还原法倒推法解决假设法方程法解决问答.docx

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还原法倒推法解决假设法方程法解决问答

数学广角：

鸡兔同笼

知识点一：

“鸡兔同笼”问题的特点

例题：

笼子里有若干只鸡和兔。

从上面数，有35个头，从下面数，有94只脚。

鸡和兔各有多少只？

题型特点：

鸡兔同笼是已知鸡、兔的总头数和总脚数，求其中鸡和兔务有多少只的问题。

请你用“﹋”画出下面题中相当于总头数的数据，用“——”画出下面题中相当于总脚数的数据。

1、大油瓶每瓶装4千克，小油瓶2瓶装1千克，现有100千克油装了共60个瓶子。

问大小油瓶各多少个？

2、动物园里里饲养一群丹顶鹤和一群猴子，数眼睛共46只，数脚72只，丹顶鹤和猴子各多少只？

知识点二：

“鸡兔同笼”问题的解题方法

例题：

笼子里有若干只鸡和兔。

从上面数，有8个头，从下面数，有26只脚。

鸡和兔各有多少只？

方法一：

列表法。

（先从鸡是8只，兔是0只开始，鸡的只数逐渐减少，兔的只数逐渐增加，直到出现答案为止）

鸡的只数

8

7

6

5

4

3

2

1

0

兔的只数

0

1

2

3

4

5

6

7

8

总脚数

16

18

20

22

24

26

28

30

32

通过列表，得出鸡有3只，兔有5只。

温馨提示：

用列表法可以解决问题，但当数据较大时，过程就很繁琐。

请你试一试：

1、鸡兔同笼，头共12个，足共34只，求鸡与兔各有多少只？

鸡的只数

兔的只数

总脚数

通过列表，得出鸡有（）只，兔有（）只。

2、鹤龟同池，鹤比龟多12只，鹤龟足共72只，求鹤龟各有多少只？

通过列表，得出龟有（）只，鹤有（）只。

3、在知识竞赛中，有10道判断题，评分规定：

每答对一题得2分，答错一题要倒扣一分。

小明同学虽然答了全部的题目，但最后只得了14分，请问，他答错了几题？

通过列表，可知道小明答错了（）题。

方法二：

假设法。

（可以假设笼子里全是鸡，或者假设笼子里全是兔）

例题：

笼子里有若干只鸡和兔。

从上面数，有8个头，从下面数，有26只脚。

鸡和兔各有多少只？

假设笼子里全是鸡：

（假设全是鸡时可得出兔的只数）

兔的只数：

（26－2×8）÷（4－2）（总脚数－2×鸡兔总数）÷（4－2）

=（26－16）÷2

=10÷2

=5（只）

鸡的只数：

8－5=3（只）（总只数－兔的只数）

假设笼子里全是兔：

（假设全是兔时可得出鸡的只数）

鸡的只数：

（4×8－26）÷（4－2）（4×鸡兔总数－总脚数）÷（4－2）

=（32－26）÷2

=6÷2

=3（只）

兔的只数：

