弹塑性力学讲义全套.docx

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弹塑性力学讲义全套

弹塑性力学

弹塑性力学

绪论：

弹性力学也称弹性理论，主要研究弹性体在外力作用或温度变化等外界因素下所产生的应力、应变和位移，从而解决结构或机械设计中所提出的强度和刚度问题。

在研究对象上，弹性力学同材料力学和结构力学之间有一定的分工。

材料力学基本上只研究杆状构件；结构力学主要是在材料力学的基础上研究杆状构件所组成的结构，即所谓杆件系统；而弹性力学研究包括杆状构件在内的各种形状的弹性体。

弹塑性力学是固体力学的一个重要分支，是研究弹性和塑形物体变形规律的一门学科。

它推理严谨，计算结果准确，是分析和解决许多工程技术问题的基础和依据。

在弹塑性力学中，我们可以看到很多学习材料力学、结构力学等学科所熟知的参数和变量，一些解题的思路也很类似，但是我们不能等同的将弹塑性力学看成材料力学或者是结构力学来学习。

材料力学和结构力学的研究对象及问题，往往也是弹塑性力学所研究的对象及问题。

但是，在材料力学和结构力学中主要采用简化的初等理论可以描述的数学模型；在弹塑性力学中，则将采用较精确的数学模型。

有些工程问题（例如非圆形断面柱体的扭转、孔边应力集中、深梁应力分析等问题）用材料力学和结构力学的方法求解，而在弹塑性力学中是可以解决的；有些问题虽然用材料力学和结构力学的方法可以求解，但无法给出精确可靠的理论，而弹塑性力学则可以给出用初等理论所得结果可靠性与精确度的评价。

在弹塑性力学分析中，常采用如下简化假设：

连续性假设、均匀各向同性、小变形假设、无初应力假设等假设。

弹塑性力学基本方程的建立需要从几何学、运动学和物理学三方面来研究。

在运动学方面，主要是建立物体的平衡条件，不仅物体整体要保持平衡，而且物体内的任何局部都要处于平衡状态。

反映这一规律的数学方程有两类，即运动微分方程和载荷的边界条件。

以上两类方程都与材料的力学性质无关，属于普适方

程。

在物理学方面，则要建立应力与应变或应力与应变增量之间的关系，这种关

系常称为本构关系，它描述材料在不同环境下的力学性质。

在弹塑性力学中，本构关系的研究是非常重要的。

由于自然界中物质的性质是各种各样的，而且它们所处的工作环境又是不同的，因而研究物质的本构关系是一件复杂但却具有根本意义的工作。

由于物体是连续的，因而在变形时各相邻小单元都是相互联系的，通过研究位移与应变之间的关系，可以得到变形的协调条件。

反映变形连续规律的数学表达方式有两类，即几何方程和位移边界条件。

在求解一个弹塑性力学问题时，需要给出物体的形状和物体各部分材料的本构关系和物理常数，说明物体

所受的荷载以及和其他物体的连接情况，即边界条件。

对于动力学问题，还要给出初始条件。

求解弹塑性力学问题的数学方法，就是根据几何方程、物理方程和运动方程以及力和位移的边界条件和初始条件，解除位移、应变和应力等函数。

用这种方法求解一些较为简单的问题是十分有效的。

在这一领域中，有两类方法：

精确解法（能满足弹塑性力学中全部方程的解）和近似解法（根据问题的性质，采用合理的简化假设从而获得近似结果）。

随着计算机的发展而不断开拓的有限元数值分析方法对弹塑性力学的发展提供了极为有利的条件。

它一般不受物体或

构件几何形状的限制，对于各种复杂物理关系都能算出正确的结果。

塑性力学是一门很广泛的学科，理论研究很有必要，与我们现实生活息息相关。

不管你走在城市中还是乡村街道，不管你走路还是开车，不管你使用电脑还是手机等等，几乎各个方面都要涉及到材料的强度、刚度和稳定性，而研究这些问题就需要使用力学知识来解决，我们就需要用到弹塑性力学的知识。

