深圳市普通高中高三年级线上统一测试数学文科试题含参考答案.docx
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深圳市普通高中高三年级线上统一测试数学文科试题含参考答案
绝密★启用前试卷类型:
(A)
深圳市2020年普通高中高三年级线上统一测试
数学(文科)2020.3
本试卷共23小题,满分150分.考试用时120分钟.
B
一、选择题:
本题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合A={1,2,3,4,5},B={0,2,4,6},则集合A
的子集共有
A.2个
B.4个
C.6个
D.8个
2.若复数z=a+2i的实部为0,其中a为实数,则|z|=
1-i
A.2
B.2
C.1
D.2
2
3.已知向量OA=(-1,k),OB=(1,2),OC=(k+2,0),且实数k>0,若A、B、C三点共线,则k=
A.0
B.1
C.2
D.3
4.意大利数学家斐波那契的《算经》中记载了一个有趣的问题:
已知一对兔子每个月可以生一对兔子,而一对兔子出生后在第二个月就开始生小兔子.假如没有发生死亡现象,那么兔子对数依次为:
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144……,这就
*
是著名的斐波那契数列,它的递推公式是an=an-1+an-2(n≥3,n∈Ν),其中a1=1,
a2=1.若从该数列的前100项中随机地抽取一个数,则这个数是偶数的概率为
A.1
3
B.33
100
C.1
2
D.67
100
5.设a=0.3
2,b=(
2)0.3,c=log
0.3
2,则下列正确的是
A.a>b>c
B.a>c>b
C.c>a>b
D.b>a>c
6.如图所示的茎叶图记录了甲,乙两支篮球队各6名队员某场比赛的得分数据(单位:
分).若这两组数据的中位数相等,且平均值也相等,则x和y的值为
A.2和6
B.4和6
C.2和7
D.4和7
7.若双曲线x
2y2
-
=1(a>0,b>0)的焦距为2
,且渐近线经过点(1,-2),则此双
a2b2
曲线的方程为
x2
A.-y2=1
4
2
B.x2-y=1
4
x2y2
C.-=1416
x2y2
D.-=1164
5
8.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是由一个长方体切割而成的三棱锥的三视图,则该三棱锥的体积为
A.12
B.16
C.24
D.32
9.已知函数f(x)=Asin(x+π)+b(A>0)的最大值、
3
最小值分别为3和-1,关于函数f(x)有如下四个结论:
①A=2,b=1;
②函数f(x)的图象C关于直线x
5π对称;
=-
6
③函数f(x)的图象C关于点(2π,0)对称;
3
④函数f(x)在区间(π,5π)内是减函数.
66
其中,正确的结论个数是
A.1
B.2
C.3
D.4
x2+1
10.函数f(x)=cosx⋅ln(
-x)的图象大致为
y
1
ο
-π
πx
-1
y
1
-π
ο
-1
πx
A..B.
y
1
-π
ο
-1
πx
y
1
ο
-ππx
-1
C.D.
11.已知直三棱柱ABC-A1B1C1,∠ABC=90︒,AB=BC=AA1=2,BB1和B1C1的中点分别为E、F,则AE与CF夹角的余弦值为
A.3
5
2
B.
5
4
C.
5
D.15
5
12.函数f(x)是定义在(0,+∞)上的可导函数,f'(x)为其导函数,若xf'(x)+f(x)=(1-x)ex,且f
(2)=0,则f(x)>0的解集为
A.(0,1)
B.(0,2)
C.(1,2)
D.(1,4)
二、填空题:
本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13.若sin(α+π)=1,则sin2α=.
43
14.在∆ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若(a+b)(sinA-sinB)=(a-c)sinC,
b=2,则∆ABC的外接圆面积为.
3
15.已知一圆柱内接于一个半径为的球内,则该圆柱的最大体积为.
2
2
16.设椭圆C:
x+y
a2b2
=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,其焦距为2c,O为坐
标原点,点P满足OP=2a,点A是椭圆C上的动点,且PA+AF1≤3F1F2
恒成立,
则椭圆C离心率的取值范围是.
三、解答题:
共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.
(一)必考题:
共60分.
