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三角形内角和教学案例
三角形内角和教学案例
一、案例来源
《三角形内角和》是人教版小学数学四年级下册第五单元P67例6,在此之前学生已经学习了三角形的特性、三边关系、三角形的分类、角的度量等知识。
“三角形内角和等于180度”这个定理是平面几何教学中最重要的三个定理之一,在平面几何教学中有着举足轻重的位置;在这一显性知识背后还承载着“尝试形成知识的自主建构”“经历结论的科学验证”等很多隐形学习经验的积累过程。
新课程下课堂教学的基本理念包括:
引导学生积极主动参与学习;师生、生生之间保持有效互动;教师应为学生主动建构提供学习材料、时间以及空间上的保障;教学的目的是使学生形成对知识真正的理解;教师应关注学习者对自己和他人学习的反思;教师应使学生获得对该学科学习的积极体验与感情。
这些理念正是基于建构主义理论提出的。
现代建构主义的三条基本原理是:
知识是认知个体主动地建构,而不是被动地接受或吸收;认知功能在适应,是用来组织经验的世界,不是用来发现本体的现实;知识是个人与别人经由磋商与和解的社会建构。
以上原理正好解释了“知识是什么”“学习是什么”“教学什么样”的问题。
而单单接受现代建构主义的某一条原理只会造成片面化的认识,进而对实施建构主义教学造成无法规避的误导,只有这三条原理互相协调、彼此制衡才能完整地体现现代建构主义,才能真正达成有效课堂。
基于这样的思考,借助浙派名师艺术展这一平台选择了《三角形内角和》进行了尝试研究。
二、案例分析
《三角形内角和》是人教版小学数学四年级下册第五单元P67例6,在此之前学生已经学习了三角形的特性、三边关系、三角形的分类、角的度量等知识。
针对这一知识的前测情况如下:
在前测中发现有93%的孩子能正确填出三角形内角和是180度,要求说明为什么时,有27.1%的孩子毫无想法,有72.9%的孩子给出了理由,其中有认为直角三角板的内角和是180度,所以所有的三角形也这样;有认为等边三角形的内角和是180度,从而得到其他三角形也是;也有少部分人是用撕下三个内角和拼成平角来说明的;5人是用测量每个角度数的方法来说明的。
从这个前测结果可以看出三角形内角和的概念对学生来说可能是新的,但学生容易理解,也基本知晓。
针对这样的学情我们应该怎样来实施教学?
课堂上除了教给学生已经了解到的知识外还可以呈现点什么来更好地帮助学生完成知识的自我建构?
在平时的课堂中还可以为学生今后的学习做些怎样的努力?
带着这样的思考与困惑我尝试着做了这样的努力:
(一)直面学生基础,调整有效的学习方式。
学生已经知道结论的新授课该怎么上?
我的做法是直面学生的基础,将新授课调整为“验证结论”的形式。
围绕“三角形内角和是180度”这一猜想提出“怎么证明所有的三角形的内角和都是180度?
”这一任务,从而开展“合理猜想——形成思路——尝试验证——得出结论”等教学活动,使学生经历知识建构的全过程,感悟“演绎推理”的科学性。
(二)深度研究教材,选择有效的学习材料。
查阅有关三角形内角和的资料可以发现,在小学阶段呈现的验证方式主要以例举的方式来证明为主,主要有”量一量”“拼一拼”“折一折”等方法,而这样的例证方式有一定的局限性,怎样将小学的验证方式与初中的“证明”建立联系?
选择怎样的学习材料能更好地帮助学生完成自主建构的目的?
