中国石油大学近三年高数期末试题及答案解析.docx

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中国石油大学近三年高数期末试题及答案解析

2013—2014学年第一学期《高等数学（2-1）》期末考试A卷

（工科类）参考答案及评分标准

一.（共5小题，每小题3分，共计15分）判断下列命题是否正确？

在题后的括号内打

V'或“”，如果正确，请给出证明，如果不正确请举一个反例进行说明

1•若f（x）在（a,）无界，则Jimf（x）.（）（1分）

例如：

f（x）xsinx，在（1,）无界，但limxsinx.（2分）

x

2.若f（x）在x0点连续，则f（x）在x0点必可导•（）（1分）

例如：

f（x）X,在x0点连续，但f（x）x在x0不可导•（2分）

3•若limxnyn0,则limxn0或limyn0.（）（1分）

nnn

例如：

Xn：

1,0,1,0,yn：

0,1,0,1,

有limXnyn0，但limx.,limy.都不存在.（2

nnn

分）

4.若f（x0）0，则f（x）在x0点必取得极值•（）（1分）

33

例如：

f（x）x,f（0）0，但f（x）x在x0点没有极值•（2分）

5.若f（x）在［a,b］有界，则f（x）在［a,b］必可积•（）（1分）

例如：

D（x），在［0,1］有界，但D（x）在［0,1］不可积•（2分）

0,当x为无理数•

二.（共3小题，每小题7分，共计21分）

1.指出函数f（x）xcotx的间断点，并判断其类型•

解函数f（x）xcotx的间断点为：

1,当x为有理数，

xk,k0,1,2,

xcosx

k0,即x0时，兀心）加曲x叫雋X

0为函数f（x）xcotx的第一类可去间断点;

1,

2,

时,iimf（x）

xk

iimxcotxk

xcosxiimxksinx

（k

1,

2,

）为函数

f（x）

cotx

的第二类无穷间断点

2•求极限

iim

x

x

o（1

xdt

解iim

x

x

0（1

t2）

xdt

iim

x

x

0（1

t2）

~2x

xe

etdt

（3分）

iim

x

（1

（2x

xe

x）e

x2）

iim

x

（1分）

2xx

3•设方程xy

yx

（x0,y0）确定二阶可导函数y

y（x）

求竺

dx

解1对x.y

仮两边取对数，得

丄iny

x

丄inx,y

yin

xlnx

等式两边关于x求导,

得：

（1iny）dy

dx

in

in

d2yddydx2dxdx

1

-（1iny）（1

x

inx）

dy

dx

（1iny）2

y（1Iny）2x（1Inx）2

xy（1Iny）3.

-（1分）

三.（共3小题，每小题7分，共计21分）

1.求不定积分

sinxcos3x

1sin2x

dx

sinxcos3x

解1sin2x

dx

sinx（1sin2x）

1sin2x

d（sinx）

（令sinx

t（1学dt=

t2

2•设

In

ln（1

t2）

是函数

（ln2x）

f（x）dx

1.2sinx

2

ln（1

sin2x）C.

（2分）

（2分）

（3分）

f（x）的一个原函数,

f（x）dx.

2Inx

f（x），

In2

（2分）

xf（x）dxxdf（x）

xf（x）f（x）dx

2

2InxInxC.

3.求定积分（x3sinx4cos72x）dx.

7

04cos72xdx

4

----（2分）

24cos72xdx

0

----（2分）

（令2xt）

（1分）

2cos7tdt

0

6!

!

7!

!

.

（1分）

四•（共2小题，每小题6分，共计12分）

1.已知一个长方形的长I以2cm/s的速度增加，宽w以3cm/s的速度增加，则当长为

12cm，宽为5cm时，它的对角线的增加率是多少？

解：

设长方形的对角线为y，则y2I2W2（2

dl

小dw

2w-,

dt

dt

dw

dt

—

（1）

（2

分）

两边关于t求导，得2y—y2l

dt

dy.dl即yIw

dtdt

分）

dld^v:

22-

已知2,3,112,w5,y1225213,代入

（1）式，得

dtdt

对角线的增加率：

史3（cm/s）.

dt

（2分）

2

2•物体按规律Xct做直线运动，该物体所受阻力与速度平方成正比，比例系数为1，

计算该物体由X0移至Xa时克服阻力所做的功.

v（t）dx2ct

dt

f（x）

k4c2t24c2t2

4cx,

a2

4cxdx=2ca

o

五.（本题

10分）已知f（x）

5arctanx，试讨论函数的单调区间，极值，凹凸性,

拐点，

渐近线

解函数的定义域为（

）.f（x）1笃x

1x

4，令f（x）0得驻点

1x

x2.