17.(本小题满分12分)
n1n+1n
已知数列{a},a=4,(n+1)a-na=4(n+1)(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式;
1
(2)若bn=
a⋅a
,求数列{bn}前n项和为Tn.
nn+1
18.(本小题满分12分)
某公司为了对某种商品进行合理定价,需了解该商品的月销售量y(单位:
万件)与月销售单价x(单位:
元/件)之间的关系,对近6个月的月销售量yi和月销售单价xi
6)
(i=1,2,3,
数据进行了统计分析,得到一组检测数据如表所示:
月销售单价x(元/件)
4
5
6
7
8
9
月销售量y(万件)
89
83
82
79
74
67
(1)若用线性回归模型拟合y与x之间的关系,现有甲、乙、丙三位实习员工求得回归直线方程分别为:
yˆ=-4x+105,yˆ=4x+53和yˆ=-3x+104,其中有且仅有一位实习员工的计算结果是正确的.请结合统计学的相关知识,判断哪位实习员工的计算结果是正确的,并说明理由;
(2)若用y=ax2+bx+c模型拟合y与x之间的关系,可得回归方程为
yˆ=-0.375x2+0.875x+90.25,经计算该模型和
(1)中正确的线性回归模型的相关指数R2
分别为0.9702
和0.9524
,请用R2
说明哪个回归模型的拟合效果更好;
6547
(3)已知该商品的月销售额为z(单位:
万元),利用
(2)中的结果回答问题:
当月销售单价为何值时,商品的月销售额预报值最大?
(精确到0.01)
参考数据:
≈80.91.
19.(本小题满分12分)
如图,四边形ABCD为长方形,AB=2BC=4,E、F分别为AB、CD的中点,将∆ADF沿AF折到∆AD'F的位置,将∆BCE沿CE折到∆B'CE的位置,使得平面AD'F⊥底面AECF,平面B'CE⊥底面AECF,连接B'D'.
(1)求证:
B'D'//平面AECF;
(2)求三棱锥B'-AD'F的体积.
20.(本小题满分12分)
在平面直角坐标系xOy中,过点F(2,0)的动圆恒与y轴相切,FP为该圆的直径,设点P
的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程;
(2)过点A(2,4)的任意直线l与曲线C交于点M,B为AM的中点,过点B作x轴的平行线交曲线C于点D,B关于点D的对称点为N,除M以外,直线MN与C是否有其它公共点?
说明理由.
21.(本小题满分12分)
已知函数f(x)=(x-1)lnx+ax2+(1-a)x-1.
(1)当a=-1时,判断函数的单调性;
(2)讨论f(x)零点的个数.
(二)选考题:
共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意:
只能做所选定的题目.如果多做,则按所做的第一题计分,
22.(本小题满分10分)选修4-4:
坐标系与参数方程
⎪⎧x=-2
3
在直角坐标系xOy中,直线C1的参数方程为⎨
+
tcosα,
(t为参数,α为倾斜
⎪⎩y=tsinα,
角),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为
ρ=4sinθ.
(1)求C2的直角坐标方程;
3
(2)直线C1与C2相交于E,F两个不同的点,点P的极坐标为(2
π),若
2EF=PE+PF
,求直线C1的普通方程.
23.(本小题满分10分)选修4-5:
不等式选讲
已知a,b,c为正数,且满足a+b+c=1.
证明:
(1)
1+1+1≥9;
abc
(2)ac+bc+ab-abc≤8.
27
绝密★启用前试卷类型:
(A)
2020年深圳市普通高中高三年级线上统一测试
文科数学参考答案与评分标准
一、选择题
1.B
2.A
3.D
4.B
5.D
6.C
7.B
二、填空题:
8.B
9.C
10.B
11.B
12.B
13.-714.4π
93
15.4π16.
⎡4
5
,1⎫.
⎪
⎭
12.【解析】设F(x)=x⋅f(x),则F'(x)=xf'(x)+f(x)=(1-x)ex,
因此,x∈(0,1),F'(x)>0,F(x)递增;x∈(1,+∞),F'(x)<0,F(x)递减.因为当x→0时,F(0)→0,且有F
(2)=0.
所以由F(x)=x⋅f(x)图象可知,当x∈(0,2)时,F(x)=xf(x)>0,此时f(x)>0.
