第三单元 应用题.docx
- 文档编号:5330523
- 上传时间:2022-12-15
- 格式:DOCX
- 页数:53
- 大小:251.32KB
第三单元 应用题.docx
《第三单元 应用题.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《第三单元 应用题.docx(53页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
第三单元应用题
第十讲分数百分数应用题
一、试一试:
你会解吗?
1、一瓶墨水用去24毫升,还剩
。
这瓶墨水原有多少毫升?
2、甲重50千克,乙重40千克。
那么:
甲比乙重百分之几?
乙比甲轻百分之几?
3、某厂十月份产零件2000个,比九月份增产
,九月份产零件多少个?
二、基本功:
1、确立单位“1”,理解条件中的分率。
找准单位“1”,从已知分率出发,弄清份数、比和比例关系。
2、对题中的数量关系进行分析,写出关系式。
根据分数的意义以及一个数乘以几分之几的含义进行分析。
建立分数应用题的一般模型:
单位“1”×对应分率=具体数量。
3、熟知各种基本类型。
(1)求一个数是另一个数的几分之几(百分之几)?
(2)求一个数的几分之几(百分之几)是多少?
(3)已知某数几分之几(百分之几)是多少而求这个数?
(4)求比一个数量多(或少)几分之几(百分之几)的数量是多少?
(5)已知比某个数量多(或少)几分之几(百分之几)的数量是多少而求原来数量是多少?
(6)求一个数量比另一个数量多或少几分之几(百分之几)?
三、基本技巧训练:
1、根据分数的意义,把单位“1”出发,将分数转化为份数处理。
【例题1】
某车间男工人数比女工人数多
,女工人数比男工人数少几分之几?
分析:
男工人数比女工人说多
,我们可以把女工人数看作5份,那么男工人数有与女工人数相等的(5+3=)8份,所以女工人数比男工人数少(8-5)÷8=
答:
女工人数比男工人数少
。
随堂练习:
水结成冰时,体积将增加
,当冰融化成水时,体积将减少几分之几?
2、利用比与比例关系的对应来思考解题。
【例题2】
某人从甲地到乙地用了30分钟,返回时速度加快
,返回将用多长时间?
分析与解:
速度由原来的单位“1”增加到
,即速度关系是4:
5,来回路程一定,时间与速度成反比,即原来时间:
现在时间=5:
4,那么返回的时间是原来的
所以,返回用的时间是
(分钟)
答:
返回将用24分钟。
随堂练习:
小李做一件工程用了8个小时,小王做同一件工程的工作效率是小李的
倍,小王做这件工程需要多长时间?
3、对数量关系进行分析,利用关系式解题。
【例题3】
有甲、乙两家商店,如果甲店的利润增加20%,乙店的利润减少10%,那么这两店的利润就相同,原来甲店的利润是原来乙店的利润的百分之几?
解:
由已知,甲店的利润×(1+20%)=乙店的利润×(1-10%),
所以,甲店的利润÷乙店的利润
=(1-10%)÷(1+20%)
=75%
答:
原来甲店的利润是原来乙店的利润的75%
随堂练习:
已知甲校学生数是乙校学生数的50%,甲校女生数是甲校学生数的30%,乙校男生数是乙校学生数的40%,那么,两校女生总数占两校学生总数的百分比是多少?
4、通过线段图找准量与率间的对应关系。
【例题4】
某次会议,昨天参加会议的男代表比女代表多700人,今天男代表减少了
,女代表增加了
,今天共有1995人出席会议,那么昨天参加会议的有多少人?
分析:
把昨天女代表人数看作单位“1”,今天出席的男代表有
(“1”+700)×
=(“1”+700)×
=“1”×
+700×
那么今天出席会议的1995人的数量关系图可以这样表示:
解:
女代表
(人)
男代表=700+700=1400(人)
那么昨天参加会议的有1400+700=2100(人)
答:
昨天参加会议的有2100人。
随堂练习:
小华看一本故事书,第一天看的比全书的
多6页,第二天看的比全书的
少8页,最后还剩下172页,这本故事书一共有多少页?
5、当某些量未知,且其大小不影响计算结果时,可以用设数的方式来表达。
【例题5】
一个正方形的棱长增加原来长度的50%,它的表面积比原来增加百分之几?
