全国高中数学联合竞赛试题卷与解答B卷doc.docx
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全国高中数学联合竞赛试题卷与解答B卷doc
..
2016年全国高中数学联赛(B卷)一试
一、选择题:
(每小题
8分,共
64分)
1.
等比数列
an
的各项均为正数,且a1a3
a2a6
2a3
2
36,则a2
a4的值为
.
2.设A
a|
1
a2
,则平面点集B
x,y|x,y
A,xy0
的面积为
.
3.
已知复数
z满足z2
2zz
z(z表示z的共轭复数),则z的所有可能值的积
为
.
4.
已知f
x
g
x均为定义在
R上的函数,
fx
的图像关于直线
x1对称,gx
的
图像关于点
1,
2
中心对称,且f
x
gx
9x
x3
1,则f2g2
的值为
.
5.将红、黄、蓝3个球随机放入5个不同的盒子A,B,C,D,E中,恰有两个球放在同一
盒子的概率为.
6.在平面
直角坐标系xOy中,圆C1:
x2
y2
a0关于直线l对称的圆为
C2:
x2
y2
2x
2ay30,则直线l的方程为
.
7.已知正四棱锥V-ABCD的高等于AB长度的一半,M是侧棱VB的中点,N是侧棱
VD上点,满足DN
2VN,则异面直线
AM,BN所成角的余弦值为
.
8.设正整数n满足n2016,且
n
n
n
n
.这样的n的个数
2
4
6
3
12
为
.这里x
x
x,其中
x表示不超过x的最大整数.
二、解答题:
(共3小题,共56分)
9.(16分)已知
an
是各项均为正数的等比数列,且
a50,a51是方程100lg2xlg100x
的两个不同的解,求
a1a2La100的值.
.下载可编辑.
..
10.(20分)在
uuuruuur
uuuruuur
uuur
uuur
ABC中,已知ABAC
2BABC
3CACB.
(1)将BC,CA,AB的长分别记为
a,b,c,证明:
a2
2b2
3c2;
(2)求cosC的最小值.
11.(20
分)在平面直角坐标系
xOy中,双曲线C的方程为x2
y2
1.求符合以下要
求的所有大于
1的实数a:
过点a,0
任意作两条互相垂直的直线
l1与l2,若l1与双曲线C交
于P,Q两点,l2与C交于R,S两点,则总有PQ
RS成立.
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..
加试
一、(40分)非负实数x1,x2,L,x2016和实数y1,y2,L,y2016满足:
(1)xk
2
yk
2
1,k
1,2,L,2016;
(2)y1
y2
L
y2016是奇数.
求x1x2L
x2016
的最小值.
二、(40分)设n,k是正整数,且n是奇数.已知2n的不超过k的正约数的个数为奇数,证明:
2n有一个约数d,满足kd2k.
.下载可编辑.
..
三、(50分)如图所示,ABCD是平行四边形,G是
ABD的重心,点P,Q在直线BD
上,使得GPPC,GQ
QC.证明:
AG平分PAQ.
P
D
C
G
A
B
Q
四、(50分)设A是任意一个11元实数集合.令集合Buv|u,vA,uv.求B的元
素个数的最小值.
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..
2016年全国高中数学联赛(B卷)试题及答案
一试
一、选择题:
(每小题
8分,共
64分)
1.等比数列
an的各项均为正数,且
a1a3
a2a6
2a3
2
36,则a2
a4的值为
.
答案:
6.
解:
由于36
a1a3
a2a6
2a3
2
a2
2
a4
2
2a2a4
a2
2
且a2
a40,故a2
a46.
a4
另解:
设等比数列的公比为
q,则a2
a6
a1qa1q5.又因
36aaaa2a2
aaq2
aqaq5
2aq22
1
3
2
6
3
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2a1qa1q3
a1q3
a1qa1q3
a2
a4
a1q
而a2a4
0,从而a2
a4
6.
2.设A
a|
1a
2
,则平面点集B
x,y|x,y
A,x
y0
的面积为
.
答案:
7.
解:
点集B如图中阴影部分所示,其面积为
S正方形MNPQSMRS33
1
227.
2
3.已知复数
z满足z2
2z
z
z(z表示z的共轭复数),则z的所有可能值的积
为
.