16.解析:
为使PA+AF1≤3F1F2
恒成立,只需3F1F2
≥(PA+AF1)max,
由椭圆的定义可得,AF1+AF2
=2a,
所以PA+AF1=PA-AF2+2a≤PF2+2a,当且仅当P,F2,A三点共线时取等号(F2
在线段PA上),
又点P的轨迹是以O为圆心,半径为2a的圆,所以圆上点P到圆内点F2的最大距离为
半径与OF2的和,即PF2≤2a+c,
所以PA+AF1≤PF2+2a≤2a+c+2a=4a+c,
所以6c≥4a+c,5c≥4a,e=c≥4,
a5
⎡4⎫
又e<1,所以C的离心率的取值范围为⎢5,1⎪.
⎣⎭
三、解答题:
共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.
(一)必考题:
共60分.
17.(本小题满分12分)
n1n+1n
已知数列{a},a=4,(n+1)a-na=4(n+1)(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式;
1
(2)若bn=
a⋅a
,求数列{bn}前n项和为Tn.
nn+1
n+1n
解:
(1)由(n+1)a-na=4(n+1)(n∈N*)可得,
2a2-a1=8,………………………………1分
3a3-2a2=12,
4a4-3a3=16,
……,
nan-(n-1)an-1=4n,(n≥2)
…………………………2分
累加得nan-a1=8+12+…+4n,……………………3分
(4+4n)n
所以nan
=4+8+12+…+4n=
2
,…………………4分
1n
得an=2n+2(n≥2),……………………5分由于a=4,所以a=2n+2(n∈N*).……………………6分
11
(2)bn==
=1(1
-1)
,……………………9分
an⋅an+1
(2n+2)(2n+4)22n+22n+4
+(1
2n+2
T=1[(1-1)+(1-1)+-1)]=1(1-1)
n24668
2n+4242n+4
=n
8n+16
.………………………………………12分
【命题意图】本题主要考查已知递推公式用累加法求通项,注重思维的完整性和严密性,另外考查裂项相消法求数列的前n项和.重点考查等价转换思想,体现了数学运算、逻辑推理等核心素养.
18.(本小题满分12分)
某公司为了对某种商品进行合理定价,需了解该商品的月销售量y(单位:
万件)与月销售单价x(单位:
元/件)之间的关系,对近6个月的月销售量yi和月销售单价xi
6)
(i=1,2,3,
数据进行了统计分析,得到一组检测数据如表所示:
月销售单价x(元/件)
4
5
6
7
8
9
月销售量y(万件)
89
83
82
79
74
67
(1)若用线性回归模型拟合y与x之间的关系,现有甲、乙、丙三位实习员工求得回归直线方程分别为:
yˆ=-4x+105,yˆ=4x+53和yˆ=-3x+104,其中有且仅有一位实习
员工的计算结果是正确的.请结合统计学的相关知识,判断哪位实习员工的计算结果是正确的,并说明理由;
(2)若用y=ax2+bx+c模型拟合y与x之间的关系,可得回归方程为
yˆ=-0.375x2+0.875x+90.25,经计算该模型和
(1)中正确的线性回归模型的相关指数R2
分别为0.9702和
0.9524,请用R2
说明哪个回归模型的拟合效果更好;
6547
(3)已知该商品的月销售额为z(单位:
万元),利用
(2)中的结果回答问题:
当月销售单价为何值时,商品的月销售额预报值最大?
(精确到0.01)
参考数据:
≈80.91.
