圆锥曲线中的最值和范围问题方法.docx
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圆锥曲线中的最值和范围问题方法
圆锥曲线中的最值和范围问题方法
专题14圆锥曲线中的最值和范围问题
★★★高考在考什么
考题回放】
A.(1,2)B.(1,2)C.[2,)D.(2,+∞)
22
xy222
2.P是双曲线1的右支上一点,M、N分别是圆(x+5)2+y2=4和(x-5)2
916
2
+y2=1上的点,则|PM|-|PN|的最大值为(B)
A.6
B.7
C.8
D.9
3.抛物线
2
y=-x2上的点到直线
4x+3y-8=0距离的最小值是
(A)
4
7
8
A.
B.
C.
D.3
3
5
5
22
4.已知双曲线x2y21,(a0,b0)的左、右焦点分别为F1、F2,点P在双曲ab
线的右支上,且|PF1|=4|PF2|,则此双曲线的离心率e的最大值为:
(B)
457
(A)3(B)3(C)2(D)3
333
2225.已知抛物线y2=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则y12+y22的最小值是32.
设点P的坐标为(x,y),则
★★★高考要考什么
考点透视】
与圆锥曲线有关的最值和范围问题,因其考查的知识容量大、分析能力要求高、区分度高而成为高考命题者青睐的一个热点。
【热点透析】
与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决:
(1)结合定义利用图形中几何量之间的大小关系;
(2)不等式(组)求解法:
利用题意结合图形(如点在曲线内等)列出所讨论的参数适合的不等式(组),通过解不等式组得出参数的变化范围;
(3)函数值域求解法:
把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数,通过讨论函数的值域来求参数的变化范围。
(4)利用代数基本不等式。
代数基本不等式的应用,往往需要创造条件,并进行巧妙的构思;
(5)结合参数方程,利用三角函数的有界性。
直线、圆或椭圆的参数方程,它们的一个共同特点是均含有三角式。
因此,它们的应用价值在于:
①通过参数θ简明地表示曲线上点的坐标;
②利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解诸如最值、范围等问题;
(6)构造一个二次方程,利用判别式0。
★★★突破重难点
2
范例1】已知动点P与双曲线
1的两个焦点F1、F2的距离之和为定值,
3
1且cosF1PF2的最小值为.
的取值范
9(1)求动点P的轨迹方程;
2)若已知D(0,3),M、N在动点P的轨迹上且DMDN,求实数围.
讲解
cos
2
(1)由题意c=5.设|PF1|+|PF2|=2a(a
F1PF2
222|PF1|2|PF2|2|F1F2|2
2|PF1||PF2|
5),由余弦定理,得
2
2a210
1.
|PF1||PF2|
又|PF1|·|PF2|(|PF1||PF2|)2
2
a,
2当且仅当|PF1|=|PF2|时,|PF1|?
|PF2|取最大值,2a210此时cosF1PF2取最小值21,令
a
2a2
10
2
a
解得a2=9,c5,∴b2=4,故所求P的轨迹方程为
1
9
2
x
9
2
y21.
4
(2)设N(s,t),M(x,y),则由DM故x=s,y=3+(t-3).
∵M、N在动点P的轨迹上,
DN,可得(x,y-3)=(s,t-3),
t2
4
消去s可得
又|t|2,
221且(s)2(t33)21且94t33)22t2
4
|1365|2,解得15
65
1,
2,解得t
135,
6
5,
1
的取值范围是[,5].
5为了求参数的取值范围,只要列出关于参数的不等式,而建立不等式的方法有多种方法,诸如:
判别式法、均值不等式法、有界性法等等.
【文】已知点M(-2,0),N(2,0),动点P满足条件|PM||PN|22.记动点P的W.Ⅰ)
故实数
点晴】
轨迹为
(
Ⅱ)
求W的方程;
若A,B是W上的不同两点,
的最小值.
O是坐标原点,求
M,N为焦点的双曲线的右支,
(
解:
(Ⅰ)依题意,点P的轨迹是以
22
所求方程为:
x-y=1
22
(Ⅱ)当直线AB的斜率不存在时,设直线AB的方程为x=x0,此时A(x0,x20-2),B(x0,-x02-2),OAOB=2当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=kx+b,22
x-y=1中,得:
(1-k2)x2-2kbx-b2-2=0
2
有两个不相等的正数根,设A(x1,y1),B(x2,y2),则
代入双曲线方程
2
依题意可知方程1
x1x2
x1x2
22
4k2b24(1
2kb
1k2
b22
20
22
k2)?
(b22)0
解得|k|1,
k1
OAOB=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+b)(kx2+b)
22k2+24
2=2+22
k2-1k2-1
22
=(1+k)x1x2+kb(x1+x2)+b
综上可知OAOB的最小值为2
范例2】给定点A(-2,2),已知B是椭圆
2
x
25
2
y1上的动点,F是右焦点,当
16
AB5BF取得最小值时,试求B点的坐标。
3
解析:
因为椭圆的
35,所以AB
53BF
AB1BF
e
,而1BF为动点e
到左准线的距离。
故本题可化为,在椭圆上求一点B,使得它到A点和左准线的距离之
和最小,过点B作l的垂线,垂点为N,过A作此准线的垂线,垂点为M,由椭圆定义
553
所以,当AB
53BF取得最小值时,B点坐标为(523,2)
点晴】在处理许多与焦点有关的距离和差最值问题时,常常用圆锥曲线的定义化
折为直,是一种简便而有效的好方法。
2
【文】点A(3,2)为定点,点F是抛物线y=4x2
的焦点,点P在抛物线y2=4x上移动,若|PA|+|PF|取得最小值,求点P的坐标。
2
解:
抛物线y2=4x的准线方程为x=-1,
设P到准线的距离为d,则|PA|+|PF|=|PA|+d。
要使|PA|+|PF|取得最小值,由图3可知过A点的直线与准线垂直时,|PA|+|PF|取得最小值,把y=22
代入y2=4x,得P(1,2)。
22
【范例3】已知P点在圆x2+(y-2)2=1上移动,Q2
x2
点在椭圆y21上移动,试求|PQ|的最大值。
9
解:
故先让Q点在椭圆上固定,显然当PQ通过圆心O1时|PQ|最大,因此要求|PQ|222
的最大值,只要求|O1Q|的最大值.设Q(x,y),则|O1Q|2=x2+(y-4)2①22
因Q在椭圆上,则x2=9(1-y2)②
2
2221将②代入①得|O1Q|2=9(1-y2)+(y-4)28y27
因为Q在椭圆上移动,所以-1y1,故当y12时,O1Qmax33此时PQmax331
点晴】1.与圆有关的最值问题往往与圆心有关;
2.函数法是我们探求解析几何最值问题的首选方法,其中所涉及到的函数最常见的
有二次函数等,值得.注.意.的.是.函.数.自.变.量.取.值.范.围.的.考.察.不.能.被.忽.视.
2x2文】设P是椭圆2y21a1短轴的一个端点,Q为椭圆上的一个动点,a
求|PQ|的最大值。
解:
依题意可设
22
所以x=a(1-y),|PQ|=a(1-y)+y-2y+1=(1-a)y-2y+1+a
21212
=(1-a)(y-2)-2+1+a.
1-a1-a
22
P(0,1),Q(x,y),则|PQ|=x2+(y-1)2,又因为Q在椭圆上,22222222
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- 圆锥曲线 中的 范围 问题 方法