解:
设原来正方体的棱长为
,现在正方体的棱长为
,
原来正方体的表面积为
,现在正方体的表面积为
,
表面积比原表面积增加的百分比为
答:
它的表面积比原来增加125%。
随堂练习:
有三堆球A、B、和C,如果B比A多20%,C比A少10%,那么C比B少百分之几?
6、利用题中的等量关系,设未知数,列方程求解。
【例题6】
张先生向商店订购某种商品80件,每件定价100元。
张先生向商店经理说:
“如果你肯减价,每减1元,我就多订购4件。
”商店经理算了一下,如果减价5%,由于张先生的多订购,仍可获得与原来一样多的利润。
问:
这种商品的成本是多少元?
解:
设这种商品的成本是
元,减价5%就是每件减价100×5%=5元,张先生可以多买4×5=20件,由获得的利润相同,可列方程:
解得
答:
这种商品的成本是75元。
随堂练习:
一个个体户购进十二生肖玩具1000个,运输过程中破损了一些,未破损的好玩具卖完后,获取利润50%,破损的玩具只得降价出售,亏损了10%,最后结算,这位个体户获得利润39.2%,他卖出的好玩具有多少个?
解:
设卖出的好玩具
个,则破损(1000-
)个,把成本看作单位“1”,列方程得,
解得
答:
他卖出的好玩具有820个。
小结:
分数、百分数应用题主要搞清每个分率的单位“1”是哪一个量,在单位“1”统一的情况下,找准分率与部分量的对应关系来解题,必要时可以画线段图,如果出现单位“1”的量发生变化,可以用逆推法来解,或根据前后关系,依次找出与原总量之间的关系。
第十一讲比和比例
一、比和比例的基本概念
(一)比的认识
1、比的概念:
两个数相除又叫做两个数的比。
2、比的表示形式:
15比10记作15:
10
10比15记作10:
15
注意:
“:
”是比号
3、比的组成部分
15:
10=15÷10=
前项比号后项比值
比值通常用分数表示,也可以用小数或整数表示。
4、比与分数,除法的关系。
比是表示两个数相除,有两项,前项和后项,后项不能为0。
比与分数在一定的程度是对等的,比的前项相当于分数的分子,比的后项相当于分数的分母,比号相当于分数线,如3:
4=
,
:
5,
比和除法的联系就是比的前项相当于除法中的被除数,比的后项相当于除法中的除数,比值相当于除法的商。
比和除法、分数的关系表:
除法被除数÷(除号)除数商
分数分子──(分数线)分母分数值
比前项∶(比号)后项比值
(二)比例的认识
1、比例的概念:
表示两个比相等的式子叫做比例。
2、比例的表示形式:
15:
10=3:
2也可以写成
=
3、比例的组成部分
组成比例的四个数,叫做比例的项。
两端的两项叫做比例的外项,中间的两项叫做比例的内项。
二、比和比例的基本性质
(一)比的基本性质
比的前项和后项同时乘以或者同时除以相同的数(0除外),比值不变。
例1:
把下面各比化成最简单的整数比并求其比值。
(1)25:
10
(2)12.5:
(3)0.25:
0.4
解:
(1)25:
10=(25÷5):
(10÷5)=5:
2=
(2)12.5:
=(12.5×8):
(
×8)=100:
5=(100÷5):
(5÷5)=20:
1=20
(3)0.25:
0.4=(0.25×100):
(0.4×100)=25:
40=(25÷5):
(40÷5)=5:
8=
随堂练习:
化简下面各比并求比值。
(1)63:
27
(2)
:
(3)400厘米:
6米
小结:
①整数比化最简比时,同时除以最大公约数。
②分数比化整数比时,前、后项同时乘以分母的最小公倍数。
③小数比化整数比时,前、后项同时扩大的数要看较小数的小数部分:
小数的部分是几分位如:
十分位扩大10倍百分位扩大100倍……
(二)比例的基本性质
1、比例的基本性质:
在比例里,两内项之积等于两外项之积。
例2:
解比例
解:
1.5x=2.5×6
x=
x=
随堂练习:
解下列比例。
x:
10=
:
0.4:
x=1.2:
2
2、正比例和反比例
(1)正比例:
两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量相对应的两个数的比值(也就是商)一定,这两种量就叫做成正比例的量,它们的关系叫做成正比例关系。
如速度一定时,路程与时间成正比。
(2)反比例:
两种相关联的量一种量变化,另种量也随着变化,如果这两种量中,相对应的两个数的积一定,这两种量就叫做成反比例的量,它们的关系叫做成反比例关系.如:
工作总量一定时,工作效率与工作时间成反比。
3、图形的比例尺。
比例尺=图上距离/实际距离。
比例尺通常有三种表示方法。
(1)数字式,用数字的比例式或分数式表示比例尺的大小。
例如地图上1厘米代表实地距离500千米,可写成:
1∶50000000或写成:
五千万分之一。
(2)线段式,在地图上画一条线段,并注明地图上1厘米所代表的实际距离。
(3)文字式,在地图上用文字直接写出地图上1厘米代表实地距离多少千米,如:
图上1厘米相当于地面距离10千米。
三、比和比例的应用
例3:
甲数比乙数多
,甲、乙两数的比是多少?
