关于高等数学答案.docx

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关于高等数学答案

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【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】

关于高等数学答案

第六章定积分的应用

第二节定积分在几何上的应用

1求图中各阴影部分的面积

（1）

.

（2）1

（3）

（4）

2.求由下列各曲线所围成的图形的面积

（1）

（2）

（3）

（4）

3

4

（1）

（2）4

5

（1）a2

（2）

（3）

6

（1）

（2）

（3）

7．求下列已知曲线所围成的图形按指定的轴旋转所产生的旋转体的体积：

（1）

（2）

（3）

（4）xy=1和y=4x、x=2、y=0，绕。

（5）摆线

8．由yx3x2y0所围成的图形分别绕x轴及y轴旋转计算所得两个旋转体的体积

9．把星形线

所围成的图形绕x轴旋转计算所得旋转体的体积

10．

（1）证明由平面图形0axb0yf（x）绕y轴旋转所成的旋转体的体积为

证明略。

（2）利用题

（1）结论计算曲线ysinx（0x）和x轴所围成的图形绕y轴旋转所得旋转体的体积

11．计算底面是半径为R的圆而垂直于底面上一条固定

直径的所有截面都是等边三角形的立体体积

12．计算曲线

上相应于

的一段弧的弧长。

13．计算曲线

上相应于

的一段弧的弧长。

14．求星型线

的全长。

6a

15．求曲线

的周长。

8a

第三节定积分的应用

1由实验知道弹簧在拉伸过程中需要的力F（单位N）与伸长量s（单位cm）成正比即Fks（k为比例常数）如果把弹簧由原长拉伸6cm计算所作的功18k（牛厘米）

解将弹簧一端固定于A另一端在自由长度时的点O为坐标原点建立坐标系功元素为dWksds所求功为

k（牛厘米）

2．直径为20cm、高80cm的圆柱体内充满压强为10N/cm2的蒸汽设温度保持不变要使蒸汽体积缩小一半问需要作多少功

（J）

解由玻马定律知

设蒸气在圆柱体内变化时底面积不变高度减小x厘米时压强为P（x）牛/厘米2则

功元素为

所求功为

（J）

3．设地球的质量为M，半径为R，现要将一个质量为m的物体从地球表面升高到h处，问需要做多少功（设引力系数为G）

4．半径为R的圆柱体沿固定水平面做纯滚动，试分别求圆心C沿其轨迹移动的距离S时，作用于其上的静滑动摩擦力和滚动摩阻力偶的功

解圆柱体做平面运动，由运动学知，点B为圆柱体的速度瞬心，由式（11-16）知圆柱体沿固定面做纯滚动时，静滑动摩擦力的功为零。

滚动摩阻力偶的功可利用滚动摩阻力偶矩M=

来计算所以它的元功为

=-

如

及R均为常量，滚动一段路程S后滚动摩阻力偶的功为

W=

-

=-

可见滚动摩阻力偶的功为负功，且其绝对值

与圆柱半径成反比

5．设一锥形贮水池深15m口径20m盛满水今以唧筒将水吸尽问要作多少功

解在水深x处水平截面半径为

功元素为

所求功为

1875（吨米）（kJ）

6有一闸门它的形状和尺寸如图水面超过门顶2m求闸门上所受的水压力2058（kN）

解建立x轴方向向下原点在水面

水压力元素为

闸门上所受的水压力为

（吨）=2058（kN）

7洒水车上的水箱是一个横放的椭圆柱体尺寸如图所示当水箱装满水时计算水箱的一个端面所受的压力（kN）

解建立坐标系如图则椭圆的方程为

压力元素为

所求压力为

（吨）（kN）

（提示积分中所作的变换为

）

8有一等腰梯形闸门它的两条底边各长10m和6m高为20m较长的底边与水面相齐计算闸门的一侧所受的水压力14388（千牛）

解建立坐标系如图直线AB的方程为

压力元素为

所求压力为

（吨）14388（千牛）

9．一底为8cm、高为6cm的等腰三角形片铅直地沉没在水中顶在上底在下且与水面平行而顶离水面3cm试求它每面所受的压力

解建立坐标系如图

腰AC的方程为

压力元素为

所求压力为

（克）（牛）

10设有一长度为l、线密度为的均匀细直棒在与棒的一端垂直距离为a单位处有一质量为m的质点M试求这细棒对质点M的引力

解建立坐标系如图在细直棒上取一小段dy引力元素为

dF在x轴方向和y轴方向上的分力分别为

总复习题六

1．填空题：

（1）曲线

与

直线围成所界区域的面积为

（2）曲线

与直线

所界区域的面积为18

（3）曲线

上相应于

的一段弧长为4

（4）圆盘

绕xb（b>a>0）旋转所成旋转体的体积

（5）一圆盘的半径为

，而密度为

，其中

为圆盘上一点到圆心的距离，则其质量M

（6）半径为的球沉入水中，它与水面相切，密度与水相同，若将球从水中取出，则做的功。

2．求抛物线

与

轴所围成图形的面积。

3．求抛物线

与

所围成图形的面积。

4．求圆

的面积、圆周长。

5．求双纽线

的面积。

6．求心脏线

绕极轴旋转所成旋转体体积。

7．求摆线

与

轴围成图形的面积，弧长，绕

轴旋转体体积。

8．求悬链线

下的曲边梯形的面积，弧长，绕

轴旋转体体积。

9．抛物线

绕

轴旋转所得旋转抛物面的体积。

10．证明曲线

的一个周期的弧长等于椭圆

的周长。

11．求椭球体

的体积。

12．设有一半径为

，长度为

的圆柱体平放在深度为

的水池中（圆柱体的侧面与水面相切）。

设圆柱体的比重为

，现将圆柱体从水中移出水面，问需做多少功

13．一块高为

，底为

的等腰三角形薄板，垂直地沉没在水中，顶在下，底与水面相齐，试计算薄板每面所受的压力。

14．用铁锤将一铁钉击入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉击入木板的深度成正比，在铁锤击第一次时能将铁钉击入木板内

，如果铁锤每次打击铁钉所做的功相等，问铁锤击第二次时，能将铁钉又击入多少

答案：

2．解：

令

得

。

故抛物线与

轴交点为

及

，所求图形为

轴上半部分。

。

3．解：

两条抛物线交点为

。

则

。

4．解：

由对称性，只需考虑第一象限，

；

故圆面积为

。

由圆的参数方程

，求周长只需考虑第一象限，

；

圆周长

。

5．解：

。

6．解：

。

7．解：

；

；

8．解：

；

；

。

9．解：

。

10．证：

曲线

的一个周期的弧长为

；

对于椭圆

，由于其参数方程为

故

；

可见

。

11．解：

用垂直于

轴的平面截椭球，交

轴于

，所得截面为椭圆

即

于是此椭圆的面积为

，

从而椭球体的体积为

。

12．解：

建立如图所示坐标系，把平放的圆柱

体从水中移出，相当把每一个水平薄板提高

，

所做的功包括将薄板提升到水面提升力所做的功

及从水面提高到

高度提升力所做的功之和；

水下部分提升力

，

所以

水上部分提升力

，

故

，

因此

。

13．解：

如图所示，取水平面上的底为

轴，则

直线的方程为

所以

x

，

故此三角形板每面所受压力为

。

y

14．解：

设击入深度为

，则

，击第一次时所做的功为

，

设在第二次锤击时，铁钉击入木板内总深度H，则第二次锤击所做的功为

，

由于

所以

第二次击入的深度为

。