8－3=5（只）（总只数－鸡的只数）

你能行！

1、鸡兔同笼，鸡兔共35个头，94条腿，问鸡兔各多少只？

2、小华买了2元和5元纪念邮票一共34张，用去98元钱。

求小华买了2元和5元的纪念邮票各多少张？

3、在一个停车场上，停了汽车和摩托车一共32辆。

其中汽车有4个轮子，摩托车有3个轮子，这些车一共有108个轮子。

求汽车和摩托车各有多少辆？

方法三：

列方程解。

（可以设鸡为X只，也可以设兔为X只）

例题：

笼子里有若干只鸡和兔。

从上面数，有8个头，从下面数，有26只脚。

鸡和兔各有多少只？

解：

设鸡有X只解：

设兔有X只

4×（8－X）＋2X=264X＋2×（8－X）=26

32－4X＋2X=264X＋16－2X=26

2X=62X=10

X=3X=5

8－3=5（只）8－5=3（只）

答：

鸡有3只，兔有5只。

你能列方程解答吗？

1、大油瓶每瓶装4千克，小油瓶2瓶装1千克，现有100千克油装了共60个瓶子。

问大小油瓶各多少个？

2、班主任张老师带五年级

（2）班50名同学栽树，张老师栽5棵，男生每人栽3棵，女生每人栽2棵，总共栽树120棵，问几名男生，几名女生？

3、鸡兔同笼，兔比鸡少20只，脚数共262只。

鸡、兔各有多少只？

小结：

“鸡兔同笼”问题的解题方法

1、列表法

如果笼中全是鸡，那么共有脚2×8＝16（只）；如果笼中全是兔，那么共有脚4×8＝32（只），而题目所给的脚数是28只，接近于鸡而远离于兔的脚数，可见鸡少兔多。

我们可以以鸡为例，由小到大列出下表：

总数

增减数

种类

头

脚

头

脚

头

脚

……

8

30

10

28

8

26

……

兔

7

28

6

24

5

20

……

鸡

1

2

2

4

3

6

……

由表可知答案，兔5只，鸡3只。

3、还有置换法

假设笼中全是鸡，则总脚数为2×8＝16（只），这与所给的26只脚不符，说明笼中必有兔。

现可用置换法进行调整，用一只兔换出一只鸡，头数不变，脚数却增加2只，于是在脚的差数26－16＝10（只）中，包含几个2只，就需要用几只兔换出几只鸡，由于10÷2＝5，所以兔5只，鸡3只，其兔数列综合算式为：

（26－2×8）÷（4－2）。

3、计算的方法

假设每只鸡一只脚，每只兔两只脚，这样，鸡、兔总脚数为26÷2＝13（只），由于鸡一头一脚，兔一头两脚，这时脚头数的差是13－8＝5（只），这便是兔的只数，列综合算式为：

26÷2－8，即兔5只，鸡3只。

假设把笼中的每只鸡兔的脚都砍去2只，则剩余脚数为26－（2×8）＝10（只），这时鸡的脚砍完了，余下的10只脚全是兔的，因为每只兔4只脚，砍去2只脚，还剩下2只脚，于是兔为10÷2＝5（只），鸡有8－5＝3（只）