分析:
由“甲数比乙数多
”,可以把乙数看作单位“1”,平均分成5份。
如图:
甲数为(1+
)
解:
方法一:
(1+
):
1=
1=
方法二:
(5+1):
5=6:
5
随堂练习:
某厂男、女工人数比是7:
8,那么女工人数相当于男工的
;女工人数占全厂总人数的
。
例4:
已知甲比乙是2:
3,丙比乙是5:
4,那么甲比丙是多少?
解:
乙作为中间量,前者占3份,后者占4份,份数不统一,所以将份数统一得到,甲比乙是2:
3=8:
12,丙比乙是5:
4=15:
12,即甲比乙比丙是8:
12:
15那么甲比丙是8:
15。
随堂练习:
已知甲比乙是3:
4,乙比丙是5:
4,那么甲比丙是多少?
例5:
甲、乙两包糖的重量比是4:
1,如果从甲包取出10克放入乙包后,甲、乙两包糖的重量比变为2:
3,那么两包糖的重量的总和是多少克?
解:
设甲包糖重量是
,乙包糖重量是
,则两包糖的重量的总和是
根据题意,列比例方程得,
(
)︰
︰3
,
(克)
答:
两包糖的重量的总和是25克。
随堂练习:
甲、乙两个书架上书的数量比是3:
2,如果从甲书架取出10本书放入乙书架后,甲、乙两个书架上书的数量比变为8:
7,那么两个书架上共有书多少本?
例6:
小明和小方各走一段路,小明走的路程比小方多
,小方用的时间比小明多
,小明和小方的速度之比是多少?
分析:
依题意,小明和小方路程之比为6︰5,小明和小方所用时间的比是8︰9,我们把这两个比看作最简整数比,利用路程与时间的关系,可求出小明和小方的速度之比。
解:
︰
=27︰20
答:
小明和小方的速度之比是27︰20。
例7:
小明从甲地到乙地,去时每小时走6千米,回来时每小时走9千米,来回共用5小时,小明来回共走了多少千米?
分析:
要求小明来回共走的路程,实际上只要求出从甲地到乙地的距离,来回走的距离即为甲地到乙地的2倍。
由题意知,去时与回来时的速度比为6∶9=2∶3,路程一定,速度与时间成反比,由此可知去和回所用的时间比为速度的反比,即3∶2,至此,问题就可以解决了。
解:
因为小明去时与回来时的速度比为6∶9=2∶3,
所以,小明去和回所用的时间比为3∶2,
故小明去的时间是
(小时)
去时所走的路程是:
3×6=18(千米)
小明来回共走了18×2=36千米。
答:
小明来回共走了36千米。
小结:
比和比例一直是学数学容易弄混的几大问题之一,其实它们之间的问题完全可以用一句话概括:
比,等同于算式中等号左边的式子,是式子的一种;
比例,由至少两个称为比的式子由等号连接而成,且这两个比的比值是相同。
所以,比和比例的联系就可以说成是:
比是比例的一部分;而比例是由至少两个比值相等的比组和而成的。
比的意义是两个数的除又叫做两个数的比,而比例的意义是表示两个比相等的是叫做比例。
比是表示两个数相除,有两项;比例是一个等式,表示两个比相等,有四项。
比和比例的意义也不同。
思考与提高
小华要买一些圣诞卡,由于圣诞卡减价20%,用同样多的钱她可以多买6张,问小华原来买多少张圣诞卡?
