新人教出版小学数学16年级重要资料全.docx
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新人教出版小学数学16年级重要资料全
小学数学知识整理
第一部分:
数与代数
一、数的认识
(一)整数
【1】我们在数物体的时候,用来表示物体个数的1,2,3,……叫做自然数。
一个物体也没有,用0表示,0也是自然数。
自然数的个数是无限的,最小的自然数是0,没有最大的自然数。
自然数的单位是1。
自然数和0都是整数。
连续自然数相差1。
【2】像…,-3,-2,-1,0,1,2,3…这样的数统称整数。
整数的个数是无限的。
【3】一(个)、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿……都是计数单位。
每相邻两个计数单位之间的进率都是10,这样的计数法叫做十进制计数法。
整数和小数都是按照十进制计数法写出的数。
计数单位按照一定的顺序排列起来,它们所占的位置叫做数位。
一个整数含有数位的个数叫做位数。
最小的一位数是1。
【4】整数的读法:
从高位到低位,一级一级地读。
读亿级、万级时,先按照个级的读法去读,再在后面加一个“亿”或“万”字。
每一级末尾的0都不读出来,其它数位连续有几个0都只读一个零。
(例如)10250200050读作:
一百零二亿五千零二十万零五十。
【5】整数的写法:
从高位到低位,一级一级地写,哪一个数位上一个单位也没有,就在那个数位上写0。
(例如)七十亿零三百万四千写作:
7003004000。
【6】准确数:
在实际生活中,为了计数的简便,可以把一个较大的数改写成以万或亿为单位的数。
改写后的数是原数的准确数。
(例如)把1254300000改写成以“万”做单位的数是125430万;改写成以“亿”做单位的数12.543亿。
【7】近似数:
根据实际需要,我们还可以把一个较大的数,省略某一位后面的尾数,用一个近似数来表示。
(例如)1302490015省略“亿”后面的尾数约是13亿。
【8】四舍五入法:
要省略的尾数的最高位上的数是4或者比4小,就把尾数去掉;如果尾数的最高位上的数是5或者比5大,就把尾数舍去,并向它的前一位进1。
(例如)省略345900“万”后面的尾数约是35万;省略4725097420“亿”后面的尾数约是47亿。
【9】整数a除以整数b(b≠0),除得的商正好是整数而没有余数,我们就说a能被b整除,或b能整除a。
(例如)6÷3=2(或2×3=6),那么我们就说6能被3整除(或6能被2整除),或3能整除6(或2能整除6)。
【10】如果数a能被数b(b≠0)整除,a就叫做b的倍数,b就叫做a的因数(或a的约数)。
倍数和约数是相互依存的。
(例如)6÷3=2(或2×3=6),那么6就是3和2的倍数,2和3就是6的因数(或a的约数)。
【11】一个数的因数的个数是有限的,其中最小的因数是1,最大的因数是它本身;一个数的倍数的个数是无限的,其中最小的倍数是它本身。
一个数最小的倍数等于它最大的约数。
(例如)9的最小的因数是1,最大的因数是9,最小的倍数是9。
【12】个位上是0、2、4、6、8的数,都能被2整除。
(例如)2758的个位是8,所以2758能被2整除。
个位上是0或者5的数,都能被5整除。
(例如)975的个位是5,所以975能被5整除。
一个数的各位上的数的和能被3整除,这个数就能被3整除。
(例如)2748的各位和2+7+4+8=21,因为21能被3整除,所以2748就能被3整除。
【13】一个数各位数上的和能被9整除,这个数就能被9整除。
(例如)2745的各位和2+7+4+5=18,因为18能被9整除,所以2745就能被9整除。
能被3整除的数不一定能被9整除,但是能被9整除的数一定能被3整除。
一个数的末两位数能被4(或25)整除,这个数就能被4(或25)整除。