解:
(1)已知变量x,y具有线性负相关关系,故乙不对,
因为x=4+5+6+7+8+9=6.5,y=89+83+82+79+74+67=79
66
代入甲和丙的回归方程验证甲正确.……………………4分
(2)因为0.9702>0.9524且R2越大,残差平方和越小,模拟的拟合效果越好,所以选用yˆ=-0.375x2+0.875x+90.25更好.(言之有理即可得分)……………7分
(3)由题意可知,z=xyˆ=-0.375x3+0.875x2+90.25x,……………………8分
即z=-3x3+7x2+361x,则z'=-9x2+7x+361,……………………9分
884844
令z'=0,则x=-
6547+7(舍去)或x=
9
6547+7,……………………10分
9
令x=
,当x∈(0,x)时,z单调递增,当x∈(x
+∞)时z单调递减,
6547+7
0900
所以当x=x0时,商品的月销售额预报值最大,……………………11分
6547
因为≈80.91,所以x≈9.77,
所以当x≈9.77时,商品的月销售额预报值最大.……………………12分
19.(本小题满分12分)
如图,四边形ABCD为长方形,AB=2BC=4,E、F分别为AB、CD的中点,将∆ADF
沿AF折到∆AD'F的位置,将∆BCE沿CE折到∆B'CE的位置,使得平面AD'F⊥底面
AECF,平面B'CE⊥底面AECF,连接B'D',
(1)求证:
B'D'//平面AECF;
(2)求三棱锥B'-AD'F的体积.
解:
(1)证明:
作D'M⊥AF于点M,作B'N⊥EC于点N,………………1分
AD'=D'F=2,B'C=B'E=2,∠AD'F=∠CB'E=90︒,
2
∴M,N为AF,CE中点,且D'M=B'N=.……………………2分
平面AD'F⊥底面AECF,平面AD'F
D'M⊥AF,D'M⊂平面AD'F
底面AECF=AF,
∴D'M⊥底面AECF,……………………3分同理:
B'N⊥底面AECF,……………4分
∴D'M//B'N,
∴四边形D'B'NM为平行四边形,
∴B'D'//MN…………………5分
B'D'⊄平面AECF,MN⊂平面AECF,
∴B'D'//平面AECF.…………………6分
(2)设点B'到平面AD'F的距离为h,连接NF.………………………………7分
D'M//B'N,D'M⊂平面AD'F,B'N⊄平面AD'F
∴B'N//平面AD'F,………………………………8分
故点B'到平面AD'F的距离与点N到平面AD'F的距离相等.………………………8分
上统一测试数学(文科)参考答案第4页(共11页)
N为CE中点,EF=CE=2,
∴NF⊥CE,
深圳市2020年普通高中高三年级线
AF//CE,
∴NF⊥AF,…………………9分
平面AD'F⊥底面AECF,
平面AD'F底面AECF=AF,NF⊂底面AECF,
∴NF⊥平面AD'F,………………………10分
2
∴点N到平面AD'F的距离为NF=,
2
∴点B'到平面AD'F的距离h=.……………………………11分
S∆AD'F
=1⨯2⨯2=2,
2
∴三棱锥B'-AD'F的体积VB'-AD'F
=1S
3
∆AD'F
⨯h=1⨯2⨯=22.………………12分
2
33
20.(本小题满分12分)
在平面直角坐标系xOy中,过点F(2,0)的动圆恒与y轴相切,FP为该圆的直径,设点P
的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程;
(2)过点A(2,4)的任意直线l与曲线C交于点M,B为AM的中点,过点B作x轴的平行线交曲线C于点D,B关于点D的对称点为N,除M以外,直线MN与C是否有其它公共点?
说明理由.
【解析】
(1)如图,过P作y轴的垂线,交y轴于点H,交直线x=-2于点P1,
--------------------1分
设动圆圆心为E,半径为r,则E到y轴的距离为r,在梯形OFPH中,由中位线性质得,PH=2r-2,----------------------2分
所以PP1=2r-2+2=2r,又PF=2r,所以PF=PP1,--------------------3分
由抛物线的定义知,点P是以F(2,0)为焦点,直线x=-2为
准线的抛物线,所以曲线C的方程为y2=8x.4
分
(2)由A(2,4)得,A在曲线C上,
2
(i)当l的斜率存在时,设M(x1,y1)(x1≠2),则y1=8x1,
AM的中点B(x1+2,y1+4),即B(x1+1,y1+2),------------------5分
2222
在方程y2=8x中令y=y1+2得x=1(y1+2)2,
282
所以D(1(y1+2)2,y1+2).----------------------------6分
822
1y1
2x1+2
设N(x2,y2),由中点坐标公式x2=(
42
+2)-,
2
2
又y1
=8x1,代入化简得x2=
y1,
2
所以N(y1,y1+2),--------------------------------7分
22
y-(y1+2)
12
y1-2
=
24
直线
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