第12节定积分的概念与性质.docx
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第12节定积分的概念与性质
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第一节
定积分的概念
一、问题的提出
实例:
求曲边梯形的面积
J=/(x)(/(x)>0)、
X轴与两条直线X=Q、
用矩形面积近似取代曲边梯形面积
显然,小矩形越多,矩形总面积越接近曲边梯形面积.
观察下列演示过程,注意当分割加细时,矩形面积和与曲边梯形面积的关系.
曲边梯形如图所示,在区间[",銅内插入若干个分点,4=6 把区间Is方1分成刃个小区间 长度为=X.-X 在每个小区间[x., 上任取一点 以1心」,叫J为底,/(&)为高的小矩形面积为 久=/©)△£常代变 曲边梯形面积的近似值为 近似和 当分割无限加细,即小区间的最大长度A=niax{Ax,,Ax,,--Ax^}趋近于零(乂f0)时, 1: 1 曲边梯形面积为 取极限 口诀: 大化小,常代变,近似和,取极限. 二、定积分的定义 定义设函数/(X)在[4,方]上有界,在[“#]中任意插入若干个分点a=x0<*1<兀2V…VXVX〃=A,把区间[a»]分成丹个小区间,各小区间的长度依次为g=一x—(/=1,2,…),在各小区间上任取一点 ZI GW[心一1,X#J),作和S=〉: /(£•)Ax*f・ f=1 记;I=max{△X],Ax2,・rAx”}, 如果不论对[a,b]怎样的分法,也不论在小区间1*一,心]上 » 点<•怎样的取法.若lim2f乜小XI存在, X—►0■ 我们称这个极限为函数/(兀)在区间1。 ,〃]上的定积分, 记为•、K ”男 J£(*)屯=1吧艺/(纟)iZ \a,b]t积分区间 说明: .b” £/(x)dx)Ar^ «•! fr■b 由定义知,数值L/(x)dx=J/(Z)dZ 即AiSt,/*Z(x)dx^一个决走于/•(x),«,A的数值. 2.可积的充分条件: 闭区间上的连续函数或有界且分段连续的函数可积(待证) J/(x)dx=Uni^/(^pAv, 3.由定义: (I)f/(x)dx=-{f(x)ax(有向性)nJ/(”)dx=o •JI*• (2)Jjdx=h-a(积分值=区间长). 例1利用定义计算定积分 解将[OJln等分,分点为匚=- n 取右端点©=—,(F=JL,2,…』)n iin S”=》/(©)"产工r-1 1V2=E «/-I II 思考题 将和式极限: 表示成定积分. dx=limS”= 思考题解答 I『真 =—Isinxdx• 71J° 13 三、定积分的性质 性质1(线性性质) J尸* )+h/\(x)]dx=kf/,{x)dx-紅fA(x)dx ••*aJa 汉语表述: 线性组合的积分二积分的线性组合. 性质2(有向性) .ba J/(x)dx=一丄/(x)dx(巳证) 性质3(区间可加性) a,b=>/(x)dx=jJ/(x)dx+/(x)dx 证明: eVcV/>——-_J/(x)dx=Jf(x)dx+J/(x)dx J/(x)dx=J/(x)dx+£/(x)dx =>J/(X)dx=J/(X)dx-£/(X)dx *向牲rh ====J/(X)dv+J/(X)dr 性质4(保号性) b /(X)>0=>L/(x)dx>0(-般约定口 证由积分的定义与极限的保号性立证• 推论1(广义单调性)
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