分析:
单价×张数=总钱数
在总钱数不变的情况下,单价与张数成反比,这就是说,如果单价由原来的每张
元,减价了20%,变成了
元,原单价与现价的比是1:
0.8,据题可得到下面的解法:
解:
设原来买
张圣诞卡,则减价后可买
张圣诞卡,则有:
︰
=1︰0.8
解得:
答:
小华原来买24张圣诞卡。
第十二讲浓度问题
一、知识要点:
百分数应用题中有一类是关于浓度计算的有关应用题,即浓度问题。
以糖水为例,将糖溶于水中得到糖水,这里糖叫溶质,水叫溶剂,糖水叫溶液,三者之间有如下关系:
浓度=溶质÷溶液×100%=溶质÷(溶质+溶剂)×100%
利用这个关系,我们可以列方程或按解分数应用题的方法进行有关问题的解答。
二、基本概念:
引入:
往80克水中加入20克糖,那么糖占糖水的百分之几?
分析:
在这里糖作为溶质,水作为溶剂,糖水作为溶液,糖占糖水的百分比就是浓度。
所以,这里的浓度是20÷(20+80)×100%=20%
与浓度相对应的是含水量,即水占糖水的百分比,80÷(20+80)×100%=80%,也就是1与浓度的差,1-20%=80%
【例题1】
葡萄从新疆被运到北京,含水量由98%减少到90%,那么从新疆运5000千克葡萄,到了北京就只剩下多少千克了?
分析:
葡萄从新疆被运到北京,只是所含水分减少了,没有变化的是果子的含量,由原来的1-98%=2%,增加到1-90%=10%,
所以,5000千克的葡萄到了北京就变成了,
5000×(1-98%)÷(1-90%)=1000(千克)
答:
从新疆运5000千克葡萄,到了北京就只剩下1000千克了。
随堂练习:
含水量为98%的葡萄10000千克,被运到北京时只剩下1000千克,那么到了北京的葡萄,它的含水量是多少?
三、基本类型:
1、加浓(即把浓度提高)
途径:
(1)加热蒸发,溶质不变;
(2)加溶质,溶剂不变。
【例题2】
有250克浓度为8%的盐水,现在要使它的浓度提高到25%,应该蒸发掉多少克的水?
分析与解:
加热蒸发,盐不变,原来有盐,250×8%=20(克)
后来这20克盐所对应的分率是25%,
所以后来的溶液是20÷25%=80(克)
因此,要蒸发掉的水是250-80=170(克)
答:
应该蒸发掉170克的水。
【例题3】
有浓度为6%的糖水900克,要使其浓度加大到10%,那么需要加入糖多少克?
解:
加糖,水不变,原来水的百分含量是1-6%=94%,后来水的百分含量是1-10%=90%,即不变量水的含量比:
(1-6%):
(1-10%)=47:
45
那么溶液比:
45:
47
加糖:
900×(
-1)=40(克)
答:
需要加入糖40克。
随堂练习:
浓度为15%的盐水有500克,
(1)要蒸发掉多少克的水,才能使它的浓度增加到25%?
(2)只要加多少盐,就能使原来的盐水变成浓度为20%的盐水?
2、稀释
途径:
加溶剂,溶质不变。
【例题4】
有浓度为30%的以水为溶剂的溶液若干,加入一定数量的水之后稀释成浓度为24%的溶液。
如果再加入同样多的水之后浓度将变为多少?
解:
不变量浓度比:
30%:
24%=5:
4溶液比:
4:
5
再加入同样多的水之后,溶液比:
5:
6不变量浓度比:
6:
5
再加入同样多的水之后,浓度变为:
24%×
=20%
随堂练习:
一只杯中有浓度为20%的盐水,若再加入10千克水,则盐水的浓度变为15%,这只杯中含盐多少千克?
3、混合溶液
解决的方法与原理:
补偿原理。
【例题5】
浓度为20%的糖水300克和浓度为35%的糖水200克混合在一起,混合后的糖水浓度是多少?
分析与解:
根据糖水的浓度=
,得
答:
混合后的糖水浓度是26%。
随堂练习:
浓度为45%的硫酸溶液10千克,与浓度为60%的硫酸溶液5千克,混合后所得到的硫酸溶液的浓度是多少?
【例题6】
有两种硫酸,一种浓度为60%,另一种浓度为90%,现在要配置浓度为70%的硫酸300克,问每种硫酸各取多少克?
