三角函数公式全集合.docx

三角函数公式全集合.docx

《三角函数公式全集合.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《三角函数公式全集合.docx（16页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

三角函数公式全集合

三角函数

1.诱导公式

sin（-a）=-sin（a）

cos（-a）=cos（a）

sin（π/2-a）=cos（a）

cos（π/2-a）=sin（a）

sin（π/2+a）=cos（a）

cos（π/2+a）=-sin（a）

sin（π-a）=sin（a）

cos（π-a）=-cos（a）

sin（π+a）=-sin（a）

cos（π+a）=-cos（a）

2.两角和与差的三角函数

sin（a+b）=sin（a）cos（b）+cos（α）sin（b）

cos（a+b）=cos（a）cos（b）-sin（a）sin（b）

sin（a-b）=sin（a）cos（b）-cos（a）sin（b）

cos（a-b）=cos（a）cos（b）+sin（a）sin（b）

tan（a+b）=[tan（a）+tan（b）]/[1-tan（a）tan（b）]

tan（a-b）=[tan（a）-tan（b）]/[1+tan（a）tan（b）]

3.和差化积公式

sin（a）+sin（b）=2sin[（a+b）/2]cos[（a-b）/2]

sin（a）-sin（b）=2sin[（a-b）/2]cos[（a+b）/2]

cos（a）+cos（b）=2cos[（a+b）/2]cos[（a-b）/2]

cos（a）-cos（b）=-2sin[（a+b）/2]sin[（a-b）/2]

4.积化和差公式

sin（a）sin（b）=-1/2[cos（a+b）-cos（a-b）]

cos（a）cos（b）=1/2[cos（a+b）+cos（a-b）]

sin（a）cos（b）=1/2[sin（a+b）+sin（a-b）]

5.二倍角公式

sin（2a）=2sin（a）cos（a）

cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a

6.半角公式

sin2a=（1–cos2a）/2

cos2a=（1+cos2a）/2

tana=[1–cos2a]/sin2a=sin2a/[1+cos2a]

7.万能公式

sin（a）=2tan（a/2）/[1+tan2（a/2）]

cos（a）=[1-tan2（a/2）]/[1+tan2（a/2）]

tan（a）=2tan（a/2）/[1-tan2（a/2）]

三角函数公式

三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。

它们的本质是任何角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。

通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的。

其定义城为整个实数城。

另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。

现代数学把它们描述成无穷敖列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。

公式分类同角三角函数的基本关系平常针对不同条件的常用的两个公式一个特殊公式坡度公式锐角三角函数公式二倍角公式

三倍角公式三倍角公式半角公式万能公式

其他四倍角公式五倍角公式

六倍角公式七倍角公式

八倍角公式九倍角公式十倍角公式

N倍角公式半角公式两角和公式

三角和公式和差化积

积化和差双曲函数三角函数的诱导公式（六公式）

万能公式其它公式

容规律公式分类同角三角函数的基本关系平常针对不同条件的常用的两个公式

一个特殊公式坡度公式

锐角三角函数公式二倍角公式

三倍角公式三倍角公式半角公式

万能公式其他

四倍角公式五倍角公式六倍角公式七倍角公式八倍角公式九倍角公式十倍角公式N倍角公式半角公式两角和公式三角和公式和差化积积化和差

双曲函数三角函数的诱导公式（六公式）

万能公式其它公式容规律

展开

编辑本段公式分类

同角三角函数的基本关系

　　倒数关系：

　　tanα·cotα=1

　　sinα·cscα=1

　　cosα·secα=1

　　商的关系：

　　sinα/cosα=tanα=secα/cscα

　　平方关系：

平常针对不同条件的常用的两个公式

一个特殊公式

　　（sina+sinθ）*（sina-sinθ）=sin（a+θ）*sin（a-θ）

　　证明：

（sina+sinθ）*（sina-sinθ）=2sin[（θ+a）/2]cos[（a-θ）/2]*2cos[（θ+a）/2]sin[（a-θ）/2]

　　=sin（a+θ）*sin（a-θ）

坡度公式

　　我们通常把坡面的铅直高度h与水平高度l的比叫做坡度（也叫坡比），用字母i表示，

　　即i=h/l,坡度的一般形式写成l:

m形式，如i=1:

5.如果把坡面与水平面的夹角记作

　　a（叫做坡角），那么i=h/l=tana.

