通用版202x高考数学一轮复习 212 函数模型及其应用讲义 文.docx
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通用版202x高考数学一轮复习212函数模型及其应用讲义文
第十二节函数模型及其应用
一、基础知识批注——理解深一点
1.常见的8种函数模型
(1)正比例函数模型:
f(x)=kx(k为常数,k≠0);
(2)反比例函数模型:
f(x)=
(k为常数,k≠0);
(3)一次函数模型:
f(x)=kx+b(k,b为常数,k≠0);
(4)二次函数模型:
f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0);
(5)指数函数模型:
f(x)=abx+c(a,b,c为常数,a≠0,b>0,b≠1);
(6)对数函数模型:
f(x)=mlogax+n(m,n,a为常数,m≠0,a>0,a≠1);
(7)幂函数模型:
f(x)=axn+b(a,b,n为常数,a≠0,n≠1);
(8)“对勾”函数模型:
y=x+
(a>0).
(1)形如f(x)=x+
(a>0)的函数模型称为“对勾”函数模型,“对勾”函数的性质:
①该函数在(-∞,-
]和[
,+∞)上单调递增,在[-
,0)和(0,
]上单调递减.
②当x>0时,x=
时取最小值2
,当x<0时,x=-
时取最大值-2
.
(2)函数f(x)=
+
(a>0,b>0,x>0)在区间(0,
]内单调递减,在区间[
,+∞)内单调递增.
2.三种函数模型的性质
函数性质
y=ax(a>1)
y=logax(a>1)
y=xn(n>0)
在(0,+∞)上的增减性
单调递增
单调递增
单调递增
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
图象的变化
随x的增大,逐渐表现为与y轴平行
随x的增大,逐渐表现为与x轴平行
随n值变化而各有不同
值的比较
存在一个x0,当x>x0时,有logax 幂函数模型y=xnn>0可以描述增长幅度不同的变化,当n,值较小n≤1时,增长较慢;当n值较大n>1时,增长较快. 二、基础小题强化——功底牢一点 (1)函数y=2x的函数值比y=x2的函数值大.( ) (2)“指数爆炸”是指数型函数y=a·bx+c(a≠0,b>0,b≠1)增长速度越来越快的形象比喻.( ) (3)幂函数增长比直线增长更快.( ) 答案: (1)× (2)× (3)× (二)选一选 1.在某个物理实验中,测量后得变量x和变量y的几组数据,如表: x 0.50 0.99 2.01 3.98 y -0.99 0.01 0.98 2.00 则对x,y最适合的拟合函数是( ) A.y=2x B.y=x2-1 C.y=2x-2D.y=log2x 解析: 选D 由x=0.50,y=-0.99,代入计算,可以排除A;由x=2.01,y=0.98,代入计算,可以排除B、C;将各数据代入函数y=log2x,可知满足题意. 2.生产一定数量商品的全部费用称为生产成本,某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)= x2+2x+20(万元).一万件售价是20万元,为获取最大利润,该企业一个月应生产该商品数量为( ) A.36万件B.18万件 C.22万件D.9万件 解析: 选B 设利润为L(x),则利润L(x)=20x-C(x)=- (x-18)2+142,当x=18时,L(x)有最大值. 3.某商品价格前两年每年递增20%,后两年每年递减20%,则四年后的价格与原来价格比较,变化的情况是( ) A.减少7.84%B.增加7.84% C.减少9.5%D.不增不减 解析: 选A 设某商品原来价格为a,依题意得: a(1+0.2)2(1-0.2)2=a×1.22×0.82=0.9216a, 所以(0.9216-1)a=-0.0784a, 所以四年后的价格与原来价格比较,减少7.84%. (三)填一填 4.某城市客运公司确定客票价格的方法是: 如果行程不超过100km,票价是0.5元/km,如果超过100km,超过100km的部分按0.4元/km定价,则客运票价y(元)与行程千米数x(km)之间的函数关系式是____________. 解析: 由题意可得y= 答案: y= 5. 有一批材料可以建成200m长的围墙,如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地,中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示),则围成的矩形场地的最大面积为________m2.(围墙厚度不计) 解析: 设围成的矩形场地的长为xm,则宽为 m, 则S=x· = (-x2+200x). 当x=100时,Smax=2500(m2). 