水资源最佳配置问题及运输问题运筹学课设论文.docx
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水资源最佳配置问题及运输问题运筹学课设论文
摘要
随着科学技术和生产的发展,运筹学已渗入很多领域里,发挥了越来越重要的作用。
运筹学本身也在不断发展,现在已经是一个包括好几个分支的数学部门了。
比如:
数学规划(又包含线性规划;非线性规划;整数规划;组合规划等)、图论、网络流、决策分析、排队论、可靠性数学理论、库存论、对策论、搜索论、模拟等等。
本文首先针对生产相同电子产品的A、B两个企业,如何在财力有限的情况下,选择合适的混合策略方案,使其得到最大的市场份额,并利用Lindo软件对此线性规划的混合策略问题进行求解、分析;然后利用Lingo软件,编程求解运输问题的案例模型,得到了最优调运方案。
关键词:
线性规划、Lindo、混合策略、运输问题、Lingo
目录
摘要4
最优分配问题6
1.1问题的提出6
1.2建模过程:
7
1.3模型的建立及求解9
1.4结果分析10
运输问题13
2.1问题的提出13
2.2问题的分析及求解13
2.3结果分析15
总结18
参考文献19
最优分配问题
1.1问题的提出
第十六题、某城市自来水的水源地为A、B、C三个水库,分别由地下管道把水送往该市所辖甲、乙、丙、丁四个区。
唯一的例外是C水库与丁区没有地下管道。
由于地理位置的差别,各水库通往各区的输水管道经过的涵洞、桥梁、加压站和净水站等设备各不相同,因此该公司对各区的引水管理费(元/千吨)各不相同(见下表)。
但是对各区自来水的其他管理费均为45元/千吨,而且对各区用户都按统一标准计费,单价为90元/千吨。
目前水库将临枯水期,该公司决策机构正考虑如何分配现有供水量的问题。
首先,必须保证居民生活用水和某些重要机关、企业、事业单位用水的基本需求,各区的这部分用水量由下表的“最低需求”行表示,但是拥有一个独立水源的丙区这部分水量可自给自足,无须公司供给。
其次,除乙区外,其他三个区都已向公司申请额外再分给如下水量(千吨/天):
甲区:
20;丙区:
30;丁区要求越多越好,无上限。
这部分水量包含于“最高需求”行中。
该公司应如何分配供水量,才能在保障各区最低需求的基础上获利最多?
并按要求分别完成下列分析:
(1)水库B供应甲区的引水管理费(元/千吨)在何范围内变化时最优分配方案不变?
(2)水库A的供水量在何范围内变化时最优基不变?
引水管理费
(千/吨)
甲
乙
丙
丁
供水量(元/千吨)
A
16
13
22
17
50
B
14
13
19
15
60
C
19
20
23
—
50
最低需求(千吨/天)
30
70
0
10
最高需求(千吨/天)
50
70
30
不限
1.2建模过程:
1.2.1设定变量
设Xij表示从第i个水库输水到第j个区的供水量,其中i=1、2、3(1、2、3分别代表A、B、C三个水库);j=1、2、3、4(1、2、3、4分别表示甲、乙、丙、丁四个区)
设Z为总的饮水管理费;
设Y表示公司的获利。
1.2.2根据题意推理
A水库到甲区的饮水管理费为:
16X11
A水库到乙区的饮水管理费为:
13X12
A水库到丙区的饮水管理费为:
22X13
A水库到丁区的饮水管理费为:
17X14
B水库到甲区的饮水管理费为:
14X21
B水库到乙区的饮水管理费为:
13X22
B水库到丙区的饮水管理费为:
19X23
B水库到丁区的饮水管理费为:
15X24
C水库到甲区的饮水管理费为:
19X31
C水库到乙区的饮水管理费为:
20X32
C水库到丙区的饮水管理费为:
23X33
A水库的供水量为:
X11+X12+X13+X14≤50
B水库的供水量为:
X21+X22+X23+X24≤60
C水库的供水量为:
X31+X32+X33≤50
甲区的最低需求为:
X11+X21+X31≥30
乙区的最低需求为:
X12+X22+X32≥70
丁区的最低需求为:
X14+X24≥10
甲区的最高需求为:
X11+X21+X31≤50
乙区的最高需求为:
X12+X22+X32≤70
丙区的最高需求为:
X13+X23+X33≤30
则得该问题的LP问题为:
MinZ=16X11+13X12+22X13+17X14+14X21+13X22+19X23+15X24+19X31+20X32+23X33
St
X11+X12+X13+X14≤50
X21+X22+X23+X24≤60
X31+X32+X33≤50
X11+X21+X31≥30
X12+X22+X32=70
X14+X24≥10
X11+X21+X31≤50
X13+X23+X33≤30
Xij≥0,i=1,2,3,4;j=1,2,3,4
1.2.3计算机求解前的手工数据准备
