中考数学二次函数分类整理压轴模型讲义.docx

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中考数学二次函数分类整理压轴模型讲义

二次函数常见压轴模型

y=

（以下几种分类的函数解析式就是这个）

类型一：

和最小，差最大

1、在对称轴上找一点P，使得PB+PC的和最小，求出P点坐标

2、在对称轴上找一点P，使得PB-PC的差最大，求出P点坐标

类型二：

求面积最大

1、连接AC,在第四象限找一点P，使得

面积最大，求出P坐标

2、连接AC,在第二象限找一点P，使得

面积最大，求出P坐标

类型三：

讨论直角三角

连接AC,在对称轴上找一点P，使得

为直角三角形，求出P坐标

或者在抛物线上求点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形．

类型四：

讨论等腰三角

连接AC,在对称轴上找一点P，使得

为等腰三角形，求出P坐标

类型五：

讨论平行四边形

1、点E在抛物线的对称轴上，点F在抛物线上，且以B，A，F，E四点为顶点的四边形为平行四边形，求点F的坐标

2、这里小改动，把C（0，-3）改成C（2，-3）

连接BC,在x轴上找一个点F，抛物线上找一点P，使得以B、C、F、G为顶点的四边形构成平行四边形

类型六：

相似三角形存在问题

问抛物线上是否存在一动点P,Q是直线AC上方抛物线上的一动点，过点Q作QE⊥X轴，垂足为E，否存在以B、Q、E为顶点的△BQE与△AOC相似？

用相似解决二次函数

【典型例题】（2016济南中考）如图1，抛物线y＝ax2＋（a＋3）x＋3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜4），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．

（1）求a的值和直线AB的函数表达式；

（2）设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，若

＝

，求m的値；

（3）如图2，在

（2）的条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E′A、E′B，求E′A＋

E′B的最小值．

【对点演练】

2、（2017一模）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝

x－

与抛物线y＝－

x2＋bx＋c交于A、B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为－8．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为C，交直线AB于点D，作PE⊥AB于点E．

①设△PDE的周长为l，点P的横坐标为x，求l关于x的函数关系式，并求出l的最大值；

②连接PA，以PA为边作正方形APFG．随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变．当顶点F或G恰好落在y轴上时，直接写出对应的点P的坐标．

3.（2017一模）（本小题满分9分）如图，抛物线

与x轴分别交于点A（—2，0）点F（5，0）.直线

过点A与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点是D.

（1）求抛物线

与直线

的解析式；

（2）设点P是直线AD下方的抛物线上一动点（不与点A、D重合），过点P作y轴的平行线，交直线AD于点M，作DE⊥y轴于点E．探究：

是否存在这样的点P，使四边形PMEC是平行四边形？

若存在请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）在

（2）的条件下，作PN⊥AD于点N，设△PMN的周长为m，点P的横坐标为x，求m与x的函数关系式，并求出m的最大值．

线段、周长最值

【典型例题】已知：

抛物线l1：

y=﹣x2+bx+3交x轴于点A，B，（点A在点B的左侧），交y轴于点C，其对称轴为x=1，抛物线l2经过点A，与x轴的另一个交点为E（5，0），交y轴于点D（0，﹣

）．

（1）求抛物线l2的函数表达式；

（2）P为直线x=1上一动点，连接PA，PC，当PA=PC时，求点P的坐标；

（3）M为抛物线l2上一动点，过点M作直线MN∥y轴，交抛物线l1于点N，求点M自点A运动至点E的过程中，线段MN长度的最大值．

【对点演练】

如图13，抛物线y=ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点为（1,4），交x轴于A、B，交y轴于D，其中B点的坐标为（3,0）

（1）求抛物线的解析式

（2）如图14，过点A的直线与抛物线交于点E，交y轴于点F，其中E点的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为PQ上一动点，则x轴上是否存在一点H，使D、G、F、H四点围成的四边形周长最小.若存在，求出这个最小值及G、H的坐标；若不存在，请说明理由.

（3）如图15，抛物线上是否存在一点T，过点T作x的垂线，垂足为M，过点M作直线MN∥BD，交线段AD于点N，连接MD，使△DNM∽△BMD，若存在，求出点T的坐标；若不存在，说明理由.