它不但涉及面很广，而且内容也很丰富。

你要描述一片森林，你不可能把每棵树木都涉及到，你写一条河流，不可能把每一滴水都写上，你描述一座山，不可能把每一个石头都画上，你只能挑一个方面，一个角度来描述。

弹塑性力学也是这样，它是一片森林，一条河流，一座山峰，要想把它全部涉及到，你不可能把它的方方面面都涉及到，你只能挑一个角度来描写。

利用塑性力学的基本理论，可以求解塑性力学问题。

由于塑性力学基本方程的复杂性，一般的弹塑性力学边值问题的求解是相当困难的，但对于某些简单弹塑性问题，即未知量较少和边界条件较简单的弹塑性问题，有可能克服数学上的困难而获得解析解。

下面我们只是通过一个矩形梁的例子来说明塑性力学所涉及到的一个方面。

§10—1梁的弹塑性弯曲

1.假设和屈服条件

这里研究的梁其横截面具有两个对称轴，载荷作用于纵向对称平面内。

仍采用材料力学中梁弯曲理论的一般假设：

1变形前垂直于梁轴的平面，在变形后仍保持为垂直于弯曲梁轴的平面，即

平截面假设；

2不计各层间的相互挤压；

3小变形，即挠度比横截面的尺寸小得多。

4梁长比横向尺寸大得多。

根据上述假设，只考虑梁横截面上正应力（7x对材料屈服的影响。

因此，Tresca和Mises屈服条件均为

7X=7S（10-1）

2.梁的纯弯曲

如图10—1所示，研究横截面具有两个对称轴的等截面梁，设y、z为横截

面的对称轴，x为梁的纵轴，xoy为弯曲平面。

图10-1梁的纯弯曲

（1）理想弹塑性材料

纯弯曲时，随着弯矩M的增加，塑性变形由梁截面边缘对称地向内部发展，在梁的任一横截面上弹性区和塑性区是共存的。

在弹性区应力按线性分布，在塑

性区按7X=7=©（£）分布，而在两者的交界处，正应力7应等于屈服应力7So对于理想弹塑性材料，在塑性区7=©（£）=7S，则沿梁横截面高度，应力分布为

式中ys为横截面的中性层到弹、塑性分界面的距离。

应力分布情况如图

ys2

式中Ie=20ybydy

为弹性区对中性轴的惯性矩,

h/2

Sp=2ybydy

p®为塑性区

图10-2理想弹弹性弯曲应力分布

可以简写成

对中性轴的静矩。

因此，式（10—5）确定了弯矩M和弹性区高度ys的关系M=M（ys）

或者ys=ys（M）。

关于梁的挠度，对弹性区而言，有

在弹性区的边界上y=ys处，c=cs,代入上式得梁轴曲率半径为

（10-6a）

考虑到梁的曲率与梁挠度V的关系，有

1d2v

Pdx2

则得梁轴的挠曲线方程为

d2v

（10-6b）

dx2Eys

现取梁的横截面是高为h,宽为b的矩形，则有

将它们代入（10—5）式，则得出

bh2

r

0's1—

（a）

ys

在上式中令

Me

bh2

CT

6

2，即得梁刚开始产生塑性变形时的弹性极限弯矩为

（b）

如果令ys=0,即表示梁截面全部进入塑性状态，此时的弯矩称为塑性极限

弯矩:

bh2

（c）

而有

—5

Me

（d）

说明梁截面由开始屈服到全部屈服，还可以继续增加50%的承载能力，由此

也可以看出按塑性设计可以充分发挥材料的作用

利用式（b），可以将式（a）改写为

Me

M

23^/2；

设与Me相应的梁的曲率半径为

pf』i

（e）

h

pe,此时ys=2，由式（10—6a）得

将式（f）代入式（e）即得

（g）

这就是纯弯梁屈服以后曲率半径

'与弯矩M之间的关系。

而在屈服前，它

们服从线性的弹性关系，即

Me

（h）

由式（口和（g）可以绘出弯矩与曲率的变化曲线，如图10—3所示。

如果梁在达到塑性极限弯矩以后全部卸载，则在梁内存在残余应力。

应用卸载

定律，可以计算此残余应力。

卸载过程

bh2

s

中弯矩改变值为4「，利用此值按弹性计算

即得应力改变量为

z

I

卸载前的应力

CT=±CS

则残余应力为

c*=c-△c=±cs-3csy/h

cs前正负号：

y>0时取正，y<0时取负。

残余应力沿截面高度分布情况如图

10-4所示。

图10-4残余应力分布

（2）线性强化弹塑性材料

图10-5线性强化弹塑性材料

若梁为图10-5（a）所示的线性强化弹塑性材料，强化阶段则有

0"=9（»氏+Ei（gYs）=氏.1+号A-』

-丿」（|£|>£S）

根据平截面假设应有

将此式代入前式，则梁内应力分布为

（10-7）

如图10-5（b）所示。

将（10-7）式代入（10-4）式，则得ys与M的关系式

M-；-s丄le沖-旦Sp旦Ip

>sIE丿PEysp」（10-8）

ys2

式中：

le—20ybydy——弹性区对中性轴惯矩；

h/2

Sp=2ybydy

%——整个塑性区对中性轴静矩；

h/2

整个塑性区对中性轴惯矩。

lp=2jy2b（y0y

s

如果梁横截面为bxh的矩形，则有

e

2b3

s

I

p

2b

8

将它们代入（10-8）式，则有

1一旦£

一E4

3丿12Eys

（10-9）

即为矩形截面线性强化弹塑性梁M与ys的关系式

3.梁的横力弯曲

梁在横向载荷作用下的弯曲较纯弯曲复杂。

采用上述的假设和屈服条件，针

对纯弯曲导出的有关结果基本上仍然可用。

但应注意的是横力弯曲情况下，弯矩

M不是常量，而是沿梁轴向变化的，即M=M（X）。

这样，应力不仅沿截面高度变化，还沿梁轴变化，即c=c（y,x）。

弹性区高度ys,也沿梁轴变化，即ys=ys（x）

纯弯曲中的公式（10-3）、（10-4）应改写为

h/2

（10-10）

匚y,xbydy=0

-h/2

h/2

y,xybydy=Mx

（10-11）

J

图10-6横力弯曲

下面以受均布载荷作用理想

弹塑性材料的矩形截面为例，进行具体

讨论。

如图10-6所示，由于材料是理想弹塑性的，截面上的应力在弹性区成线性分布，在塑性区均等于（Ts,即

ih/2—y——ys

y

s（—ys_y_ys）

ysx

；「sys乞y^h/2

（i）

它使式（10-10）恒得到满足。

将上式代入式（10-11）左侧，则有

h/2h/2

■■i：

y，xybydy=2b「.[y,xydy

..bh2

dy•Csydy

几-4

■_h/2

=2b

ysy2h/2

二s一

）ysL'ys

（10-11）的右侧即为均布载荷q在x截面所产生的弯矩

（X）

（j）

=2|2-x2

（k）

bh2s

应与式（k）相等，即

-X2

经过整理，上式可以写成

22

A2—T

（10-12）

式中:

2q-1.

qe为梁跨中截面开始屈服时的载荷，即梁的弹性极限载荷，可令h

（I）式中的x=0和ys=2而得到，即

bh2

qe2~

3l2

而其中的

（m）

式（10-12）表明梁中的弹、塑性区交界线是一双曲线，如图10-6（a）所示。

在梁跨中截面全部进入塑性状态时，如图10-6（b）所示，产生无限制的塑

性流动，相当于在跨中安置了一个铰，称为塑性铰。

塑性铰的出现，梁成为几何可变的，使梁丧失了继续承载的能力。

此时对应的载荷称为塑性极限载荷。

在式

（l）中令x=0及ys=0,即得简支梁受均布载荷时的塑性极限载荷为

qs

212

（n）

与（m）式比较，显然有

qs

1.5

qe

塑性铰与结构铰还存在一定的区别：

塑性铰的出现是因截面上的弯矩达到了

塑性极限弯矩Ms,并由此而产生转动，即塑性铰与弯矩大小有关，而在结构铰

处总有M=0,不能传递弯矩；结构铰为双向铰，即可以在两个方向上产生相对转动，而塑性铰处的转动方向必须与塑性极限弯矩的方向一致，所以塑性铰为单向铰；卸载后塑性铰消失，由于存在残余变形，结构不能恢复原状。

