空间几何体的表面积和体积练习题高考总复习.docx
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空间几何体的表面积和体积练习题高考总复习
第二节空间几何体的表面积和体积
一、选择题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)
1.设下图是某几何体的三视图,则该几何体的体积为()
A.9π+42
9
C.2π+12
B.36π+18
9
D.2π+18
解析该几何体是由一个球与一个长方体组成的组合体,球的直径为3,长方体的底面是边长为3的正方形,高为2,故所求体积为2×32+43π323=29π+18,故选D.
答案D
2.如图是一个几何体的三视图(侧视图中的弧线是半圆),则该几何体的表面积是()
B.24+3π
D.24+4π
A.20+3π
C.20+4π
解析由三视图可知该几何体为一组合体,上面是一个棱长为2
的正方体.下面是半个圆柱,其半径为1,母线为2.故S=5×22+π
+π×1×2=20+3π.
答案A
3.(2014·唐山市期末)某几何体的三视图如下图所示,则该几何
体的体积为()
答案B
4.一个几何体的三视图如下图所示,则该几何体外接球的表面
积为()
解析由三视图可知该几何体是底面边长为2,高为1的正三棱
柱.其外接球的球心为上下底面中心连线的中点.∴R2=12+
答案C
5.正六棱锥P—ABCDEF中,G为PB的中点,则三棱锥D—GAC
与三棱锥P—GAC体积之比为()
A.1:
1B.1:
2
C.2:
1D.3:
2
解析设棱锥的高为h,
11
VD—GAC=VG—DAC=3S△ADC·2h,
11hVP—GAC=2VP—ABC=VG—ABC=3S△ABC·2.
又S△ADCS△ABC=,故VD—GACVP—GAC=
答案C
6.已知球的直径SC=4,A,B是该球球面上的两点,AB=2,∠ASC=∠BSC=45°,则棱锥S-ABC的体积为()
A.33
C.43
C.3
解析如图,设球心为O,OS=OA=OC得∠SAC=90°,又∠ASC
22
=45°,所以AS=AC=2SC,同理BS=BC=2SC,可得SC⊥面AOB,则VS-ABC=31S△AOB·SC=31×3×4=433,故选C.
答案C
二、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)
7.若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面,则该圆锥的
体积为.
12·2rπ·l=2π,∴rl=2.
又∵2πl2=2π,∴l=2,∴r=1.
∴h=l2-r2=3,
∴V=31·π2·13=33π.
8.(2013·福建卷)已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体,如果该组合体的正视图、侧视图、俯视图均如图所示,且图中的四边形是边长为2的正方形,则该球的表面积是.
解析该球为一棱长为2的正方体的外接球,体对角线为球的直径,2R=22+22+22=23,所以该球的表面积为4πR2=12π.
答案12π
9.(2013·江苏卷)如图,在三棱柱A1B1C1—ABC中,D,E,F分
别是AB,AC,AA1的中点.设三棱锥F—ADE的体积为V1,三棱柱A1B1C1—ABC的体积为V2,则V1V2=.
解析设三棱柱A1B1C1—ABC的高为h,底面△ABC的面积为S,
11111V1=31×41S×12h=214Sh=214V2,所以V1V2=
答案
三、解答题(本大题共3小题,每小题10分,共30分)10.已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形,正视图是一个底
边长为8、高为4的等腰三角形,侧视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形.
(1)求该几何体的体积V;
(2)求该几何体的侧面积S.
解
(1)由该几何体的俯视图、正视图、侧视图可知,该几何体是四棱锥,且四棱锥的底面ABCD是相邻两边长分别为6和8的矩形,高HO=4,O点是AC与BD的交点,如图所示.
1
∴该几何体的体积V=3×8×6×4=64.
(2)如图所示,作OE⊥AB,OF⊥BC,侧面HAB中,HE=HO2+OE2
=42+32=5,
11∴S△HAB=2×AB×HE=2×8×5=20.
侧面HBC中,HF=HO2+OF2=42+42=42.∴S△HBC=12×BC×HF=12×6×42=122.
∴该几何体的侧面积S=2(S△HAB+S△HBC)=40+242.
11.(2014·滨州质检)一几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位:
m):
(1)试画出它的直观图;
(2)求它的表面积和体积.解
(1)直观图如图所示:
(2)方法1:
由三视图可知该几何体是长方体被截去一个角,且该
3几何体的体积是以A1A,A1D1,A1B1为棱的长方体的体积的4,在直
角梯形AA1B1B中,作BE⊥A1B1于E,则AA1EB是正方形,∴AA1=BE=1m.
在Rt△BEB1中,BE=1m,EB1=1m,∴BB1=2m.
∴几何体的表面积
S=S正方形AA1D1D+2S梯形AA1B1B+S矩形BB1C1C+S正方形
ABCD+S矩形A1B1C1D1
=1+2×12×(1+2)×1+1×2+1+1×2
=7+2(m2).
∴几何体的体积V=34×1×2×1=32(m3).
3∴该几何体的表面积为(7+2)m2,体积为32m3.
方法2:
几何体也可以看作是以AA1B1B为底面的直四棱柱,其表面积求法同方法1,
1
V直四棱柱D1C1CD-A1B1BA=Sh=2×(1+2)×1×1
12.如图,在四棱锥P—ABCD中,底面是直角梯形ABCD,其中AD⊥AB,CD∥AB,AB=4,CD=2,侧面PAD是边长为2的等边三角形,且与底面ABCD垂直,E为PA的中点.
(1)求证:
DE∥平面PBC;
(2)求三棱锥A—PBC的体积.
(1)证明:
如图,取AB的中点F,连接DF,EF.
在直角梯形ABCD中,
CD∥AB,且AB=4,CD=2,所以BF綊
CD.
所以四边形BCDF为平行四边形.
所以DF∥BC.
在△PAB中,PE=EA,AF=FB,所以EF∥PB.
又因为DF∩EF=F,PB∩BC=B,
所以平面DEF∥平面PBC.
因为DE?
平面DEF,所以DE∥平面PBC.
(2)取AD的中点O,连接PO.
在△PAD中,PA=PD=AD=2,
所以PO⊥AD,PO=3.
又因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,所以PO⊥平面ABCD.
在直角梯形ABCD中,CD∥AB,且AB=4,AD=2,AB⊥AD,所11
以S△ABC=2×AB×AD=2×4×2=4.
11
故三棱锥A—PBC的体积VA—PBC=VP—ABC=3×S△ABC×PO=3
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