高考数学大一轮复习 74基本不等式及其应用学案 理 苏教版.docx
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高考数学大一轮复习74基本不等式及其应用学案理苏教版
2019-2020年高考数学大一轮复习7.4基本不等式及其应用学案理苏教版
导学目标:
1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.
自主梳理
1.基本不等式
≤
(1)基本不等式成立的条件:
__________.
(2)等号成立的条件:
当且仅当______时取等号.
2.几个重要的不等式
(1)a2+b2≥______(a,b∈R).
(2)
+
≥____(a,b同号).
(3)ab≤
2(a,b∈R).
(4)
2____
.
3.算术平均数与几何平均数
设a>0,b>0,则a,b的算术平均数为__________,几何平均数为________,基本不等式可叙述为:
____________________________________.
4.利用基本不等式求最值问题
已知x>0,y>0,则
(1)如果积xy是定值p,那么当且仅当______时,x+y有最____值是______(简记:
积定和最小).
(2)如果和x+y是定值p,那么当且仅当______时,xy有最____值是________(简记:
和定积最大).
自我检测
1.“a>b>0”是“ab<
”的______________条件.
2.已知函数f(x)=
x,a、b∈(0,+∞),A=f
,B=f(
),C=f
,则A、B、C的大小关系是______________.
3.下列函数中,最小值为4的函数是________(填上正确的序号).
①y=x+
;
②y=sinx+
(0 ③y=ex+4e-x; ④y=log3x+logx81. 4.设函数f(x)=2x+ -1(x<0),则f(x)最大值为______________. 5.(xx·山东)若对任意x>0, ≤a恒成立,则a的取值范围为________. 探究点一 利用基本不等式求最值 例1 (1)已知x>0,y>0,且 + =1,求x+y的最小值; (2)已知x< ,求函数y=4x-2+ 的最大值; (3)若x,y∈(0,+∞)且2x+8y-xy=0,求x+y的最小值. 变式迁移1 (xx·重庆改编)已知a>0,b>0,a+b=2,则y= + 的最小值是________. 探究点二 基本不等式在证明不等式中的应用 例2 已知a>0,b>0,a+b=1,求证: (1+ )(1+ )≥9. 变式迁移2 已知x>0,y>0,z>0. 求证: ≥8. 探究点三 基本不等式的实际应用 例3 (xx·镇江模拟)某单位用2160万元购得一块空地,计划在该空地上建造一栋至少10层,每层2000平方米的楼房.经测算,如果将楼房建为x(x≥10)层,则每平方米的平均建筑费用为560+48x(单位: 元). (1)写出楼房平均综合费用y关于建造层数x的函数关系式; (2)该楼房应建造多少层时,可使楼房每平方米的平均综合费用最少? 最少值是多少? (注: 平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用= ) 变式迁移3 某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额,拟在xx年英国伦敦奥运会期间进行一系列促销活动,经过市场调查和测算,化妆品的年销量x万件与年促销费t万元之间满足3-x与t+1成反比例,如果不搞促销活动,化妆品的年销量只能是1万件,已知xx年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元,每生产1万件化妆品需再投入32万元的生产费用,若将每件化妆品的售价定为其生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和,则当年生产的化妆品正好能销完. (1)将xx年的利润y(万元)表示为促销费t(万元)的函数. (2)该企业xx年的促销费投入多少万元时,企业的年利润最大? (注: 利润=销售收入-生产成本-促销费,生产成本=固定费用+生产费用) 1.a2+b2≥2ab对a、b∈R都成立; ≥ 成立的条件是a≥0,b≥0; + ≥2成立的条件是ab>0,即a,b同号. 2.利用基本不等式求最值必须满足一正、二定、三相等三个条件,并且和为定值时,积有最大值,积为定值时,和有最小值. 3.使用基本不等式求最值时,若等号不成立,应改用单调性法.一般地函数y=ax+ ,当a>0,b<0时,函数在(-∞,0),(0,+∞)上是增函数;当a<0,b>0时,函数在(-∞,0),(0,+∞)上是减函数;当a>0,b>0时函数在 , 上是减函数,在 , 上是增函数;当a<0,b<0时,可作如下变形: y=- 来解决最值问题. (满分: 90分) 一、填空题(每小题6分,共48分) 1.设a>0,b>0,若 是3a与3b的等比中项,则 + 的最小值为________. 2.已知不等式(x+y) ≥9对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为________. 3.已知a>0,b>0,则 + +2 的最小值是______. 4.(xx·南京模拟)一批货物随17列货车从A市以akm/h的速度匀速直达B市,已知两地铁路线长400km,为了安全,两列车之间的距离不得小于 2km,那么这批货物全部运到B市,最快需要________h. 5.设x,y满足约束条件 ,若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为12,则 + 的最小值为________. 6.(xx·浙江)若正实数x,y满足2x+y+6=xy,则xy的最小值是________. 