锐角三角函数公式

　　正弦：

sinα=∠α的对边/∠α的斜边

　　余弦：

cosα=∠α的邻边/∠α的斜边

　　正切：

tanα=∠α的对边/∠α的邻边

　　余切：

cotα=∠α的邻边/∠α的对边

二倍角公式

　　正弦

　　sin2A=2sinA·cosA

　　余弦

正切

　　tan2A=（2tanA）/（1-tan^2（A））

三倍角公式

三倍角公式

　　sin3α=4sinα·sin（π/3+α）sin（π/3-α）

　　cos3α=4cosα·cos（π/3+α）cos（π/3-α）

　　tan3a=tana·tan（π/3+a）·tan（π/3-a）

　　三倍角公式推导　

　　sin（3a）

　　=sin（a+2a）

　　=sin2acosa+cos2asina

　　=2sina（1-sina）+（1-2sina）sina

　　=3sina-4sin^3a

　　cos3a

　　=cos（2a+a）

　　=cos2acosa-sin2asina

　　=（2cosa-1）cosa-2（1-cos^a）cosa

　　=4cos^3a-3cosa

　　sin3a=3sina-4sin^3a

　　=4sina（3/4-sina）

　　=4sina[（√3/2）-sina]

　　=4sina（sin60°-sina）

　　=4sina（sin60°+sina）（sin60°-sina）

　　=4sina*2sin[（60+a）/2]cos[（60°-a）/2]*2sin[（60°-a）/2]cos[（60°-a）/2]

　　=4sinasin（60°+a）sin（60°-a）

　　cos3a=4cos^3a-3cosa

　　=4cosa（cosa-3/4）

　　=4cosa[cosa-（√3/2）^2]

　　=4cosa（cosa-cos30°）

　　=4cosa（cosa+cos30°）（cosa-cos30°）

　　=4cosa*2cos[（a+30°）/2]cos[（a-30°）/2]*{-2sin[（a+30°）/2]sin[（a-30°）/2]}

　　=-4cosasin（a+30°）sin（a-30°）

　　=-4cosasin[90°-（60°-a）]sin[-90°+（60°+a）]

　　=-4cosacos（60°-a）[-cos（60°+a）]

　　=4cosacos（60°-a）cos（60°+a）

　　上述两式相比可得

　　tan3a=tanatan（60°-a）tan（60°+a）

　　现列出公式如下：

　　sin2α=2sinαcosαtan2α=2tanα/（1-tanα）cos2α=cosα-sinα=2cosα-1=1-2sinα　

　　可别轻视这些字符，它们在数学学习中会起到重要作用，包括在一些图像问题和函数问题中

三倍角公式

　　sin3α=3sinα-4sinα=4sinα·sin（π/3+α）sin（π/3-α）cos3α=4cosα-3cosα=4cosα·cos（π/3+α）cos（π/3-α）tan3α=tan（α）*（-3+tan（α）^2）/（-1+3*tan（α）^2）=tana·tan（π/3+a）·tan（π/3-a）

半角公式

　　sin^2（α/2）=（1-cosα）/2

　　cos^2（α/2）=（1+cosα）/2

　　tan^2（α/2）=（1-cosα）/（1+cosα）

　　tan（α/2）=sinα/（1+cosα）=（1-cosα）/sinα

万能公式

　　sinα=2tan（α/2）/[1+tan（α/2）]

　　cosα=[1-tan（α/2）]/[1+tan^2（α/2）]

　　tanα=2tan（α/2）/[1-tan&s（α/2）]

其他

　　sinα+sin（α+2π/n）+sin（α+2π*2/n）+sin（α+2π*3/n）+……+sin[α+2π*（n-1）/n]=0

　　cosα+cos（α+2π/n）+cos（α+2π*2/n）+cos（α+2π*3/n）+……+cos[α+2π*（n-1）/n]=0以及

　　sin^2（α）+sin^2（α-2π/3）+sin^2（α+2π/3）=3/2

　　tanAtanBtan（A+B）+tanA+tanB-tan（A+B）=0

四倍角公式

　　sin4A=-4*（cosA*sinA*（2*sinA^2-1））

　　cos4A=1+（-8*cosA^2+8*cosA^4）

　　tan4A=（4*tanA-4*tanA^3）/（1-6*tanA^2+tanA^4）

五倍角公式

　　sin5A=16sinA^5-20sinA^3+5sinAcos5A=16cosA^5-20cosA^3+5cosAtan5A=tanA*（5-10*tanA^2+tanA^4）/（1-10*tanA^2+5*tanA^4）

六倍角公式

　　sin6A=2*（cosA*sinA*（2*sinA+1）*（2*sinA-1）*（-3+4*sinA^2））

　　cos6A=（（-1+2*cosA）*（16*cosA^4-16*cosA^2+1））

　　tan6A=（-6*tanA+20*tanA^3-6*tanA^5）/（-1+15*tanA-15*tanA^4+tanA^6）

七倍角公式

　　sin7A=-（sinA*（56*sinA^2-112*sinA^4-7+64*sinA^6））

　　cos7A=（cosA*（56*cosA^2-112*cosA^4+64*cosA^6-7））

　　tan7A=tanA*（-7+35*tanA^2-21*tanA^4+tanA^6）/（-1+21*tanA^2-35*tanA^4+7*tanA^6）

八倍角公式

　　sin8A=-8*（cosA*sinA*（2*sinA^2-1）*（-8*sinA^2+8*sinA^4+1））cos8A=1+（160*cosA^4-256*cosA^6+128*cosA^8-32*cosA^2）tan8A=-8*tanA*（-1+7*tanA^2-7*tanA^4+tanA^6）/（1-28*tanA^2+70*tanA^4-28*tanA^6+tanA^8）