分析:
浓度为60%的溶液,需要补充10%才能得到70%,
浓度为90%的溶液,可以提供20%之后得到70%,
也就是说,一份浓度为90%的溶液,可以补偿给两份浓度为60%的溶液,即两者溶液比为1:
2,这便是补偿原理,如图所示,
所以,浓度为90%的硫酸取,300×
=100(克)
浓度为60%的硫酸取,300×
=200(克)
随堂练习:
甲、乙两种金条分别含金80%和60%,应该各取几克熔化起来才能得到含金74%的金条500克?
解:
根据补偿原理,两者之间量的关系如下表所示,
小结:
浓度问题的基本数量关系式是:
溶质÷溶液×100%=浓度(溶液=溶质+溶剂)浓度问题常常表现为添加溶质型、添加溶剂型、溶液混合型第三种形式,在每一种类型的解题过程中,常从不变量入手,结合每一概念的本质进行数量关系的份数分析。
同时要注意对应。
思考与提高:
反复配浓问题:
有一只桶里盛满了50千克浓度为20%的橙汁溶液,如果从中倒出10千克后,再加入10千克水,搅匀后再倒出10千克橙汁溶液,然后再加入10千克水,这时桶里橙汁溶液的浓度是多少?
分析与解:
抓住每次混合后的溶质与溶液,利用最基本的等量关系,一步步求解最终浓度,因为每次都是从里倒出10千克溶液,又加入10千克水补充,所以橙汁溶液的重量始终保持不变。
第一次加水后的浓度是,
第二次加水后的浓度是,
列综合算式为,
同理,因每次倒出溶液的
,则溶液中的纯橙汁的含量也减少
,原溶液中含有纯橙汁50×20%=10(千克)。
则第二次倒出后含量为:
(千克)
加水后浓度为6.4÷50×100%=12.8%
答:
这时桶里橙汁溶液的浓度是12.8%。
第十三讲利润问题
一、知识要点:
本讲主要介绍商业中的百分数应用题,即利润问题。
主要数量关系式:
利润率=利润÷成本×100%
折扣=实际售价÷定价
利息=本金×利率×时间
二、基本概念:
引入:
一双鞋子,标价为200元,打八折出售之后,还能获得60%的利润,则这双鞋子的利润、成本、期望利润率分别是多少?
解析:
定价,即商品的标价,商店老板期望卖出去的价格,在这里是200元。
折扣,即按商品的定价降价出售,八折,即按定价的80%(或0.8)计算。
实际售价:
商品最终卖出时,消费者所付的实际价钱,在这里是200×0.8=160(元)
利润率,指利润占成本的一个百分比,在这里是60%,即利润率是相对成本而言的。
成本,即商品的进货价。
利润,是实际售价与成本的差额。
在这里,实际售价包含着成本与利润,设成本为单位“1”,那么利润是1×60%=60%
所以,成本:
160÷(1+60%)=100(元)
利润:
160-100=60(元)
期望利润:
是定价与成本的差额,即200-100=100(元)
期望利润率:
是期望利润占成本的百分比,即100÷100×100%=100%
销量:
即商品卖出去的数量。
收入:
商品的实际售价与销量的乘积。
三、基本类型:
1、直接用数量关系求解:
【例题1】
商店新进一批彩电,每台成本是2400元,按20%的利润定价,后来又以九五折出售,每台彩电的实际售价是多少元?
解:
彩电的定价,2400×(1+20%)=2880(元)
彩电的实际售价,2880×0.95=2736(元)
答:
每台彩电的实际售价是2736元。
随堂练习:
商店运进一批彩电,按20%的利润来定价,后来按定价的七折出售,结果每台亏损了240元,每台彩电的定价是多少元?
2、利用方程求解:
【例题2】
一个个体户购进十二生肖玩具1000个,运输过程中破损了一些,未破损的好玩具卖完后,获取利润50%,破损的玩具只得降价出售,亏损了10%,最后结算,这位个体户获得利润39.2%,他卖出去的好玩具有多少个?
解:
设卖出好玩具
个,则破损
个,
解得
答:
他卖出的好玩具有820个。
随堂练习:
果品公司购进苹果5.2万千克,每千克进价0.98元,共付运费1840元,
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 第三单元 应用题 第三 单元