7.(xx·江苏,8)在平面直角坐标系xOy中,过坐标原点的一条直线与函数f(x)= 的图象交于P,Q两点,则线段PQ长的最小值是________. 8.已知f(x)=32x-(k+1)3x+2,当x∈R时,f(x)恒为正值,则k的取值范围为______________. 二、解答题(共42分) 9.(14分) (1)已知0 ,求x(4-3x)的最大值; (2)点(x,y)在直线x+2y=3上移动,求2x+4y的最小值. 10.(14分)经观测,某公路段在某时段内的车流量y(千辆/小时)与汽车的平均速度v(千米/小时)之间有函数关系y= (v>0). (1)在该时段内,当汽车的平均速度v为多少时车流量y最大? 最大车流量为多少? (2)为保证在该时段内车流量至少为10千辆/小时,则汽车的平均速度应控制在什么范围内? 11.(14分)某加工厂需定期购买原材料,已知每千克原材料的价格为1.5元,每次购买原材料需支付运费600元,每千克原材料每天的保管费用为0.03元,该厂每天需要消耗原材料400千克,每次购买的原材料当天即开始使用(即有400千克不需要保管). (1)设该厂每x天购买一次原材料,试写出每次购买的原材料在x天内总的保管费用y1关于x的函数关系式; (2)求该厂多少天购买一次原材料才能使平均每天支付的总费用y最小,并求出这个最小值. 学案34 基本不等式及其应用 答案 自主梳理 1. (1)a≥0,b≥0 (2)a=b 2. (1)2ab (2)2 (4)≤ 3. 两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数 4. (1)x=y 小 2 (2)x=y 大 自我检测 1.充分不必要 2.A≤B≤C 3.③ 4.-2 -1 5.[ ,+∞) 课堂活动区 例1 解题导引 基本不等式的功能在于“和与积”的相互转化,使用基本不等式求最值时,给定的形式不一定能直接适合基本不等式,往往需要拆添项或配凑因式(一般是凑和或积为定值的形式),构造出基本不等式的形式再进行求解.基本不等式成立的条件是“一正、二定、三相等”,“三相等”就是必须验证等号成立的条件. 解 (1)∵x>0,y>0, + =1, ∴x+y=(x+y) = + +10≥6+10=16. 当且仅当 = 时,上式等号成立,又 + =1, ∴x=4,y=12时,(x+y)min=16. (2)∵x< ,∴5-4x>0. y=4x-2+ =- +3 ≤-2 +3=1, 当且仅当5-4x= , 即x=1时,上式等号成立,故当x=1时,ymax=1. (3)由2x+8y-xy=0,得2x+8y=xy,∴ + =1. ∴x+y=(x+y) =10+ + =10+2 ≥10+2×2× =18, 当且仅当 = ,即x=2y时取等号. 又2x+8y-xy=0,∴x=12,y=6. ∴当x=12,y=6时,x+y取最小值18. 变式迁移1 解析 ∵a+b=2,∴ =1. ∴ + =( + )( )= +( + )≥ +2 = (当且仅当 = ,即b=2a时,“=”成立),故y= + 的最小值为 . 例2 解题导引 “1”的巧妙代换在不等式证明中经常用到,也会给解决问题提供简捷的方法. 在不等式证明时,列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤,而且也是检验转化是否有误的一种方法. 证明 方法一 因为a>0,b>0,a+b=1, 所以1+ =1+ =2+ .同理1+ =2+ . 所以(1+ )(1+ )=(2+ )(2+ ) =5+2( + )≥5+4=9. 所以(1+ )(1+ )≥9(当且仅当a=b= 时等号成立). 方法二 (1+ )(1+ )=1+ + + =1+ + =1+ ,因为a,b为正数,a+b=1, 所以ab≤( )2= ,于是 ≥4, ≥8, 因此(1+ )(1+ )≥1+8=9(当且仅当a=b= 时等号成立). 变式迁移2 证明 ∵x>0,y>0,z>0, ∴ + ≥ >0, + ≥ >0, + ≥ >0. ∴ ≥ =8. 当且仅当x=y=z时等号成立. 所以( + )( + )( + )≥8. 例3 解题导引 1.用基本不等式解应用题的思维程序为: → → → → 2.在应用基本不等式解决实际问题时,要注意以下四点: (1)先理解题意,设变量,一般把要求最值的变量定为函数; (2)建立相应的函数关系式,把实际问题抽象为函数最值问题;(3)在定义域内求函数最值;(4)正确写出答案. 解 (1)依题意得 y=(560+48x)+ =560+48x+ (x≥10,x∈N*). (2)∵x>0,∴48x+ ≥2 =1440, 当且仅当48x= ,即x=15时取到“=”, 此时,平均综合费用的最小值为560+1440=2000(元). 答 当该楼房建造15层时,可使楼房每平方米的平均综合费用最少,最少值为2000元. 变式迁移3 解 (1)由题意可设3-x= , 将t=0,x=1代入,得k=2.∴x=3- . 当年生产x万件时, ∵年生产成本=年生产费用+固定费用, ∴年生产成本为32x+3=32 +3. 当销售x(万件)时,年销售收入为 ×150%+ t. 由题意,生产x万件化妆品正好销完,由年利润=年销售收入-年生产成本-促销费,得年利润y= (t≥0). (2)y= =50- ≤50-2 =50-2 =42(万元), 当且仅当 = ,即t=7时,ymax=42, ∴当促销费投入7万元时,企业的年利润最大. 课后练习区 1.4 2.4 解析 不等式(x+y) ≥9对任意正实数x,y恒成立,则1+a+ + ≥a+2 +1≥9, ∴ ≥2或 ≤-4(舍去).∴正实数a的最小值为4. 3.4 解析 因为 + +2 ≥2 +2 =2
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