1-r2;

内含——d

24.3正多边形和圆

正多边形的有关概念：

一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，正多边形每一条边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。

正三角形、正四边形和正六边形的尺规作图方法。

这节实际上是前面多边形内容与圆内容的综合应用，所以前面搞定后面就水到渠成了。

阅读与思考圆周率

割圆术与计算机技术

24.4弧长和扇形面积

弧长公式：

扇形面积公式：

圆锥的母线：

连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线。

圆锥的有关公式：

设圆锥的母线长为

，底面圆的半径为

，圆锥的侧面展开图的半径为

，弧长为

，圆锥的侧面积为

，圆锥的全面积为

。

实验与探究设计跑道弧长公式的应用

数学活动等分圆周，镶嵌，四点共圆条件的探索与证明【这个有难度】

第二十五章概率初步

25.1随机事件与概率

随机事件：

在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件。

概率：

刻画随机事件发生可能性大小的数值叫做随机事件的概率。

古典概型的概率计算：

一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率

。

因为

，所以

。

25.2用列举法求概率

列举法求古典概型的概率，主要是列表和树形图两种方法。

阅读与思考概率与中奖这个知识很简单，但难普及，因为太多人不愿意懂。

25.3用频率估计概率

用频率估计概率：

一般地，在大量重复度验中，如果事件A发生的频率

会稳定在某个常数p附近，那么事件A发生的概率P（A）=p。

【这个估计也不太好理解。

】

实验与探究

的估计【几何概型的介绍】

25.4课题学习键盘上字母的排列规律

频率的应用

数学活动1）降水调查，算是个统计方面的综合实例；2）几何概型的一个实例；3）抽签的深入理解。

九年级下册

第二十六章二次函数

26.1二次函数及其应用

二次函数：

一般地，形如

的函数，叫做二次函数。

其中，x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数，一次项系数和常数项。

二次函数

的图像：

一般地，抛物线

的对称轴是y轴，顶点是原点。

当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点，a越大，抛物线的开口越小；当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点，a越大，抛物线的开口越大。

二次函数

的图像：

1）当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下；2）对称轴是直线x=h；3）顶点坐标是（h，k）。

二次函数

与

图像的关系：

一般地，抛物线

与

形状相同，位置不同。

把抛物线

向上（下）向左（右）平移，可以得到抛物线

。

平移的方向、距离要根据h，k的值来决定。

二次函数

的图像：

一般地，我们可以用配方法求抛物线

的顶点与对称轴。

，因此，抛物线

的对称轴是

，顶点坐标是

。

待定系数法求二次函数的解析式：

求二次函数

的解析式，关键是求出待定系数a，b，c的值。

由已知条件（如二次函数图象上三个点的坐标）列出关于a，b，c的方程组，并求出a，b，c，就可以写出二次函数的解析式。

26.2用函数观点看一元二次方程

二次函数和一元二次方程的关系：

一般地，从二次函数

的图象可知，1）如果抛物线

与x轴有公共点，公共点的横坐标是

，那么当

时，函数的值是0，因此

就是方程

的一个根。

2）二次函数

的图象与x轴的位置关系有三种：

没有公共点，有一个公共点，有两个公共点。

这对应着一元二次方程

的根的三种情况：

没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根。

信息技术应用探索二次函数的性质二次函数与一元二次方程关系的感性认识

26.3实际问题与二次函数

有三个要点：

1）建立函数有关系；2）确定定义域；3）求最大或最小值。

实验与探究推测植物的生长与温度的关系建模过程的一个简化版，不易掌握。

数学活动1）二次函数关于坐标轴对称的函数的解析式。

2）建模的另一个实例。

第二十七章相似

27.1图形的相似

相似图形：

形状相同的图形叫做相似图形。

比例线段：

对于四条线段a，b，c，d，如果其中两条线段的比（即它们长度的比）与另两条线段的比相等，如

（即ad=bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段。

相似多边形的性质：

相似多边形对应角相等，对应边的比相等。

【测量】

相似比：

相似多边形对应边的比称为相似比。

27.2相似三角形

平行线分线段成比例定理：

三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比相等。

平行线分线段成比例定理推论：

平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段的比相等。

三角形相似的判定定理1：

平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。

三角形相似的判定定理2：

如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。

三角形相似的判定定理3：

如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。

三角形相似的判定定理4：

如果一个三角形的两个角与另外一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

直角三角形相似的判定定理：

如果两个直角三角形斜边的比等于一组直角边的比，那么这两个直角三角形相似。

相似三角形的周长和面积：

相似三角形对应高的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方。

相似多边形的周长和面积：

相似多边形周长的比等于相似比；相似多边形面积的比等于相似比的平方。

观察与猜想奇妙的分形图形这玩意不是很好理解的，包括老师在内。

27.3位似

位似：

两个相似多边形，对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心。

【单点透视】

位似的坐标表示：

在平面直角坐标系中，如果位似是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k。

信息技术应用探索位似的性质位似性质的感性认识

数学活动1）相似三角形在长度测量中的应用；2）位似与艺术字设计。

第二十八章锐角三角函数

28.1锐角三角函数

锐角三角函数的定义：

正弦：

在直角三角形ABC中，锐角A的对边与斜边的比叫做角A的正弦，记作sinA，即

。

余弦：

在直角三角形ABC中，锐角A的邻边与斜边的比叫做角A的余弦，记作cosA，即

。

正切：

在直角三角形ABC中，锐角A的对边与邻边的比叫做角A的正切，记作tanA，即

。

常用的锐角三角函数的值：

常用的锐角三角函数的值可以用勾股定理和30度角所对的直角边是斜边的一半计算出来。

【即不用死背！

！

！

】

阅读与思考一张古老的三角函数表【托勒密终于不再是一个坚持地心说的坏蛋了啊！

】

28.2解直角三角形

解直角三角形：

已知直角三角形的一些边和角，求余下的边和角。

直角三角形中除直角外的个元素的关系：

1）三边关系

（勾股定理）；2）两锐角之间的关系

；3）边角之间关系

，

，

。

解直角三角形就依据这些关系。

利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程：

1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；2）根据条件的特点，适当选用锐角在角函数等关系去解直角三角形；3）得到数学问题的答案；4）把数学问题的答案转化为实际问题的答案。

数学活动三角学知识的综合应用【非常重要】

第二十九章投影与视图

29.1投影

平行投影：

由互相平行的光线形成的投影叫做平行投影。

中心投影：

由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影。

正投影：

投影线垂直于投影平面产生的投影叫做正投影。

线段正投影的总结：

1）当线段平行于投影面时，它的正投影与它自己相等；2）当线段倾斜于投影面时，它的正投影比它自己短；3）当线段垂直于投影面时，它的正投影是一个点！

平面图形正投影的特点：

当平面图形平行于投影面时，这个图形的正投影与它自己全等。

29.2三视图

三视图：

一个物体在三个投影面内同时进行正投影，在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图；在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；在侧面内得到由左向右观察物体的视图，叫做左视图。

三视图中各视图的关系：

三视图中，主视图与俯视图表示同一物体的长，主视图与左视图表示同一物体的高，左视图与俯视图表示同一物体的宽；因此，画三视图时，三个视图要放在正确的位置，并且使主视图与俯视图的长对正，主视图与左视图的高平齐，左视图与俯视图的宽相等。

长、宽、高：

正对着物体看，左右是长，前后是宽，上下是高。

阅读与思考视图的产生与应用画法几何的介绍

29.3课题学习制作立体模型立体几何的感性认识

数学活动立体几何的感性认识

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