1.2.3.1数学模型数据准备
将原问题第一、二、三、四、六、七、八个约束条件添加松弛变量X1、X2、X3、X4、X5、X6、X7;
将原问题第四、五、六个约束条件添加人工变量X8、X9、X10;
将问题化为标准形式:
MaxZ=-16X11-13X12-22X13-17X14-14X21-13X22-19X23-15X24-19X31-20X32-23X3
st
X11+X12+X13+X14+X1=50A水库的供水量
X21+X22+X23+X24+X2=60B水库的供水量
X31+X32+X33+X3=50C水库的供水量
X11+X21+X31-X4+X8=30甲区的最低需求
X12+X22+X32+X9=70乙区的最低需求
X14+X24-X5+X10=10丁区的最低需求
X11+X21+X31+X6=50甲区的最高需求
X13+X23+X33+X7=30丙区的最高需求
Xij≥0,Xr≥0,i=1,2,3,4;j=1,2,3,4;r=1,2,3,4,5,6,7,8
1.2.3.2Lindo6.1数据准备
在模型编译框内输入原模型的程序规范模式如下:
Min16X11+13X12+22X13+17X14+14X21+13X22+19X23+15X24+19X31+20X32+23X33
st
X11+X12+X13+X14<=50
X21+X22+X23+X24<=60
X31+X32+X33<=50
X11+X21+X31>=30
X12+X22+X32=70
X14+X24>=10
X11+X21+X31<=50
X13+X23+X33<=30
END
1.3模型的建立及求解
3.1首先选择目标函数类型,注意:
输入1代表求max,输入2代表求min;
3.2输入变量个数后,输入变量的系数,注意此处的变量系数是指目标函数中的变量系数;
3.3输入约束条件个数后,选择约束条件符号,注意:
输入1代表等于,输入2代表大于等于,输入3代表小于等于;
3.4;输入A,注意此处的变量系数是指约束条件中的变量系数;
3.5在进行每步的输入时,一定要按步骤,当输入的数据量大时,注意一定要按照顺序依次输入;
在lindo软件中输入以上程序如下图所示:
3.6将上述的程序输入后,结果如下:
1.4结果分析
1.4.1参数C的变化
1.4.1.1问题
(1)中水库B供应甲区的饮水管理费的变化属于LP问题模型中参数C的变化,而此问题中C是基变量X21的系数,则:
先确定基变量系数变化范围,基变量系数变化影响所有非基变量的检验数和目标函数值。
如果Cj的变化范围在基变量Cj增量的变化范围之内则其最优解、最优值均不变;反之如果Cj的变化范围超出基变量Cj增量的变化范围,则需要重新迭代求出最优值。
1.4.1.2问题
(2)中水库A的供水量变化属于LP问题模型中参数b的变化
根据max{-bi/βir|βir>0}<=b<=min{-bi/βir|βir<0}确定b的变化范围。
如果b的变化在该范围之内最优基不变最优解变化,最优解由公式XB=B-1b求得。
如果b的变化超出该范围最优基最优解均发生变化,重新计算CBB-1b、B-1b代入最优表中重新迭代。
1.4.2问题分析
通过对题目的正确理解和分析,依据题意可以得到在保证各区最低供水量的基础上运费最低,也就是获利最大的模型,以这个模型为基础,可以得到公司分配供水量的最优决策方案。
然后通过灵敏度分析
(1)水库B供应甲区的引水管理费(元/千吨)在何范围内变化时最优分配方案不变
(2)水库A的供水量在何范围内变化时最优基不变
1.4.3计算机的求解结果及分析
1.4.3.1数据录入,输入变量个数以及变量系数和约束条件个数,依次输入约束条件中变量的系数,以及右端常数项的值,输入确定并回车后可得最优解和最优值。
如图7:
图7
由图可知,最优分配供水量方案为:
X12=50,X21=30,X22=20,X24=10,其余变量的值为0;即A水库输水到乙区50千吨,B水库输入到甲区30千吨,到乙区20千吨,到丁区10千吨。
此时MinZ=1480,即最低总的饮水管理费为1480元,则最大获利为:
Y=(90-45)*(50+30+20+10)-1480=3470(元)
1.4.4灵敏度分析
1.4.4.1根据结果分析当目标函数的变量系数在什么变化范围内时,最优基不变。
VARIABLECURRENTALLOWABLEALLOWABLE
COEFINCREASEDECREASE
X1116.000000INFINITY2.000000
X1213.0000000.000000INFINITY
X1322.000000INFINITY22.000000
X1417.000000INFINITY2.000000
X2114.0000002.00000014.000000