通过深度研究我选择了模拟最早发现这个定理的“两直角定理”为突破口,从特殊的四边形(长方形)入手,先推出所有直角三角形的内角和等于180度,再推出一般三角形的内角和也是180度,让学生逐步尝试借助已有的知识不断构建出新知的过程,初步感悟用推理的方式来证明结论的合理性及科学性。
(三)适时合作交流,培养自我建构的能力。
如今的孩子以独生子女居多,他们最缺少的是与人交流的能力,是在碰到问题时形成解决思路的能力。
建构主义认为知识是与他人经由磋商与和解的合作建构,本堂课力求在这方面做点努力,在学术思维的困惑处、知识建构的关键处设计合作交流,在尊重个体建构的主观性基础上又体现社会建构的互动性,理顺内部生成与外部环境的互动性,逐步培养学生的自我建构能力,授之以鱼不如授之以渔说的就是这个道理吧!
基于以上考虑,对本堂课教学目标定位如下:
1.在观察的基础上,通过自主探究活动使学生探索并发现三角形的内角和是180度,能运用这一规律解决一些简单的问题。
2.在观察、操作、分析、猜想、验证、合作、交流等具体活动中,提高动手操作能力、数学思考能力及数学推理能力。
3.在探索过程中培养学生发现问题、提出问题的能力,体验验证的科学性。
教学重点:
让学生经历探索、发现三角形内角和等于180度。
教学难点:
让学生用推理的方法来验证三角形内角和等于180度。
三、案例呈现
(一)变中求同,激活原有认知
师:
同学们,今天我们继续来研究三角形的有关知识,先来看由它带来的一组动画。
(课件演示平行线内同底等高三角形的变化过程)这个变化过程中什么没变?
生:
三角形的底没有变.
生:
三角形的高也没有变.
生:
三角形的面积没变.
生:
三角形的周长没变.(学生发生争议)
生:
三角形的内角和也是不变的。
师:
刚才你们从三角形的边、角、面等不同角度猜测了可能不变的元素,今天我们先来研究其中的一个内容。
(板书:
三角形的内角和)关于三角形的内角和你已经知道了什么?
你还想知道它的哪些知识?
生:
我想知道三角形内角和为什么是180度。
生:
所有的三角形内角和都是180度吗?
生:
为什么一个三角形里只能有一个直角或钝角?
生:
三角形内角和的知识在生活中有什么用?
(二)猜想建联,搭建转化桥梁
师:
我们先来研究“所有的三角形内角和都是180度吗?
”这个问题,可以用什么办法证明?
生:
用量角器先把角量出有多少度,再加一加就可以了。
(板书:
量)
师:
还有吗?
当我们一下子想不到解决问题的办法时,可以先回过头想一想,看看以前学的什么知识可能跟这个有关系,比方说,看到180度你会想到什么?
生:
我会想到平角是180度。
生:
周角是360度。
生:
直角是90度。
师:
有没有办法将三角形的内角和转变为这些知识呢?
四人小组商量一下。
生:
我们可以把三角形的三个角剪下来拼一拼,看看是不是刚好能拼成一个平角。
生:
还可以把这三个角折在一起,看看是不是平角。
生:
长方形四个角都是直角,再把它分成两个三角形就是180度。
(三)实践验证,完成知识建构
师:
我为每个小组准备了6个完全不同的三角形、2个长方形还有一些相应的工具,你可以用量角器量,可以把三角形的角撕下来拼,或者把三角形的角折在一起,还可以把长方形分一分,动手试着验证一下吧!
作品展示
作品一:
量 作品二:
拼
作品三:
折 作品四:
分
师:
对以上这几种验证方法你有什么想问的吗?
生1:
第四种方法把长方形分成了两个三角形,它的角是不一样的不能直接除以二。
如果是正方形的话是对的,长方形的角不一样的。
幻灯片出示分割后的长方形:
生2:
分成长方形后∠1和∠4是一样的,∠6和∠3也是一样的,把三角形内角刚好分成了两半。
生3:
这样就把长方形分成了两个一模一样的三角形,所以一个三角形的内角和就是360÷2=180度。
(动画演示验证学生们的猜想)
师:
刚才的这些验证方法是不是证明了所有三角形的内角和都是180度?
生:
没有,我们只是验证了一部分。
生:
三角形有很多很多,不可能都拿来验证的呀!