(例如)10316的末两位是16,因为16能被4整除,所以10316就能被4整除;1350的末两位是50,因为50能被25整除,所以1350就能被25整除。
一个数的末三位数能被8(或125)整除,这个数就能被8(或125)整除。
(例如)10816的末三位是816,因为816能被8整除,所以10816就能被8整除;7250的末三位是250,因为250能被125整除,所以7250就能被125整除。
【14】能被2整除的数叫做偶数。
0也是偶数。
最小的偶数是0。
连续偶数相差2。
不能被2整除的数叫做奇数。
最小的奇数是1。
连续奇数相差2 。
【15】一个数,如果只有1和它本身两个因数,叫做质数(或素数)。
(例如)因为37只有1和37这两个因数,所以37是质数。
最小的质数是2。
100以内的质数有:
2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。
既是质数又是偶数的数只有2。
一个数,如果除了1和它本身,还有别的因数,叫做合数。
(例如)因为91除了有因数1和91外,还有因数7、13,所以91是合数。
最小的合数是4。
1既不是质数也不是合数。
【16】每个合数都可以写成几个质数相乘的形式,其中每个质数都是这个合数的因数,叫做这个合数的质因数。
把一个合数用质因数相乘的形式表示出来,叫做分解质因数。
(例如)把48分解质因数:
48=2×2×2×2×3。
把一个合数分解质因数,通常用短除法。
先用能整除这个合数的质数去除,一直除到商是质数为止,再把除数和商写成连乘的形式。
【17】几个数公有的因数,叫做这几个数的公因数。
其中最大的一个,叫做这几个数的最大公因数。
几个数公有的倍数,叫做这几个数的公倍数,其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。
几个数的公因数的个数是有限的,而几个数的公倍数的个数是无限的。
【18】公因数只有1的两个数是互质数。
一定是互质数的情况有:
①1和任何自然数;②相邻的两个自然数;③两个不同的质数。
如果几个数中任意两个都互质,就说这几个数两两互质。
【19】自然数按能否被2整除的特征可分为奇数和偶数;自然数按约数的个数分为质数、合数和1。
【20】如果两个数是互质数,它们的最大公因数就是1,最小公倍数是它们的乘积;(例如)3和5因为是互质数,所以3和5的最大公因数是1,最小公倍数是3×5=15。
如果较大数是较小数的倍数,那么较大数就是这两个数的最小公倍数,较小数就是这两个数的最大公因数。
(例如)24和6因为24是6的倍数,所以24和6的最大公因数是6,最小公倍数是24。
【21】求几个数的最大公因数的方法是:
先用这几个数的公因数连续去除,一直除到所得的商只有公因数1为止,然后把所有的除数连乘求积,这个积就是这几个数的的最大公因数。
【22】求几个数的最小公倍数的方法是:
先用这几个数(或其中的部分数)的公因数去除,一直除到互质(或两两互质)为止,然后把所有的除数和商连乘求积,这个积就是这几个数的最小公倍数。
(二)小数
【1】把整数“1”平均分成10份、100份、1000份……得到的十分之几、百分之几、千分之几……可以用小数表示。
一位小数表示十分之几,两位小数表示百分之几,三位小数表示千分之几……
【2】一个小数由整数部分、小数部分和小数点部分组成。
数中的圆点叫做小数点,小数点左边的数是整数部分,从右向左依次分别是个位、十位、百位、千位……;小数点右边的数是小数部分,从左向右依次分别是十分位、百分位、千分位……
【3】小数的读法:
读小数的时候,整数部分按照整数的读法读,小数点读作“点”,小数部分从左向右顺次读出每一位数位上的数字。
【4】小数的写法:
写小数的时候,整数部分按照整数的写法来写,小数点写在个位右下角,小数部分顺次写出每一个数位上的数字。
【5】在小数里,每相邻两个计数单位之间的进率都是10。
小数部分的最高位是十分位;整数部分的最低位是个位。