4.梁的弹塑性挠度由前面的分析可知，按塑性极限状态

设计梁可以充分发挥材料的潜力。

但梁是

d

图10-7梁的弹塑性挠度

否会因变形过大而不能使用，这就需要研

变形受到弹性区的限制，因此塑性区的变形是处于约束变形阶段。

以理想弹塑性材料矩形截面（bxh）

梁为例，横力弯曲时仍仅考虑弯矩引起的变形。

将纯弯曲时的式（6）和（10-6b）

用于横力弯曲，则有

d

2

V

dx2

将后式代入前式，可以得出

（10-13）

现在以图10-7所示悬臂梁为例，设梁处于塑性极限状态，固定端弯矩为Ms；x=a截面弯矩为Me。

从而有

（1）弹塑性段挠度

MxMsx3x

在弹塑性段（a

则有

PI=M

bh2

1

I=12

bh

角为零的边界条件，得

丹（x』6如2JU3

P27Eh22I

（2）弹性段挠度

在弹性段（0

d2vMx_Px

dx2一一El-EI

可以得出

2

#、耳32叫丄406

vexxx

e2EhlEh27Eh

将x=0代入上式，即得梁处于塑性极限状态时自由端的挠度

Pl32；二12

_3EI一3Eh

（s）

端处的挠度为

将式（r）与（s）比较，可得

Vepmax_20_

vemax9

从这个例题可以看出，按塑性力学得到的极限挠度为弹性极限挠度的2.22

倍。

弹性力学的柱体扭转和弯曲问题属于仅在端面上受力的柱体平衡问题。

按弹

性力学方法得到严格满足边界条件的解是很困难的。

为此，利用圣维南原理，将

边界条件放松，即认为离端面足够远处的应力仅与端面上外力的合力及合力矩有关。

这种放松了边界条件的问题称为圣维南问题。

根据实验，圣维南假设，柱体纵向纤维之间的作用力为零。

圣维南问题的解是唯一的，对大部分问题，解可以通过间接或近似方法求出。

间接方法主要有两类：

一类是半逆解法，即先在应力分量或位移分量中假设一部分未知函数的形式，然后将所假设的未知函数代入基本方程，由此求得另外一部分未知函数，并使全部的未知函数满足所给定的边界条件。

另一类是薄膜比拟，即利用弹性薄膜同扭转和弯曲问题的相似性，通过对

薄膜的研究来确定扭转和弯曲问题中的未知量。

用弹性力学方法得到的结果，其精度高于材料力学中以平截面假设为基础的结果。

等价命题就是两个命题的条件

本质上是相同的，结论在本质上也是相同的，等价的命题只有形式上的不同。

等价命题就是说两个命题可以相互证明。

即如果A，B两个命题等价那么，把A命题作为条件，可以证明B命题；同时，把B命题作为条件，也可以证得A命题。

变分法概念与寻常分析中的微分概念很为类似，但所联系的不是x的变化，而是

函数y（x）的变化。

如果函数y（x）使U（y）达其极值，贝UU的变分SU变为0。

几乎所有的物理和力学的基本规律都陈述为规定某一泛函的变分应该是0的

变分法原理”，由于这个原故变分法使许多重要的物理物理问题及技术问题得以解决。

通过对曲梁纯弯曲等价定理的验证，间接地证明：

在分析小曲率平面曲梁弯曲小变形问题时，完全可以采用截面弯曲应变的线性分布假设代替截面真实应变对此类问题进行理论解析。

通过学习弹性力学及有限元法，我取得了以下成绩，

（1）理解和掌握弹力的基本理论；理解和掌握弹力的基本理论；

（2）能阅读和应用弹力文献；能阅读和应用弹力文献；（3）能用弹力近似解法（变分法、差分法能用弹力近似解法（变分法、和有限单元法）解决工程实际问题；和有限单元法）解决工程实际问题；（4）为进一步学习其他固体力学分支学科打下基础。