九倍角公式

　　sin9A=（sinA*（-3+4*sinA^2）*（64*sinA^6-96*sinA^4+36*sinA^2-3））cos9A=（cosA*（-3+4*cosA^2）*（64*cosA^6-96*cosA^4+36*cosA^2-3））tan9A=tanA*（9-84*tanA^2+*tanA^4-36*tanA^6+tanA^8）/（1-36*tanA^2+*tanA^4-84*tanA^6+9*tanA^8）

十倍角公式

　　sin10A=2*（cosA*sinA*（4*sinA^2+2*sinA-1）*（4*sinA^2-2*sinA-1）*（-20*sinA^2+5+16*sinA^4））

　　cos10A=（（-1+2*cosA^2）*（256*cosA^8-512*cosA^6+304*cosA^4-48*cosA^2+1））

　　tan10A=-2*tanA*（5-60*tanA^2+*tanA^4-60*tanA^6+5*tanA^8）/（-1+45*tanA^2-210*tanA^4+210*tanA^6-45*tanA^8+tanA^10）

N倍角公式

　　根据棣美弗定理，（cosθ+isinθ）^n=cos（nθ）+isin（nθ）

　　为方便描述，令sinθ=s，cosθ=c

　　考虑n为正整数的情形：

　　cos（nθ）+isin（nθ）=（c+is）^n=C（n,0）*c^n+C（n,2）*c^（n-2）*（is）^2+C（n,4）*c^（n-4）*（is）^4+...…+C（n,1）*c^（n-1）*（is）^1+C（n,3）*c^（n-3）*（is）^3+C（n,5）*c^（n-5）*（is）^5+...…=>比较两边的实部与虚部

　　实部：

cos（nθ）=C（n,0）*c^n+C（n,2）*c^（n-2）*（is）^2+C（n,4）*c^（n-4）*（is）^4+...…i*

　　（虚部）：

i*sin（nθ）=C（n,1）*c^（n-1）*（is）^1+C（n,3）*c^（n-3）*（is）^3+C（n,5）*c^（n-5）*（is）^5+...…　

　　对所有的自然数n：

　　1.cos（nθ）：

　　公式中出现的s都是偶次方，而s^2=1-c^2（平方关系），因此全部都可以改成以c（也就是cosθ）表示。

　　2.sin（nθ）：

（1）当n是奇数时：

公式中出现的c都是偶次方，而c^2=1-s^2（平方关系），因此全部都可以改成以s（也就是sinθ）表示。

（2）当n是偶数时：

公式中出现的c都是奇次方，而c^2=1-s^2（平方关系），因此即使再怎么换成s，都至少会剩c（也就是cosθ）的一次方无法消掉。

　　（例.c^3=c*c^2=c*（1-s^2），c^5=c*（c^2）^2=c*（1-s^2）^2）

半角公式

　　tan（A/2）=（1-cosA）/sinA=sinA/（1+cosA）

　　sin^2（a/2）=（1-cos（a））/2

　　cos^2（a/2）=（1+cos（a））/2

　　tan（a/2）=（1-cos（a））/sin（a）=sin（a）/（1+cos（a））

半角公式

两角和公式

两角和公式

　　cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ

　　cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ

　　sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ

　　sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ

　　tan（α+β）=（tanα+tanβ）/（1-tanαtanβ）

　　tan（α-β）=（tanα-tanβ）/（1+tanαtanβ）

　　cot（A+B）=（cotAcotB-1）/（cotB+cotA）

　　cot（A-B）=（cotAcotB+1）/（cotB-cotA）

三角和公式

　　sin（α+β+γ）=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ

　　cos（α+β+γ）=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ

　　tan（α+β+γ）=（tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ）/（1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα）

和差化积

　　sinθ+sinφ=2sin[（θ+φ）/2]cos[（θ-φ）/2]