X2213.0000007.0000000.000000
X2319.000000INFINITY19.000000
X2415.0000002.00000015.000000
X3119.000000INFINITY5.000000
X3220.000000INFINITY7.000000
X3323.000000INFINITY23.000000
其中各列表头释义为,CURRENTCOEF:
初始目标函数系数;ALLOWABLEINCREASE:
允许变量系数增加的范围;ALLOWABLEDECREASE:
允许变量系数减少的范围。
则当目标函数的系数C在[初始目标函数的系数-允许变量系数减少的范围,初始目函数的系数+允许变量系数增加的范围]内变化时,最优基不变,最优解也不变,由于目标函数的系数发生改变了,所以最优值有可能改变。
1.4.4.2根据结果分析约束条件右端项在什么范围内变化时,最优基不变
ROWCURRENTALLOWABLEALLOWABLE
RHSINCREASEDECREASE
250.00000020.0000000.000000
360.000000INFINITY0.000000
450.000000INFINITY50.000000
530.0000000.00000030.000000
670.0000000.00000020.000000
710.0000000.00000010.000000
850.000000INFINITY20.000000
930.000000INFINITY30.000000
其中各列表头释义为,CURRENTRHS:
初始约束条件右端项的值;ALLOWABLEINCREASE:
允许b值增加的范围;ALLOWABLEDECREASE:
允许b值减少的范围当约束条件右端项的值在[初始约束条件右端项的值-允许b值减少的范围,初始约束条件右端项的值+允许b值增加的范围]内变化时最优基不变,最优解不变。
1.4.5原问题分析
1.4.5.1水库B供应甲区的引水管理费(元/千吨)在何变化范围时最优分配方案不变
解:
因为水库B供应甲区的饮水管理费为C21,由上列计算结果可得允许变量系数增加的范围为[0,2],允许变量系数减少的范围[0,14],所以水库B供应甲区的饮水管理费在[0,16]范围内变化时最优基不变。
1.4.5.2水库A的供水量在何范围内变化时最优基不变
解:
因为水库A的供水量年是第1个约束条件的右端项,即该问题求的是b1的变化范围,由上列计算结果可得b1变化范围为[0,20],所以水库A的供水量在[50,70]范围内变化时最优基不变。
运用Lindo6.1进行灵敏度分析,适用于任何类型的题型,计算容量大,使用这种方法进行计算可以提高计算的准备度,加快计算速度,具有较强的说服力和适应能力,有效地检验计算结果的准备性。
除题中问题外,还可可解决其他所有相关的灵敏度分析问题。
运输问题
2.1问题的提出
已知A1.A2,A3,A4,A5,A6,6个产地和B1——B88个销售点的产销量和单位运价表,求最小费用运输。
产销量及单位运价如下表。
销地
cij
产地
B1
B2
B3
B4
B5
B6
B7
B8
产量
A1
6
2
9
7
4
2
5
9
55
A2
4
5
5
3
8
5
3
2
47
A3
5
2
1
3
7
4
8
3
42
A4
7
6
7
9
9
2
7
1
52
A5
2
3
6
5
7
2
6
5
41
A6
5
9
2
2
8
1
4
3
32
销量
60
55
51
43
41
52
43
38
2.2问题的分析及求解
2.2.1变量的设定
设Xij为产地i到销地j的运输量,其中i=1,2,3,4,5,6.j=1,2,3,4,5,6,7,8..
Z为运输最小费。
2.2.2建立数学模型
MinZ=CijXij
Xij≦bj(j=1...8)销量约束
Xij=ai(i=1...6)产量约束
Xij≥0(i=1...6;j=1...8)
1.2.3写出代码并在Lingo软件中输入
源代码:
model:
!
6发点8model:
!
6发点8收点运输问题;
sets:
warehouses/wh1..wh6/:
capacity;
vendors/v1..v8/:
demand;
links(warehouses,vendors):
cost,volume;
endsets
min=@sum(links:
cost*volume);!
目标函数;
@for(vendors(J):
@sum(warehouses(I):
volume(I,J))<=demand(J));!
需求约束;
@for(warehouses(I):
@sum(vendors(J):
volume(I,J))=capacity(I));!
产量约束;
!