【6】数位顺序表:
整数部分
小
数
点
小数部分
…
亿级
万级
个级
数位
…
千亿位
百亿位
十亿位
亿
位
千万位
百万位
十万位
万
位
千
位
百
位
十
位
个
位
十分位
百分位
千分位
万分位
…
计数单位
…
千亿
百亿
十亿
亿
千万
百万
十万
万
千
百
十
一(个)
十分之一
百分之一
千分之一
万分之一
…
【7】小数的分类(有限小数和无限小数)
(1)小数的小数部分的位数是有限的,就叫做有限小数(纯小数和带小数)。
①、整数部分是零的小数,叫做纯小数。
②、整数部分不是零的小数,叫做带小数。
(2)小数部分的数位是无限的小数,叫做无限小数(无限循环小数和无限不循环小数)。
①、一个小数的小数部分,有一个数字或者几个数字依次不断重复出现,这个数叫做(无限)循环小数(纯循环小数和混循环小数)。
Ⅰ:
循环节从小数部分第一位开始的,叫做纯循环小数。
Ⅱ:
循环节不是从小数部分第一位开始的,叫做混循环小数。
②、一个数的小数部分,数字排列无规律且位数无限,这样的小数叫做无限不循环小数。
【8】一个循环小数的小数部分,依次不断重复出现的数字叫做这个循环小数的循环节。
写循环小数的时候,为了简便,小数的循环部分只需写出一个循环节,并在这个循环节的首位和末位数字上各点一个圆点。
如果循环节只有一个数字,就只在它的上面点一个点。
【9】小数的性质:
小数的末尾添上0或者去掉0,小数的大小不变。
10、小数点的移动引起小数的大小变化:
小数点向右移动一位、二位、三位……原来的数分别扩大10倍、100倍、1000倍……;小数点向左移动一位、二位、三位……原来的数分别缩小10倍、100倍、1000倍……
(三)分数
【1】把单位“1”平均分成若干份,表示这样的一份或者几份的数叫做分数,表示其中的一份的数,叫做分数单位。
【2】在分数里,中间的横线叫做分数线;分数线下面的数,叫做分母,表示把单位“1”平均分成多少份;分数线下面的数叫做分子,表示有这样的多少份。
【3】分数的读法:
读分数时,先读分母,再读“分之”,然后读分子,分子和分母按照整数的读法来读。
【4】分数的写法:
先写分数线,再写分母,最后写分子。
【5】两个整数相除,它们的商可以用分数表示。
即:
a÷b=
(b≠0)
【6】分数的分类(真分数和假分数)
(1)分子比分母小的分数叫做真分数。
真分数小于1。
(2)分子比分母大或者分子和分母相等的分数,叫做假分数。
假分数大于或等于1。
①、分子是分母倍数的假分数,可以化成整数。
②、分子不是分母倍数的假分数,可以化成带分数(假分数可以写成整数与真分数合成的数,通常叫做带分数)。
【7】把一个分数化成同它相等但是分子、分母都比较小的分数,叫做约分。
约分的方法:
用分子和分母的公约数(1除外)去除分子、分母;通常要除到得出最简分数为止。
【8】把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数,叫做通分。
通分的方法:
先求出原来的几个分数分母的最小公倍数,然后把各分数化成用这个最小公倍数作分母的分数。
【9】分子和分母是互质数的分数,叫做最简分数。
【10】表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数(也叫做百分率或百分比)。
百分数通常用"%"来表示。
【11】百分数的读法:
读百分数时,先读百分之,再读百分号前面的数,读数时按照整数的读法来读。
【12】百分数的写法:
百分数通常不写成分数形式,而在原来的分子后面加上百分号“%”来表示。
【13】分数的基本性质:
分数的分子和分母同时乘或除以相同的数(零除外),分数大小不变。
【14】商店降价出售商品,叫做打折扣出售,统称“打折”。
几折表示十分之几或者百分之几十。
打几折表示按原价的百分之几十出售。
如:
八五折就是原价的85%。
【15】农业收入,经常用“成数”来表示,几成就表示十分之几或者百分之几十。