面积最值

如图，在平面直角坐标系中，点A、C的坐标分别为（－1，0）、（0，

），点B在x轴上．已知某二次函数的图象经过A、B、C三点，且它的对称轴为直线x＝1，点P为直线BC下方的二次函数图象上的一个动点（点P与B、C不重合），过点P作y轴的平行线交BC于点F．

（1）求该二次函数的解析式；

（2）若设点P的横坐标为m，试用含m的代数式表示线段PF的长；

（3）求△PBC面积的最大值，并求此时点P的坐标．

【对点演练】

1、（2013•济南）如图，在直角坐标系中有一直角三角形AOB，O为坐标原点，OA=1，tan∠BAO=3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90°，得到△DOC，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B、C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点P是第二象限内抛物线上的动点，其坐标为t，

①设抛物线对称轴l与x轴交于一点E，连接PE，交CD于F，求出当△CEF与△COD相似点P的坐标；

②是否存在一点P，使△PCD得面积最大？

若存在，求出△PCD的面积的最大值；若不存在，请说明理由．

2、（2015•济南）抛物线y=ax2+bx+4（a≠0）过点A（1，﹣1），B（5，﹣1），与y轴交于点C．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）如图1，连接CB，以CB为边作▱CBPQ，若点P在直线BC上方的抛物线上，Q为坐标平面内的一点，且▱CBPQ的面积为30，求点P的坐标；

（3）如图2，⊙O1过点A、B、C三点，AE为直径，点M为上的一动点（不与点A，E重合），∠MBN为直角，边BN与ME的延长线交于N，求线段BN长度的最大值．

讨论等腰三角形

如图，已知抛物线y＝

x2＋bx＋c与y轴相交于C，与x轴相交于A、B，点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，－1）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点E是线段AC上一动点，过点E作DE⊥x轴于点D，连结DC，当△DCE的面积最大时，求点D的坐标；

（3）在直线BC上是否存在一点P，使△ACP为等腰三角形，若存在，求点P的坐标，若不存在，说明理由．

【对点演练】

如图，抛物线y=ax2+2ax+c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A（﹣4，0）和B．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连接CQ．当△CEQ的面积最大时，求点Q的坐标；

（3）平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点D的坐标为（﹣2，0）．问是否有直线l，使△ODF是等腰三角形？

若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说

明理由．

【2014济南】如图1，抛物线

平移后过点A（8，,0）和原点，顶点为B，对称轴与

轴相交于点C，与原抛物线相交于点D．

（1）求平移后抛物线的解析式并直接写出阴影部分的面积

；

（2）如图2，直线AB与

轴相交于点P，点M为线段OA上一动点，

为直角，边MN与AP相交于点N，设

，试探求：

①

为何值时

为等腰三角形；

②

为何值时线段PN的长度最小，最小长度是多少．

讨论直角三角

【典型例题】如图，已知点A（一1，0）和点B（1，2），在坐标轴上

确定点P，使得△ABP为直角三角形，则满足这样条件的点P共有（）．

（A）2个（B）4个（C）6个（D）7个

【对点演练】已知：

如图一次函数y＝

x＋1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B；二次函数y＝

x2＋bx＋c的图象与一次函数y＝

x＋1的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点且D点坐标为（1，0）

（1）求二次函数的解析式；

（2）求四边形BDEC的面积S；

（3）在x轴上是否存在点P，使得△PBC是以P为直角顶点的直角三角形？

若存在，求出所有的点P，若不存在，请说明理由．

讨论平行四边形

【典型例题】

在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（－4，0），B（0，－4），C（2，0）三点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．

（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y＝－x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．

【对点演练】

已知一次函数

与抛物线

交于A（0，1），B两点，B点纵坐标为10，抛物线的顶点为C.

（1）求b，c的值；

（2）判断△ABC的形状并说明理由；

（3）点D、E分别为线段AB、BC上任意一点，连接CD，取CD的中点F，连接AF，EF.当四边形ADEF为平行四边形时，求平行四边形ADEF的周长.