答案: 2500 [典例] 国庆期间,某旅行社组团去风景区旅游,若每团人数在30或30以下,飞机票每张收费900元;若每团人数多于30,则给予优惠: 每多1人,机票每张减少10元,直到达到规定人数75为止.每团乘飞机,旅行社需付给航空公司包机费15000元. (1)写出飞机票的价格关于人数的函数; (2)每团人数为多少时,旅行社可获得最大利润? [解] (1)设每团人数为x,由题意得0 则y= 即y= (2)设旅行社获利S元, 则S= 即S= 因为S=900x-15000在区间(0,30]上为增函数,故当x=30时,S取最大值12000. 又S=-10(x-60)2+21000,x∈(30,75],所以当x=60时,S取得最大值21000. 故当x=60时,旅行社可获得最大利润. [解题技法] 二次函数、分段函数模型解决实际问题的策略 (1)在建立二次函数模型解决实际问题中的最值问题时,一定要注意自变量的取值范围,需根据函数图象的对称轴与函数定义域在坐标系中对应区间之间的位置关系讨论求解. (2)对于分段函数模型的最值问题,应该先求出每一段上的最值,然后比较大小. (3)在利用基本不等式求解最值时,一定要检验等号成立的条件,也可以利用函数单调性求解最值. [题组训练] 1.某市家庭煤气的使用量x(m3)和煤气费f(x)(元)满足关系f(x)= 已知某家庭2018年前三个月的煤气费如表: 月份 用气量 煤气费 一月份 4m3 4元 二月份 25m3 14元 三月份 35m3 19元 若四月份该家庭使用了20m3的煤气,则其煤气费为( ) A.11.5元 B.11元 C.10.5元D.10元 解析: 选A 根据题意可知f(4)=C=4,f(25)=C+B(25-A)=14,f(35)=C+B(35-A)=19,解得A=5,B= ,C=4,所以f(x)= 所以f(20)=4+ ×(20-5)=11.5. 2.A,B两城相距100km,在两城之间距A城x(km)处建一核电站给A,B两城供电,为保证城市安全,核电站距城市距离不得小于10km.已知供电费用等于供电距离(km)的平方与供电量(亿度)之积的0.25倍,若A城供电量为每月20亿度,B城供电量为每月10亿度. (1)求x的取值范围; (2)把月供电总费用y表示成x的函数; (3)核电站建在距A城多远,才能使月供电总费用y最少? 解: (1)由题意知x的取值范围为[10,90]. (2)y=5x2+ (100-x)2(10≤x≤90). (3)因为y=5x2+ (100-x)2 = x2-500x+25000 = 2+ , 所以当x= 时,ymin= . 故核电站建在距A城 km处,能使月供电总费用y最少. [典例] 某医药研究所开发的一种新药,如果成年人按规定的剂量服用,据监测,服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线. (1)写出第一次服药后y与t之间的函数关系式y=f(t); (2)据进一步测定,每毫升血液中含药量不少于0.25微克时治疗疾病有效,求服药一次后治疗疾病有效的时间. [解] (1)由题图,设y= 当t=1时,由y=4,得k=4, 由 1-a=4,得a=3.所以y= (2)由y≥0.25得 或 解得 ≤t≤5. 故服药一次后治疗疾病有效的时间是5- = (小时). [解题技法] 1.掌握2种函数模型的应用技巧 (1)与指数函数、对数函数模型有关的实际问题,在求解时,要先学会合理选择模型,在三类模型中,指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型,与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型. (2)在解决指数函数、对数函数模型问题时,一般先需要通过待定系数法确定函数解析式,再借助函数的图象求解最值问题,必要时可借助导数. 2.建立函数模型解应用问题的4步骤 (1)审题: 弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择模型. (2)建模: 将文字语言转化为数学语言,利用数学知识建立相应的数学模型. (3)求模: 求解数学模型,得出数学结论. (4)还原: 将利用数学知识和方法得出的结论,还原到实际问题中. 以上过程用框图表示如下: [题组训练] 1.某位股民购进某支股票,在接下来的交易时间内,他的这支股票先经历了n次涨停(每次上涨10%),又经历了n次跌停(每次下跌10%),则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为( ) A.略有盈利B.略有亏损 C.没有盈利也没有亏损D.无法判断盈亏情况 解析:
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