生:
我认为最后一种方法可能证明了所有的三角形。
生:
不对,最后一种方法只是证明了所有的直角三角形。
师:
能不能借助所有的直角三角形内角和是180度这个发现来证明其他三角形的内角和也是180度呢?
可以再拿出一个三角形,在上面画一画、分一分,四人小组合作试一试。
如果确实有困难的,可以拿出电子书包看一看,再接着研究
(四人小组合作研究)
学生汇报:
生:
我们在这个三角形上画一条高,这样就分出了两个直角三角形,每个直角三角形的内角和都是180度,两个就是360度,但是刚才这样分了之后多出了这两个直角,所以就是360度-180度=180度。
(板书:
180×2-90×2=180度)
师:
是这样吗?
这里的180×2表示什么?
90×2表示什么?
为什么要减去?
师:
现在所有的三角形都证明了吗?
为什么?
(四)应用推广,抵达建构之境
练习一:
出示:
师:
三角形的一个内角是40度,它可能是个什么三角形?
(出示:
直角三角形、锐角三角形、钝角三角形)不可能是什么三角形?
(出示:
一般三角形、等腰三角形、等边三角形)
(逐题呈现练习,学生用答题器快速答题)
练习二:
四、案例反思
(一)激活原有认知,为完成自我建构提供条件
本课一开始,先让学生观看一组平行线内同底等高三角形的变化过程,让学生在动态变化中寻找三角形可能存在的不变因素,这样设计一方面了解了学生已有的知识和经验,另一方面能尽可能快地将相关联的关键知识和经验处于较为活跃的状态,使它们置于学生注意力可以搜索的范围之内,充分激活学生对三角形的种种知识经验。
然而学生开展自我建构活动的源头不是业已形成的知识和经验,而是学生头脑中需要解决的问题,尽管在课一开始学生已有的知识经验被激活了,还有一些颇有新意的发现发表出来了,但它们很容易因思维惰性的缘故而被渐渐“固定下来”失去活力,课堂上“无疑须教有疑”,有疑还需高质量的疑,所以在学生提出“三角形内角和是180度”这一猜想后继续追问:
关于这一知识还可以研究点什么?
进而使学生产生了“三角形内角和为什么是180度?
”“所有的三角形内角和都是180度吗?
”“为什么一个三角形里只能有一个直角或钝角?
”等这些更具思维含量、更深层次、更高水平的“好疑”。
(二)提供转化思路,为实现自我建构铺设道路
铺设学生的自我建构之路其实就是构建合理的解决问题的方法序列。
在合理的解决问题方法序列的引导下,学生就能循序渐进,拾级而上,逐步深入地达成队所学知识的自主建构。
通过前测可以发现,用推理的方法证明三角形内角和是180度对四年级的学生来说仍然是一项挑战性很大的任务。
限于已有的知识经验基础,他们很容易想到用量角器量的方法,比较难想到用“拼”“折”的方法,而用推理的方法更超出了他们现有的学习能力。
在学生思维的困惑处要给予学生提供切实可行的自我建构学习支架,借助“看到180度你会联想到什么知识?
”这一问题帮助学生将新问题与已有的“平角、周角、直角”的知识建立联系,主动搭建知识构建的桥梁。
(三)同伴思维碰撞,为实现自我建构擦亮火花
验证方法确立后,提供相应的学习材料让学生尝试验证,让学生通过动口、动手、动脑充分调动感觉器官,综合运用原有的知识经验作出合理的推论、分析、解释,形成自己的假设和解决方案。
在反馈时每个人根据自己的经验所建构起来的理解是不同的,也存在着局限性,教学中借助“以上几种验证方法你有什么想问的吗?
”“这些验证方法是不是证明了所有三角形的内角和都是180度?
”这两个问题的讨论,共享和协调了各自原有的认知,使理解更加准确、丰富和全面,从而一致达成“量、拼、折”的方法只能证明一部分三角形,“分”的方法只能证明所有的直角三角形内角和是180度这一共识,为后续学习做好了充足的准备。
当学生发现整个研究过程只是证明了“所有的直角三角形内角和是180度”时,适时提出“能不能借助所有的直角三角形内角和是180度这个发现来证明其他三角形的内角和也是180度?