——（1分）

f（x）豎三，令f（X）0,得可能拐点的横坐标：

x0.（1分）

（1x）

列表讨论函数的单调区间，极值，凹凸性，拐点：

x

（,2）

2

（2,0）

0

（0,2）

2

（2,）

f（x）

0

0

f（x）

0

yf（x）

极大值

25arctan2

极小值

25arctan2

拐点

（0,0）

f（x）

5arctanx

a1

lim

lim

（1

）1,

x

x

x

x

b1

lim

[f（X）

^x]

lim（

5

5arctanx）

x

x

<

2

f（x）

5arctanx

a2

lim

lim

（1

）1,

x

x

x

x

b2

lim

[f（x）

a?

x]

lim（

5arctanx）-

x

x

2

渐近线为：

yx—.（2

2

分）

六•（共2小题，每小题

7分，共计14分）

1•试求曲线y

x

.xe2（x

0）

与x轴所夹的平面图形绕

x轴旋转所得到的伸展到

无穷远处的旋转体的体积

解:

V°y2dx

°xexdx

-（4分）

（3分）

（x

1）e

lim

x

2.求微分方程y

lim（x

x

1）e

5y4y32x的通解•

对应齐次方程的通解为:

C1e

C?

e

而0不是特征根，可设非齐次方程的特解为

AxB

代入原方程可得，A

故所要求的通解为y

Ge4xC2e

x11

28

11

8

七.（本题7分）叙述罗尔（Rolle）中值定理，并用此定理证明:

在（0,）内至少有一个实根，其中a「a2,an为常数•

，则

得

罗尔（Rolle）中值定理：

设f（x）在［a,b］上连续，在（a,b）内可导，f（a）f（b）

（a,b），使

f（）0.（3分）

a2sin2xansinnx

令f（x）a-isinx，

2n

-----（2

分）

在［0,］上连续，在（0,）内可导，且f（x）a1cosxa2cos2x

ancosnx

f（0）f（）0,由罗尔中值定理，（0,）,

使得f（）a1cosa2cos2ancosn0,

即方程aicosxa2cos2xancosnx0在（0,）内至少有一个实根•一（2

各章所占分值如下:

第

一早

函数与极限

13%

第

——-

一早

一元函数的导数与微分

16%

第

二早

微分中值定理与导数的应用

20%

第

四章

不定积分

14%

第五章定积分及其应用

第六章

常微分方程

2014—2015学年第一学期

《高等数学（2-1）》期末考试A卷

（工科类）

参考答案及评分标准

各章所占分值如下:

第一章函数与极限

第二章一元函数的导数与微分

第三章微分中值定理与导数的应用

第四章不定积分

第五章定积分及其应用

16%；

16%；

14%；

15%；

26%.

13%.

第六章常微分方程

.（共3小题，每小题4分，共计12分）判断下列命题是否正确'题后的括号内打“V”或“”，如果正确，请给出证明，如果不正确请举一个反例进行说明•

1

1.极限limsin不存在•（

X0

（2分）

证设f（X）

1

sin，取xn

x

题

得

分

1,2,）

limxn0,

n

limyn

n

0,

但lim

f（Xn）

lim

sin

1

limsin2n

0,

n

n

Xn

n

lim

f（yn）

lim

sin

1

limsin（2n

-）1,

n

n

yn

n

2

海涅

疋

理，

1

limsin—

不

x0X

（2分）

2n

2

由

2.若曲线y

f（X）在（Xo,f（Xo））点处存在切线，

则f（X）在Xo点必可导.

（2分）

例：

yx在（0,0）点处有切线X0，但y3x在X0处不可导

（2分）

（2分）

例：

f（x）x4在［2,3］上连续且下凸，但f（0）0.

（2分）

（共3小题，每小题6分，共计18分）

1.求极限lim（

n

1）sin（n!

）

解

sin（n!

）1,

分）

1

nim（nn1）

本题满分18分

本题得分

0,

（3

1

lim（n1）sin（n!

）0.

n

（3分）

2•求极限lim

x

x

0（1t）exdt

x4txx4t

n（1t4）etxdt（1t4）etdt

解lim4lim—厂—（3

xxxxe

分）

lim

x

（1

x4）ex

（4x3

x4）ex

lim

x

4x3

-（3分）

n

~2~

n

n

212

1

n、

~22）.

nn

n）

nn

n-2~n

n

n212

3•求极限lim（

n

解lim