4、方程法

解：

设兔有x只，则鸡有（10－x）只。

4x＋2×（8－x）＝26

4x＋16－2x＝26

2x＋16＝26

2x＋16－16＝26－16

2x＝10

2x÷2＝10÷2

X＝5

8－5＝3（只）

解方程得兔5只，鸡3只。

知识点三：

“鸡兔同笼”问题的例题分析

例1小梅数她家的鸡与兔，数头有16个，数脚有44只。

问：

小梅家的鸡与兔各有多少只？

　　分析：

假设16只都是鸡，那么就应该有2×16＝32（只）脚，但实际上有44只脚，比假设的情况多了44-32＝12（只）脚，出现这种情况的原因是把兔当作鸡了。

如果我们以同样数量的兔去换同样数量的鸡，那么每换一只，头的数目不变，脚数增加了2只。

因此只要算出12里面有几个2，就可以求出兔的只数。

解：

有兔（44-2×16）÷（4-2）=6（只），

　　有鸡16-6＝10（只）。

　　答：

有6只兔，10只鸡。

　　当然，我们也可以假设16只都是兔子，那么就应该有4×16＝64（只）脚，但实际上有44只脚，比假设的情况少了64－44＝20（只）脚，这是因为把鸡当作兔了。

我们以鸡去换兔，每换一只，头的数目不变，脚数减少了4-2＝2（只）。

因此只要算出20里面有几个2，就可以求出鸡的只数。

　　有鸡（4×16-44）÷（4-2）=10（只），

　　有兔16——10＝6（只）。

　　由例1看出，解答鸡兔同笼问题通常采用假设法，可以先假设都是鸡，然后以兔换鸡；也可以先假设都是兔，然后以鸡换兔。

因此这类问题也叫置换问题。

例2100个和尚140个馍，大和尚1人分3个馍，小和尚1人分1个馍。

问：

大、小和尚各有多少人？

分析与解：

本题由中国古算名题“百僧分馍问题”演变而得。

如果将大和尚、小和尚分别看作鸡和兔，馍看作腿，那么就成了鸡兔同笼问题，可以用假设法来解。

　　假设100人全是大和尚，那么共需馍300个，比实际多300－140＝160（个）。

现在以小和尚去换大和尚，每换一个总人数不变，而馍就要减少3——1＝2（个），因为160÷2＝80，故小和尚有80人，大和尚有

　　100－80＝20（人）。

　　同样，也可以假设100人都是小和尚，同学们不妨自己试试。

　　在下面的例题中，我们只给出一种假设方法。

例3彩色文化用品每套19元，普通文化用品每套11元，这两种文化用品共买了16套，用钱280元。

问：

两种文化用品各买了多少套？

分析与解：

我们设想有一只“怪鸡”有1个头11只脚，一种“怪兔”有1个头19只脚，它们共有16个头，280只脚。

这样，就将买文化用品问题转换成鸡兔同笼问题了。

　　假设买了16套彩色文化用品，则共需19×16＝304（元），比实际多304——280＝24（元），现在用普通文化用品去换彩色文化用品，每换一套少用19——11＝8（元），所以

　　买普通文化用品24÷8=3（套），

　　买彩色文化用品16－3＝13（套）。

例4鸡、兔共100只，鸡脚比兔脚多20只。

问：

鸡、兔各多少只？

　　分析：

假设100只都是鸡，没有兔，那么就有鸡脚200只，而兔的脚数为零。

这样鸡脚比兔脚多200只，而实际上只多20只，这说明假设的鸡脚比兔脚多的数比实际上多200——20=180（只）。

　　现在以兔换鸡，每换一只，鸡脚减少2只，兔脚增加4只，即鸡脚比兔脚多的脚数中就会减少4＋2＝6（只），而180÷6＝30，因此有兔子30只，鸡100——30＝70（只）。

解：

有兔（2×100——20）÷（2＋4）＝30（只），

　　有鸡100——30=70（只）。

　　答：

有鸡70只，兔30只。

例5现有大、小油瓶共50个，每个大瓶可装油4千克，每个小瓶可装油2千克，大瓶比小瓶共多装20千克。

问：

大、小瓶各有多少个？

　　分析：

本题与例4非常类似，仿照例4的解法即可。

解：

小瓶有（4×50-20）÷（4＋2）＝30（个），

　　大瓶有50-30＝20（个）。

　　答：

有大瓶20个，小瓶30个。

例6一批钢材，用小卡车装载要45辆，用大卡车装载只要36辆。

已知每辆大卡车比每辆小卡车多装4吨，那么这批钢材有多少吨？

　　分析：

要算出这批钢材有多少吨，需要知道每辆大卡车或小卡车能装多少吨。

　　利用假设法，假设只用36辆小卡车来装载这批钢材，因为每辆大卡车比每辆小卡车多装4吨，所以要剩下4×36=144（吨）。

根据条件，要装完这144吨钢材还需要45-36=9（辆）小卡车。

这样每辆小卡车能装144÷9＝16（吨）。

由此可求出这批钢材有多少吨。

解：

4×36÷（45-36）×45＝720（吨）。

　　答：

这批钢材有720吨。

例7乐乐百货商店委托搬运站运送500只花瓶，双方商定每只运费0.24元，但如果发生损坏，那么每打破一只不仅不给运费，而且还要赔偿1.26元，结果搬运站共得运费115.5元。

