浙江高考一轮 第9章 第5节 古典概型.docx
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浙江高考一轮第9章第5节古典概型
第五节 古典概型
1.基本事件的特点
(1)任何两个基本事件是互斥的.
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.
2.古典概型
具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型,简称古典概型.
(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个.
(2)每个基本事件出现的可能性相等.
3.如果一次试验中可能出现的结果有n个,而且所有结果出现的可能性都相等,那么每一个基本事件的概率都是
;如果某个事件A包括的结果有m个,那么事件A的概率P(A)=
.
4.古典概型的概率公式
P(A)=
.
1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)“在适宜条件下,种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型,其基本事件是“发芽与不发芽”.( )
(2)掷一枚硬币两次,出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”,这三个结果是等可能事件.( )
(3)从-3,-2,-1,0,1,2中任取一数,取到的数小于0与不小于0的可能性相同.( )
(4)利用古典概型的概率可求“在边长为2的正方形内任取一点,这点到正方形中心距离小于或等于1”的概率.( )
[答案]
(1)×
(2)× (3)√ (4)×
2.(教材改编)下列试验中,是古典概型的个数为( )
①向上抛一枚质地不均匀的硬币,观察正面向上的概率;
②向正方形ABCD内,任意抛掷一点P,点P恰与点C重合;
③从1,2,3,4四个数中,任取两个数,求所取两数之一是2的概率;
④在线段[0,5]上任取一点,求此点小于2的概率.
A.0B.1
C.2 D.3
B [由古典概型的意义和特点知,只有③是古典概型.]
3.小敏打开计算机时,忘记了开机密码的前两位,只记得第一位是M,I,N中的一个字母,第二位是1,2,3,4,5中的一个数字,则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是( )【导学号:
51062346】
A.
B.
C.
D.
C [∵Ω={(M,1),(M,2),(M,3),(M,4),(M,5),(I,1),(I,2),(I,3),(I,4),(I,5),(N,1),(N,2),(N,3),(N,4),(N,5)},
∴事件总数有15种.
∵正确的开机密码只有1种,∴P=
.]
4.如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这3个数为一组勾股数,从1,2,3,4,5中任取3个不同的数,则这3个数构成一组勾股数的概率为( )
A.
B.
C.
D.
C [从1,2,3,4,5中任取3个不同的数共有如下10个不同的结果:
(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5),其中勾股数只有(3,4,5),所以概率为
.故选C.]
5.甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种,则他们选择相同颜色运动服的概率为________.
[由乘法计数原理,两人各选一种运动服有3×3=9种方法,
其中同色的有3种情况.
所以所求事件的概率P=
=
.]
简单古典概型的概率
(1)(2017·舟山质检)袋中共有15个除了颜色外完全相同的球,其中有10个白球,5个红球.从袋中任取2个球,所取的2个球中恰有1个白球,1个红球的概率为( )
A.
B.
C.
D.1
(2)袋中有形状、大小都相同的4只球,其中1只白球,1只红球,2只黄球.从中一次随机摸出2只球,则这2只球颜色不同的概率为______.
(1)B
(2)
[
(1)从袋中任取2个球共有C
=105种取法,其中恰好1个白球,1个红球共有C
C
=50种取法,所以所取的球恰好1个白球1个红球的概率为
=
.
(2)由古典概型概率公式,得所求事件的概率为P=
=
.]
[规律方法] 1.计算古典概型事件的概率可分三步:
(1)计算基本事件总个数n;
(2)计算事件A所包含的基本事件的个数m;(3)代入公式求出概率P.
2.确定基本事件个数的方法:
(1)基本事件较少的古典概型,用列举法写出所有基本事件时,可借助“树状图”列举,以便做到不重、不漏.
(2)利用计数原理、排列与组合的有关知识计算基本事件.
[变式训练1]
(1)从正方形四个顶点及其中心这5个点中,任取2个点,则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为( )
A.
B.
C.
D.
(2)将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次,则出现向上的点数之和小于10的概率是________.
(1)C
(2)
[
(1)设正方形的四个顶点分别是A,B,C,D,中心为O,从这5个点中,任取两个点的事件分别为AB,AC,AD,AO,BC,BD,BO,CD,CO,DO,共有10种,其中只有顶点到中心O的距离小于正方形的边长,分别是AO,BO,CO,DO,共有4种.
所以所求事件的概率P=1-
=
.
(2)将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次,所有等可能的结果有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),…,(6,6),共36种情况.设事件A=“出现向上的点数之和小于10”,其对立事件
=“出现向上的点数之和大于或等于10”,
包含的可能结果有(4,6),(5,5),(5,6),(6,4),(6,5),(6,6),共6种情况.所以由古典概型的概率公式,得P(
)=
=
,所以P(A)=1-
=
.]