答案:
3.
解:
设z
a
bi
a,b
R.由z2
2z
z知,
a2
b2
2abi2a2biabi,
比较虚、实部得
a2
b2
a
0,2ab
3b0.又由z
z知b0,从而有
2a3
0,即a
3,进而b
a2
a
3
.
2
2
于是,满足条件的复数
z的积为
3
3
i
3
3
3.
2
2
2
i
2
4.已知f
x
g
x
均为定义在
R上的函数,
fx
的图像关于直线
x1对称,gx
的
.下载可编辑.
..
图像关于点1,2中心对称,且fxgx9xx31,则f2g2的值为.
答案:
2016.
解:
由条件知
f
0
g0
2,
①
f
2
g2
81
81
90.
②
由fx,g
x
图像的对称性,可得
f0
f
2,g0
g2
4,结合①知,
f2
g2
4f0
g0
2.
③
由②、③解得
f2
48,g2
42,从而f
2
g2
4842
2016.
另解:
因为
fxgx9x
x3
1,①
所以
f2g290.②
因为fx的图像关于直线x1对称,所以
fxf
2
x.③
又因为g
x
的图像关于点
1,2中心对称,所以函数
hxgx12是奇函数,
hxhx
,
gx
1
2
gx
12,从而
gx
g2
x
4.
④
将③、④代入①,再移项,得
f2x
g2x
9x
x3
5.
⑤
在⑤式中令x
0
,得
f2g26.⑥
由②、⑥解得f248,g246.于是f2g22016.
5.将红、黄、蓝3个球随机放入5个不同的盒子A,B,C,D,E中,恰有两个球放在同一
盒子的概率为.
3
解:
样本空间中有5125个元素.而满足恰有两个球放在同一盒子的元素个数为
C32
P5
2
60.过所求的概率为p
60
12.
125
25
6.在平面直角坐标系xOy
中,圆C1:
x2
y2
a0关于直线l对称的圆为
.下载可编辑.
..
C2:
x2
y2
2x
2ay
3
0,则直线l的方程为
.
答案:
2x4y5
0.
解:
C1,C2的标准方程分别为
C1:
x2
y2
2
2
a2
2.
1,C2:
x1
ya
由于两圆关于直线
l对称,所以它们的半径相等.因此
aa2
20,解得a
2.故C1,C2
的圆心分别是
O1
0,0
O2
1,2.直线l就是线段O1O2的垂直平分线,它通过
O1O2的中点
M
1,1,由此可得直线
l的方程是2x
4y
50.
2
7.已知正四棱锥V-ABCD的高等于AB长度的一半,M是侧棱VB的中点,N是侧棱
VD上点,满足DN
2VN,则异面直线AM,BN所成角的余弦值为
.
ABCD的中心O为坐标原点,
uuuruuuruuur
解:
如图,以底面
AB,BC,OV的方向为x,y,z轴的正向,
z
V
y
N
DMC
O
x
A
B
建立空间直角坐标系.不妨设AB2,此时高VO1,从而
A1,
1,0
B1,
1,0
D
1,1,0
V0,0,1.
由条件知M
1,1,1
N
1,1,2,因此
2
2
2
3
3
3
uuuur
3
1
1
uuur
4
4
2
AM
2
,BN
3
.
2
2
3
3
设异面直线
AM,BN所成的角为
,则
uuuur
uuur
cos
AM
BN
1
11
uuuur
uuur
11
.
AM
BN
2
11
2
.下载可编辑.
..
8.设正整数n满足n
2016,且
n
n
n
n
3
.这样的n的个数
2
4
6
12
为
.这里x
x
x
,其中
x表示不超过x的最大整数.
解:
由于对任意整数
n,有
n
n
n
n
1
3
5
11
2
4
6
12
2
4
6
3,
12
等号成立的充分必要条件是
n
1mod12
,结合1
n2016知,满足条件的所有正整数为
n12k
1k1,2,L,168
共有168个.
另解:
首先注意到,若m为正整数,则对任意整数
x,y,若x
ymodm
,则
x
y.
m
m
这是因为,当x
ymodm
时,x
y
mt,这里t是一个整数,故
x
x
x
ymt
ymt
y
t
y
y
y
y
m
m
m
m
m
t
m
m
m
.
m
m
因此,当整数n1,n2满足n1
n2
mod12
时,
n1
n1
n1
n1
n2
n2
n2
n2.