问：

搬运过程中共打破了几只花瓶？

　　分析：

假设500只花瓶在搬运过程中一只也没有打破，那么应得运费0.24×500=120（元）。

实际上只得到115.5元，少得120-115.5=4.5（元）。

搬运站每打破一只花瓶要损失0.24＋1.26＝1.5（元）。

因此共打破花瓶4.5÷1.5＝3（只）。

解：

（0.24×500－115.5）÷（0.24＋1.26）＝3（只）。

　　答：

共打破3只花瓶。

例8小乐与小喜一起跳绳，小喜先跳了2分钟，然后两人各跳了3分钟，一共跳了780下。

已知小喜比小乐每分钟多跳12下，那么小喜比小乐共多跳了多少下？

分析与解：

利用假设法，假设小喜的跳绳速度减少到与小乐一样，那么两人跳的总数减少了

　　12×（2＋3）＝60（下）。

　　可求出小乐每分钟跳

　　（780——60）÷（2＋3＋3）＝90（下），

　　小乐一共跳了90×3=270（下），因此小喜比小乐共多跳

　　780——270×2＝240（下）。

练习13

　　1．鸡、兔共有头100个，脚350只，鸡、兔各有多少只？

　　2．学校有象棋、跳棋共26副，2人下一副象棋，6人下一副跳棋，恰好可供120个学生进行活动。

问：

象棋与跳棋各有多少副？

　　3．班级购买活页簿与日记本合计32本，花钱74元。

活页簿每本1.9元，日记本每本3.1元。

问：

买活页簿、日记本各几本？

　　4．龟、鹤共有100个头，鹤腿比龟腿多20只。

问：

龟、鹤各几只？

　　5．小蕾花40元钱买了14张贺年卡与明信片。

贺年卡每张3元5角，明信片每张2元5角。

问：

贺年卡、明信片各买了几张？

　　6．一个工人植树，晴天每天植树20棵，雨天每天植树12棵，他接连几天共植树112棵，平均每天植树14棵。

问：

这几天中共有几个雨天？

　　7．振兴小学六年级举行数学竞赛，共有20道试题。

做对一题得5分，没做或做错一题都要扣3分。

小建得了60分，那么他做对了几道题？

　　8．有一批水果，用大筐80只可装运完，用小筐120只也可装运完。

已知每只大筐比每只小筐多装运20千克，那么这批水果有多少千克？

　　9．蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和1对翅膀。

现有三种小虫共18只，有118条腿和20对翅膀。

问：

每种小虫各有几只？

　　10．鸡、兔共有脚100只，若将鸡换成兔，兔换成鸡，则共有脚92只。

问：

鸡、兔各几只？

知识点四：

“鸡兔同笼”问题解法的应用

1、全班46人去划船，共乘12只船，其中大船每只坐5人，小船每只坐3人，求大船和小船各有多少只？

2、王老师圆珠笔和钢笔共买了15支，圆珠笔每支1.5元，钢笔每支4.5元，共花了49.5元，圆珠和钢笔各买了几支？

3、小刚买回8分邮票和4分邮票共100张，共付出6.8元，问，小刚买回这两种邮票个多少张？

各付出多少元？

4、鹤龟同池，鹤比龟多12只，鹤龟足共72只，求鹤龟各有多少只？

5、小毛参加数学竞赛，共做20道题，得64分，已知做对一道得5分，不做得0分，错一题扣1分，又知道他做错的题和没做的同样多。

问小毛做对几道题？

6.有蜘蛛，蜻蜓，蝉三种动物共18只，共有腿118条，翅膀20对（蜘蛛8条腿；蜻蜓6条腿，2对翅膀；蝉6条腿，1对翅膀），三种动物各几只？

7、东风小学有3名同学去参加数学竞赛，一份试卷共10道题，答对一题得10分，答错一道不但不得分，还要扣去3分，这3名同学都回答了所有的题目，小明得74分，小华得22分，小红得87分，他们三人共答对多少题？

8、某运输队为超市运送暖瓶500箱，每箱装有6个暖瓶。

已知每10个暖瓶的运费为5元，损坏一个的话不但不给运费还要陪成本10元，运后结算时，运输队共得1350元的运费。

问、共损坏了多少只暖瓶？

9、蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和1对翅膀。

现在这三种小虫16只，共有110条腿和14对翅膀。

问，每种小动物各几只？

10、螃蟹有10条腿，螳螂有6条腿和1对翅膀，蜻蜓有6条腿和2对翅膀。

现在这三种动物37只，共有250条腿和52对翅膀。

每种动物各有多少只？

11、小东妈妈从单位领回奖金400元，其中有2元、5元、10元人民币共80张，且5元和10元的张数相等，试问，这三种人民币各有多少张？

12、小华有1分、2分、5分的硬币共38枚，合计9角2分，已知1分与2分的硬币的枚数相等。

这三种硬币各有多少枚？

13、有20张5元和10元的人民币，一共是175元，5元和10的人民币各有多少张？