”这一问题,及时抓住学生学习中形成的矛盾设计相应的问题情境以启发学生的思维,再次给学生提供必要的线索,促进学生完善知识的建构。
(四)习得而以致用,最终实现自我建构之目标
在本节课的尾声阶段,我设计了两道题,第一道题是针对三角形内角和知识的及时巩固和简单应用,第二道题是课后探究题,指向新问题的发现和新方法的探寻。
这样的练习设计一方面进一步开阔了学习的视野,丰富了探究的经验,生成了数学的智慧,提升了数学的素养,另一方面也给学生带来了丰富的愉悦感和深刻的成就感。
点评:
“三角形的内角和是180度"是三角形的一个重要性质,在新课之前大部分孩子已经知道了这一结论,“怎样让学生通过自己动手探究、科学推理来验证这一结论”是这节课的重点,为此,方老师巧妙地设计了“猜想建联——实践验证——科学推理”三个层次的探索活动,帮助学生逐渐理清“是不是所有三角形内角和都是180度?
”。
三个活动设计逐层深入,从验证自己手中的三角形是180度,到发现特殊的直角三角形内角和都是180度,再到证明任意一个三角形内角和都是180度。
这样步步深入,很好的展现了学生真实的思维过程。
在学生看似知道结论的前提下,总是给学生提出新的问题,在不断借助已有知识解决新问题的过程中,逐渐积累用“转化”的方法解决问题的活动经验。
这样的课堂切实体现了“以学生为本,以学生的发展为本”的新课程核心理念,具体体现在以下几个方面:
1.唤起已有经验,呈现丰富资源
《数学课程标准(2011年版)》指出,数学教学必须从学生的已有经验出发,为他们提供参与的机会。
在这一理念下,教师首先运用课件演示了平行线内同底等高三角形的变化过程,通过寻找这个变化过程中不变的因素,快速调出了关于三角形的所有知识经验,这样的设计不仅增加了学生参与的热情,也为后面的学习做好了准备。
2.以学生为主体,充分相信学生
《数学课程标准(2011年版)》指出,教师是教学的组织者、引导者、合作者,学生是教学的主体。
本节课教师充分尊重学生的主体地位,充分相信学生。
如当用“量”以外学生想不出其他的验证方法时,教师抛出“看到180度你想到了什么有关的知识?
能不能借助这些知识来证明三角形内角和是180度?
”这一问题,继续把问题抛给学生;在学生展示自己验证方法时,教师直接把话筒交给了学生,完全放手让学生自己去表达、自己去发现;当学生在推理的过程中碰到困难时,教师也不是马上进行解答,而是引导他们借助信息技术、小组合作等方式再次尝试完成等。
3.借助信息技术,让教学更有效
随着时代的发展和科学技术的进步,信息技术正在逐步走进学校、走进课堂,它把声音、文字、图形、图像、动画、视频、等电脑多媒体与传统的教学媒体有机的结合起来。
信息技术应用在数学教学中,促进了教学形式的多样化,培养了学生自主学习的主体意识,极大地丰富了教学内容,增加了课堂教学密度,建构起新型的教学模式,充分优化了课堂教学效应。
课堂上利用Hilearning学习系统,借助手机拍照的功能快速收集学生活动的作品进行展示、比较,在课的最后运用了IRS反馈系统,直观、快速地收集学生的答题情况,从而更有针对性得进行教学指导,真正做到了“以生为本、一对一”教学;在学生思维的困惑处又借助“微课”帮助学生自主学,使学生获取知识的手段变得更加多样化,学习过程变得更加有趣可视,尊重了学生的个性化和差异化。
总之,这节课的教学过程,教师能以学生为主体,充分发挥教师的主导作用,使学生自始至终主动参与到学习的全过程中来。
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