2
4
6
12
2
4
6
12
容易验证,当正整数满足
1n
12
时,只有当
n
时,等式
n
n
n
n
3
11
2
4
6
12
才成立.而2016
12
168,故当1
n
2016时,满足
n
n
n
n
3
正整数n的
2
4
6
12
个数为168.
二、解答题:
(共3小题,共56分)
9.(16分)已知
an是各项均为正数的等比数列,且
a50,a51是方程
100lg2x
lg100x
的两个不同的解,求
a1a2La100的值.
解对k
50,51,有100lg2
ak
lg
100ak
2lgak,即
100lgak
2
lgak20.
因此,lga50,lga51是一元二次方程100t2
t
2
0的两个不同实根,从而
1
1
lga50a51
lga50
lga51
即a50a51
10100.
100
1
50
50
由等比数列的性质知,a1a2L
a100
a50a51
10100
10.
10.(20分)在
uuuruuur
uuur
uuur
uuuruuur
ABC中,已知ABAC
2BABC
3CACB.
.下载可编辑.
..
2
2
2
;
(1)将BC,CA,AB的长分别记为a,b,c,证明:
a
2b3c
(2)求cosC的最小值.
uuur
uuur
2
2
2
解
(1)由数量积的定义及余弦定理知,
cbcosA
b
c
a.
AB
AC
uuur
uuur
uuur
uuur
2
a
2
c
2
b
2
2
b
2
c
2
同理得,BABC
CACB
a
.故已知条件化为
2
2
b2
c2
a2
2a2
c2
b2
3a2
b2
c2,
即a22b23c2.
(2)由余弦定理及基本不等式,得
a
2
b
2
2a2
b2
1a2
2b2
c
3
cosC
2ab
2ab
a
b
a
b
2
3b
6a
2
6a
3
3b
等号成立当且仅当
a:
b:
c
3:
6:
5.因此
cosC的最小值为
2
.
3
11.(20
分)在平面直角坐标系
xOy中,双曲线C的方程为x2
y2
1.求符合以下要
求的所有大于
1的实数a:
过点a,0
任意作两条互相垂直的直线
l1与l2,若l1与双曲线C交
于P,Q两点,l2
与C交于R,S两点,则总有
PQ
RS成立.
解过点a,0
作两条互相垂直的直线
l1
:
x
a与l2:
y0.
易知,l1与C交于点P0
a,
2
1,Q0
a,
a
2
a1),l2与C交于点
a
1(注意这里
R01,0
S0
1,0,由条件知2a2
1
PQ00
R0S0
2,解得a
2.
这意味着符合条件的a只可能为
2.
下面验证a
2
符合条件.
事实上,当
l1,l2中有某条直线斜率不存在时,
则可设l1:
x
a,l2
:
y
0,就是前面所讨论
的1
2
的情况,这时有
PQ
RS.
1
2
的斜率都存在,不妨设
l
l
若l
l
l1:
ykx
2,l2:
y
1
x
2k
0,
k
注意这里k
1
(否则l1将与C的渐近线平行,从而
l1与C只有一个交点).
联立l1与C的方程知,x2
k2x
2
2
1
0,即
1k2x2
22k2x2k2
10,
这是一个二次方程式,
其判别式为
2
4
0.故l1与C有两个不同的交点P,Q.同样,
4k
.下载可编辑.
x2016
..
l2与C也有两个不同的交点
R,S.由弦长公式知,
2
4k2
4
1
k2
PQ
1k
1k2
2
1
k2.
1
1
k
2
k
2
1
用
代替
k
,同理可得
RS
2
.于是PQRS.
2
k
k
1
2
k2
1
综上所述,a
2为符合条件的值.
加试
一、(40分)非负实数x1,x2,L,x2016和实数y1,y2,L,y2016满足:
(1)xk
2
yk
2
1,k
1,2,L
2016;
(2)y1
y2
L
y2016
是奇数.
求x1x2
L
x2016的最小值.
解:
由已知条件(
1)可得:
xk
1,yk
1,
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