这里是数据;
data:
capacity=554742524132;
demand=6055514341524338;
cost=62974259
45538532
52137483
76799271
23657265
59228143;
enddata
end
在Lingo输入以上代码,截图如下:
2.3结果分析
2.4将以上程序输入后,运行Lingo软件,结果如下:
Globaloptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
473.0000
Infeasibilities:
0.000000
Totalsolveriterations:
9
VariableValueReducedCost
CAPACITY(WH1)55.000000.000000
CAPACITY(WH2)47.000000.000000
CAPACITY(WH3)42.000000.000000
CAPACITY(WH4)52.000000.000000
CAPACITY(WH5)41.000000.000000
CAPACITY(WH6)32.000000.000000
DEMAND(V1)60.000000.000000
DEMAND(V2)55.000000.000000
DEMAND(V3)51.000000.000000
DEMAND(V4)43.000000.000000
DEMAND(V5)41.000000.000000
DEMAND(V6)52.000000.000000
DEMAND(V7)43.000000.000000
DEMAND(V8)38.000000.000000
COST(WH1,V1)6.0000000.000000
COST(WH1,V2)2.0000000.000000
COST(WH1,V3)9.0000000.000000
COST(WH1,V4)7.0000000.000000
COST(WH1,V5)4.0000000.000000
COST(WH1,V6)2.0000000.000000
COST(WH1,V7)5.0000000.000000
COST(WH1,V8)9.0000000.000000
COST(WH2,V1)4.0000000.000000
COST(WH2,V2)5.0000000.000000
COST(WH2,V3)5.0000000.000000
COST(WH2,V4)3.0000000.000000
COST(WH2,V5)8.0000000.000000
COST(WH2,V6)5.0000000.000000
COST(WH2,V7)3.0000000.000000
COST(WH2,V8)2.0000000.000000
COST(WH3,V1)5.0000000.000000
COST(WH3,V2)2.0000000.000000
COST(WH3,V3)1.0000000.000000
COST(WH3,V4)3.0000000.000000
COST(WH3,V5)7.0000000.000000
COST(WH3,V6)4.0000000.000000
COST(WH3,V7)8.0000000.000000
COST(WH3,V8)3.0000000.000000
COST(WH4,V1)7.0000000.000000
COST(WH4,V2)6.0000000.000000
COST(WH4,V3)7.0000000.000000
COST(WH4,V4)9.0000000.000000
COST(WH4,V5)9.0000000.000000
COST(WH4,V6)2.0000000.000000
COST(WH4,V7)7.0000000.000000
COST(WH4,V8)1.0000000.000000
COST(WH5,V1)2.0000000.000000
COST(WH5,V2)3.0000000.000000
COST(WH5,V3)6.0000000.000000
COST(WH5,V4)5.0000000.000000
COST(WH5,V5)7.0000000.000000
COST(WH5,V6)2.0000000.000000
COST(WH5,V7)6.0000000.000000
COST(WH5,V8)5.0000000.000000
COST(WH6,V1)5.0000000.000000
COST(WH6,V2)9.0000000.000000
COST(WH6,V3)2.0000000.000000
COST(WH6,V4)2.0000000.000000
COST(WH6,V5)8.0000000.000000
COST(WH6,V6)1.0000000.000000
COST(WH6,V7)4.0000000.000000
COST(WH6,V8)3.0000000.000000
VOLUME(WH1,V1)0.0000004.000000
VOLUME(WH1,V2)55.000000.000000
VOLUME(WH1,V3)0.0000007.000000
VOLUME(WH1,V4)0.0000005.000000
VOLUME(WH1,V5)0.0000002.000000
VOLUME(WH1,V6)0.0000000.000000
VOLUME(WH1,V7)0.0000003.000000
VOLUME(WH1,V8)0.0000008.000000
VOLUME(WH2,V1)0.0000001.000000
VOLUME(WH2,V2)0.0000002.000000
VOLUME(WH2,V3)0.0000002.000000
VOLUME(WH2,V4)43.000000.000000
VOLUME(WH2,V5)0.0000005.000000
VOLUME(WH2,V6)0.0000002.000000
VOLUME(WH2,V7)4.0000000.000000
VOLUME(WH2,V8)0.0000000.000000
VOLUME(WH3,V1)0.0000004.000000
VOLUME(WH3,V2)0.0000001.000000
VOLUME(WH3,V3)42.000000.000000
VOLUME(WH3,V4)0.0000002.000000
VOLUME(WH3,V5)0.0000006.000000
VOLUME(WH3,V6)0.0000003.000000
VOLUME(WH3,V7)0.0000007.000000
VOLUME(WH3,V8)0.0000003.0
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