古典概型的概率公式的应用
某市A,B两所中学的学生组队参加辩论赛,A中学推荐了3名男生、2名女生,B中学推荐了3名男生、4名女生,两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当,从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队.
(1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率;
(2)某场比赛前,从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛,求参赛女生人数不少于2人的概率.【导学号:
51062347】
[解]
(1)由题意,参加集训的男、女生各有6名.
参赛学生全从B中学抽取(等价于A中学没有学生入选代表队)的概率为
=
.3分
因此,A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1-
=
.6分
(2)设参赛的4人中女生有ξ人,ξ=1,2,3.
则P(ξ=2)=
=
,P(ξ=3)=
=
.10分
由互斥事件的概率加法公式可知,
P(ξ≥2)=P(ξ=2)+P(ξ=3)=
+
=
,
故所求事件的概率为
.15分
[规律方法] 1.求较复杂事件的概率问题,解题关键是理解题目的实际含义,把实际问题转化为概率模型,必要时将所求事件转化成彼此互斥事件的和,或者先求其对立事件的概率,进而再用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式求解.
2.注意区分排列与组合,以及计数原理的正确使用.
[变式训练2] 某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图951所示的转盘两次,每次转动后,待转盘停止转动时,记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为x,y.奖励规则如下:
图951
①若xy≤3,则奖励玩具一个;
②若xy≥8,则奖励水杯一个;
③其余情况奖励饮料一瓶.
假设转盘质地均匀,四个区域划分均匀.小亮准备参加此项活动.
(1)求小亮获得玩具的概率;
(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小,并说明理由.
[解] 用数对(x,y)表示儿童参加活动先后记录的数,则基本事件空间Ω与点集S={(x,y)|x∈N,y∈N,1≤x≤4,1≤y≤4}一一对应.
因为S中元素的个数是4×4=16,
所以基本事件总数n=16.3分
(1)记“xy≤3”为事件A,则事件A包含的基本事件数共5个,即(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1).
所以P(A)=
,即小亮获得玩具的概率为
.6分
(2)记“xy≥8”为事件B,“3 则事件B包含的基本事件数共6个,即(2,4),(3,3),(3,4),(4,2),(4,3),(4,4),所以P(B)= = .9分 事件C包含的基本事件数共5个, 即(1,4),(2,2),(2,3),(3,2),(4,1).12分 所以P(C)= .因为 > , 所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.15分 复杂的古典概型 在一次大型运动会期间,某报刊媒体要选择两名记者去进行专题采访,现有记者编号分别为1,2,3,4,5的五名男记者和编号分别为6,7,8,9的四名女记者.要从这九名记者中一次随机选出两名,每名记者被选到的概率是相等的,用符号(x,y)表示事件“抽到的两名记者的编号分别为x,y,且x [解] 总的基本事件有C =36(个),记事件“所抽取的记者的编号之和小于17但不小于11”为事件A,即事件A为“x,y∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9},且11≤x+y<17,其中x (2,9),(3,8),(3,9),(4,7),(4,8),(4,9),(5,6),(5,7),(5,8),(5,9),(6,7),(6,8),(6,9),(7,8),(7,9),共15个.“都是男记者”记作事件B,则事件B为“x (1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共10个.13分 故P(A)+P(B)= + = .15分 [规律方法] 1.本题属于求较复杂事件的概率问题,解题关键是理解题目的实际含义,把实际问题转化为概率模型.必要时将所求事件转化成彼此互斥的事件的和,或者先求其对立事件的概率,进而再用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式求解. 2.在求基本事件总数和所求事件包含的基本事件数时,要保证计数的一致性,就是在计算基本事件数时,都按排列数求,或都按组合数求. [变式训练3] 将一颗骰子先后抛掷2次,观察向上的点数,求: (1)两数中至少有一个为奇数的概率; (2)以第一次向上点数为横坐标x,第二次向上的点数为纵坐标y的点(x,y)在圆x2+y2=15的外部或圆上的概率.【导学号: 51062348】 [解] 一颗骰子先后抛掷2次,有6×6=36个基本事件.2分 (1)记“两数中至少有一个为奇数”为事件B,则事件B与“两数均为偶数”为对立事件,记为 .又 发生时,有m=C ×C =9个基本事件.4分 ∴P( )= = = , 则P(B)=1-P( )= . 因此,两数中至少有一个奇数的概率为 .6分 (2)点(x,y)在圆x2+y2=15的内部记为事件C,则 表示“点(x,y)在圆x2+y2=15上或圆的外部”.8分 又事件C包含基本事件为(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),共有8个.10分 ∴P(C)= = ,从而P( )=1-P(C)=1- = . ∴点(x,y)在圆x2+y2=15上或圆外部的概率为 .15分 [思想与方法] 1.古典概型计算三步曲 第一,本试验是不是等可能的;第二,本试验的基本事件有多少个;第三,事件A是什么,它包含的基本事件有多少个. 2.确
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