和差化积公式

sinθ-sinφ=2cos[（θ+φ）/2]sin[（θ-φ）/2]

　　cosθ+cosφ=2cos[（θ+φ）/2]cos[（θ-φ）/2]

　　cosθ-cosφ=-2sin[（θ+φ）/2]sin[（θ-φ）/2]

　　tanA+tanB=sin（A+B）/cosAcosB=tan（A+B）（1-tanAtanB）

　　tanA-tanB=sin（A-B）/cosAcosB=tan（A-B）（1+tanAtanB）

积化和差

　　sinαsinβ=-[cos（α+β）-cos（α-β）]/2

　　cosαcosβ=[cos（α+β）+cos（α-β）]/2

　　sinαcosβ=[sin（α+β）+sin（α-β）]/2

　　cosαsinβ=[sin（α+β）-sin（α-β）]/2

双曲函数

　　sha=[e^a-e^（-a）]/2

　　cha=[e^a+e^（-a）]/2

　　tha=sinh（a）/cosh（a）

　　公式一：

　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：

　　sin（2kπ+α）=sinα

　　cos（2kπ+α）=cosα

　　tan（2kπ+α）=tanα

　　cot（2kπ+α）=cotα

　　公式二：

　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：

　　sin（π+α）=-sinα

　　cos（π+α）=-cosα

　　tan（π+α）=tanα

　　cot（π+α）=cotα

　　公式三：

　　任意角α与-α的三角函数值之间的关系：

　　sin（-α）=-sinα

　　cos（-α）=cosα

　　tan（-α）=-tanα

　　cot（-α）=-cotα

　　公式四：

　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：

　　sin（π-α）=sinα

　　cos（π-α）=-cosα

　　tan（π-α）=-tanα

　　cot（π-α）=-cotα

　　公式五：

　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：

　　sin（2π-α）=-sinα

　　cos（2π-α）=cosα

　　tan（2π-α）=-tanα

　　cot（2π-α）=-cotα

　　公式六：

　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：

　　sin（π/2+α）=cosα

　　cos（π/2+α）=-sinα

　　tan（π/2+α）=-cotα

　　cot（π/2+α）=-tanα

　　sin（π/2-α）=cosα

　　cos（π/2-α）=sinα

　　tan（π/2-α）=cotα

　　cot（π/2-α）=tanα

　　sin（3π/2+α）=-cosα

　　cos（3π/2+α）=sinα

　　tan（3π/2+α）=-cotα

　　cot（3π/2+α）=-tanα

　　sin（3π/2-α）=-cosα

　　cos（3π/2-α）=-sinα

　　tan（3π/2-α）=cotα

　　cot（3π/2-α）=tanα

　　（以上k∈Z）

　　A·sin（ωt+θ）+B·sin（ωt+φ）=

　　√{（A+2ABcos（θ-φ）}·sin{ωt+arcsin[（A·sinθ+B·sinφ）/√{A^2+B^2+2ABcos（θ-φ）}}

　　√表示根号,包括{……}中的容

三角函数的诱导公式（六公式）

　　公式一：

　　sin（-α）=-sinα

　　cos（-α）=cosα

　　tan（-α）=-tanα

　　公式二：

　　sin（π/2-α）=cosα

　　cos（π/2-α）=sinα

　　公式三：

　　sin（π/2+α）=cosα

　　cos（π/2+α）=-sinα

　　公式四：

　　sin（π-α）=sinα

　　cos（π-α）=-cosα

　　公式五：

　　sin（π+α）=-sinα

　　cos（π+α）=-cosα

　　公式六：

　　tanA=sinA/cosA

　　tan（π/2+α）=－cotα

　　tan（π/2－α）=cotα

　　tan（π－α）=－tanα

　　tan（π+α）=tanα

　　诱导公式记背诀窍：

奇变偶不变，符号看象限

万能公式

万能公式

　　sinα=2tan（α/2）/[1+（tan（α/2））]

　　cosα=[1-（tan（α/2））]/[1+（tan（α/2）]

　　tanα=2tan（α/2）/[1-（tan（α/2））]

其它公式

三角函数其它公式

（1）（sinα）^2+（cosα）^2=1（平方和公式）

（2）1+（tanα）^2=（secα）^2

　　（3）1+（cotα）^2=（cscα）^2

　　证明下面两式，只需将一式,左右同除（sinα）^2，第二个除（cosα）^2即可

　　（4）对于任意非直角三角形，总有

　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

　　证：

　　A+B=π-C

　　tan（A+B）=tan（π-C）

　　（tanA+tanB）/（1-tanAtanB）=（tanπ-tanC）/（1+tanπtanC）

　　整理可得

　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

　　得证

　　同样可以得证,当x+y+z=nπ（n∈Z）时，该关系式也成立

　　由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下结论

　　（5）cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1

　　（6）cot（A/2）+cot（B/2）+cot（C/2）=cot（A/2）cot（B/2）cot（C/2）

　　（7）（cosA）^2+（cosB）^2+（cosC）^2=1-2cosAcosBcosC

　　（8）（sinA）^2+（sinB）^2+（sinC）^2=2+2cosAcosBcosC

　　其他非重点三角函数　

　　csc（a）=