(四)正数和负数
【1】像-16,-
,-0.4,…这样的数叫做负数。
负数有负整数、负小数、负分数……
【2】像16,
,0.4,…这样的数叫做正数。
正数前面可以加上“+”号,也可以省去“+”号。
正数有正整数、正小数、正分数……
【3】0既不是正数,也不是负数。
(五)数的互化
【1】小数化成分数:
原来有几位小数,就在1的后面写几个零作分母,把原来的小数去掉小数点作分子,能约分的要约分。
【2】分数化成小数:
用分母去除分子。
能除尽的就化成有限小数,除不尽的,一般按“四舍五入”法,保留三位小数。
一个最简分数,如果分母中除了2和5以外,不含有其他的质因数,这个分数就能化成有限小数;如果分母中含有2和5以外的质因数,这个分数就不能化成有限小数。
【3】小数化成百分数:
只要把小数点向右移动两位,同时在后面添上百分号。
【4】百分数化成小数:
把百分数化成小数,只要把百分号去掉,同时把小数点向左移动两位。
【5】分数化成百分数:
通常先把分数化成小数(除不尽时,通常保留三位小数),再把小数化成百分数。
【6】百分数化成分数:
把百分数写成分数形式。
能约分的要约成最简分数。
(六)数的大小比较
【1】比较整数大小:
比较整数的大小,位数多的那个数就大,如果位数相同,就看最高位,最高位上的数大,那个数就大;最高位上的数相同,就看下一位,哪一位上的数大那个数就大。
【2】比较小数的大小:
先看它们的整数部分,整数部分大的那个数就大;整数部分相同的,十分位上的数大的那个数就大;十分位上的数也相同的,百分位上的数大的那个数就大……
【3】比较分数的大小:
分母相同的分数,分子大的分数比较大;分子相同的数,分母小的分数大。
分数的分母和分子都不相同的,先通分,再按同分母(或同分子)分数比较大小的方法比较大小。
【5】整数、小数、分数、百分数的混合比较:
一般先统一化成小数,再比较大小。
5、负数都比0小,而正数都比0大。
负数都比正数小。
二、数的运算
(一)四则运算的意义
【1】加法(一级运算):
把两个数合并成一个数的运算。
关系式:
加数+加数=和 一个加数=和-另一个加数
【2】减法(一级运算):
己知两个数的和与其中的一个加数,求另一个加数的运算。
关系式:
被减数-减数=差 减数=被减数-差 被减数=差+减数
【3】乘法(二级运算):
求几个相同加数的和的简便运算。
关系式:
因数×因数=积 一个因数=积÷另一个因数
【4】除法(二级运算):
已知两个数的积与其中一个因数,求另一个因数的运算。
关系式:
被除数÷除数=商除数=被除数÷商被除数=商×除数
【5】加法和减法互为逆运算;乘法和除法互为逆运算。
(二)运算定律
【1】加法交换律:
两数相加交换加数的位置,和不变。
字母表示:
a+b=b+a
【2】加法结合律:
三个数相加,先把前两个数相加,或先把后两个数相加,再同第三个数相加,和不变。
字母表示:
(a+b)+c=a+(b+c)
【3】乘法交换律:
两数相乘,交换因数的位置,积不变。
字母表示:
a×b=b×a
【4】乘法结合律:
三个数相乘,先把前两个数相乘,或先把后两个数相乘,再和第三个数相乘,它们的积不变。
字母表示:
(a×b)×c=a×(b×c)
【5】乘法分配律:
两个数的和同一个数相乘,可以把两个加数分别同这个数相乘,再把两个积相加,结果不变。
字母表示:
(a+b)×c=a×c+b×c
【6】减法的性质:
从一个数里连续减去几个数,等于从这个数里减去这几个减数的和。
字母表示:
a-b-c=a-(b+c)
【7】除法的性质:
(1)一个数连续除以几个数,等于这个数除以这几个除数的积。
用字母表示为:
a÷b÷c=a÷(b×c)
(2)被除数和除数同时乘以(或除以)相同的数(0除外),商不变。
用字母表示为:
a÷b=(a×c)÷(b×c)或a÷b=(a÷c)÷(b÷c)
【8】加法的性质:
一个加数加上(或减去)一个数,另一个加数减去(或加上)相同的数,和不变。
字母表示:
a+b=(a+c)+(b-c)
【9】乘法的性质:
一个因数乘以(或除以)不为0的数,另一个因数除以(或乘以)相同的数,积不变。
字母表示:
a×b=(a×c)×(b÷c)(c≠0)
【10】有趣的括号:
括号前面是减号(或除号),去掉括号,括号里面的数所带符号变为逆运算符号;括号前面是加号(或乘号),去掉括号,括号里面的数所带符号不变。
字母表示为:
a-(b-c)=a-b+c或a÷(b÷c)=a÷b×c
a+(b-c)=a+b-c或a×(b÷c)=a×b÷c
(三)计算法则
【1】整数加、减法:
把相同数位对齐,再把相同计数单位上的数相加或相减,哪一位满十就向前一位进一。
【2】小数加、减法:
把各数的小数点对齐(也就是把相同数位上的数对齐),再按照整数加、减法的法则进行计算,最后在得数里对齐横线上的小数点点上小数点。
(得数的小数部分末尾有0,一般要把0去掉。
)
【3】整数乘法:
从右起,依次用第二个因数每位上的数去乘第一个因数,乘到哪一位,得数的末尾就和第二个因数的哪一位对个因数的哪一位对齐;然后把几次乘得的数加起来。
(整数末尾有0的乘法:
可以先把0前面的数相乘,然后看各因数的末尾一共有几个0,就在乘得的数的末尾添写几个0。
)
【4】小数乘法:
按整数乘法的法则算出积;再看因数中一共有几位小数,就从得数的右边起数出几位,点上小数点。
(得数的小数部分末尾有0,一般要把0去掉)。
【5】整数除法:
从被除数的高位起,先看除数有几位,再用除数试除被除数的前几位,如果它比除数小,再试除多一位数;除到被除数的哪一位,就在那一位上面写上商;每次除后余下的数必须比除数小。
【6】小数除法:
(1)除数是整数的小数除法法则:
按照整数除法的法则去除,商的小数点要和被除数的小数点对齐;如果除到被除数的末尾仍有余数,就在余数后面补零,再继续除。
(2)除数是小数的小数除法法则:
先看除数中有几位小数,就把被除数的小数点向右移动几位,数位不够的用零补足;然后按照除数是整数的小数除法来除。
【7】分数加、减法:
同分母的分数相加、减,只把分子相加(或相减),分母不变。
异分母的分数相加、减,先通分,然后按同分母分数加、减方法计算。
计算结果能约分的要约分。
异分母分数不能直接相加减,是因为它们的分数单位不同。
【8】分数乘法:
(1)分数乘整数(表示求几个几分之几是多少?
):
分子与整数能约分的先约分,然后用分子与整数的乘积做分子,分母不变。
(2)一个数乘分数(表示求一个数的几分之几是多少?
):
①、整数乘分数:
整数与分子能约分的先约分,然后用分子与整数的乘积做分子,分母不变。
②、分数乘分数:
能约分的先约分,然后用分数分子相乘的积做分子,分母相乘的积做分母。
③、小数乘分数:
把小数化成分数(或者把分数化成小数,也可以让小数与分母同时除以不为0的数进行化简),然后再乘。
【9】分数除法:
甲数乘以乙数(乙数≠0)等于甲数乘以乙数的倒数。
【10】乘积是1的两个数互为倒数。
分数的倒数:
把原分数的分子、分母调换位置;整数的倒数:
用整数做分母,分子是1的分数;小数的倒数:
先把小数化成分数,然后按求分数倒数的方法找。
百分数的倒数:
先把百分数改写成分数形式,然后按求分数倒数的方法找。
(四)混合运算
【1】在四则运算中,加、减法叫做第一级运算,乘、除法叫做第二级运算。
【2】在一个没有括号的算式里,如果含有同一级运算,要从左往右依次计算(有时为了计算简便,可以改变运算顺序,但必须遵循“数字带着运算符号移”的原则,例如:
172+39-72=172-72+39=100+39=139);如果含有两级运算,要先做第二级运算,后做第一级运算。
【3】在一个有括号的算式里,要先算小括号里面的,再算中括号里面的,最后算括号外面的。
(五)特殊数字的计算
【1】“0”的计算:
0+A=A,A-0=A,0×A=0,0÷A=0
【2】“1”的计算:
1×A=A,A÷1=A
【3】同数(A≠0)的计算:
A×A=
,A÷A=1,A+A=2A,A-A=0
(六)计算中的大小变化
【1】加法(或乘法)中:
一个加数(或因数)不变,另一个加数(或因数)越大,和(或积)越大;另一个加数(或因数)越小,和(或积)越小。
【2】减法(或除法)中:
减数(或除数)不变,被减数(或被除数)越大,差(或商)越大;被减数(或被除数)越小,差(或商)越小。
被减数(或被除数)不变,减数(或除数)越大,差(或商)越小;减数(或除数)越小,差(或商)越大。
【3】乘法中:
一个因数>1,积>另一个因数;一个因数<1,积<另一个因数
【4】除法中:
除数>1,商<被除数;除数<1,商>被除数
三、式与方程
【1】含有未知数的等式叫做方程。
方程一定是等式,但等式不一定是方程。
【2】用字母表示数可以简明地表达数量关系,运算定律和计算公式。
(1)数与字母相乘,可以省略乘号,数字写在字母的前面,
(例如)a×3可以简写成:
a·3或3a;
(2)字母与字母相乘,可以省略乘号,也可以写成乘号的简写法,
(例如)不同字母相乘:
a×b可以简写成:
a·b或ab;
相同字母相乘:
a×a可以简写成:
a·a或a
(读作:
“a的平方”或“a的二次方”);
(3)注意:
数与数相乘不能省略乘号。
【3】使方程左右两边相等的未知数的值,叫做方程的解。
【4】求方程的解的过程,叫做解方程。
解方程不一定是解比例,但解比例是解方程。
【5】当n表示任何一个自然数时:
2n表示偶数;2n+1表示奇数。
【6】等式的性质:
等式两边同时乘以(或除以、或加上、或减去)一个相同的数(0除外),等式仍然成立。
【7】比较2a和a
(1)2a表示两个a相加(也就是2乘a),即表示:
a+a
(2)a
表示两个a相乘,即表示:
a×a
(3)比较大小
①、当a<2,2a>a
;如a=1时,2a=2×1=2,a
=1×1=1,2>1。
②、当a=2,2a=a
;如a=2时,2a=2×2=4,a
=2×2=4,4=4。
③当a>2,2a<a
;如a=3时,2a=2×3=6,a
=3×3=9,6<9。
【8】解方程及检验方程(举例)
(1)2x+4=16
(2)12-3x=9
2x+4-4=16-43x=12-9(依据“减数=被减数-差”)
2x=123x=3
2x÷2=12÷2x=3÷3
X=6x=1
(3)4x-x=9(4)18÷2x=3
(4-1)x=92x=18÷3(依据“除数=被除数÷商”)
3x=92x=6
X=9÷3x=6÷2
X=3x=3
检验:
把x=3代入原方程,检验:
把x=3代入原方程,
左边=4x-x=4×3-3=12-3=9,左边=18÷2x=18÷(2×3)=18÷6=3,
右边=9,右边=3
左边=右边,左边=右边,
所以x=3是方程4x-x=9的解。
所以x=3是方程18÷2x=3的解。
四、常见的量
(一)名数及改写
【1】把计量得到的数和单位名称合起来叫做名数。
【2】只带有一个单位名称的叫做单名数。
【3】带有两个或两个以上单位名称的叫做复名数。
【4】名数的改写方法:
高级单位的名数改写成低级单位的名数,乘进率;低级单位的名数改写成高级单位的名数,除以进率。
(例如)
(1)12千米=(12000)米。
想:
要把高级单位改写成低级单位,即:
12×1000=12000米。
(2)40分=(
)时。
想:
要把低级单位改写成高级单位,即:
40÷60=
时。
(3)50吨70千克=(50070)千克。
想:
先把50吨改写成50×1000=50000千克,再用70千+50000千克=50070千克,即:
50×1000+70=50070千克。
(4)50吨70千克=(50.07)吨。
想:
先把70千克改写成70÷1000=0.07吨,再用0.
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