专题713解析几何中五类定点定值问题的研究与拓展.docx
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专题713解析几何中五类定点定值问题的研究与拓展
专题7.13:
解析几何中五类定点定值问题的研究与拓展
【问题提出】
1.无论k取任何实数,直线(1•4k)x-(2-3k)y・(2-14k)=0必经过一个定点,则这个定点的坐标为
2.已知直线丨:
2ax•by-a•b=0;圆C:
x2•y2-2x-1=0,则直线I与圆C的位置关系为
22
点A,F分别是椭圆C的左顶点和左焦点,点P是圆
3.已知椭圆C:
务当=1(ab0),ab
O:
x2+y2=b2上的动点,若-PA为常数,则椭圆的离心率为.
PF
4.平面直角坐标系xOy中,已知圆C:
x2+y2-(6—2m)x—4my+5m2—6m=0,直线I经过点(1,0)•若对任意的实数m,定直线l被圆C截得的弦长为定值,则直线I的方程为
.2x+y—2=0
【探究拓展】
22
探究1:
已知F1、F2分别为椭圆G:
与•冷=1(ab0)的上、下焦点,其中R也是抛物线C2:
x2=4y的
ab
5
^焦丿点M是C1与C2在第二象限的交点,且|MF1|=—.
3
(1)求椭圆C1的方程.
(2)
A,B,在线段AB上取一
(2)已知点P(1,3)和圆O:
x2•y2二b2,过点P的动直线I与圆O相交于不同的两点
解:
方法1:
由C2:
x2=4y知冃(0,1),设M(x0,y°)(x°:
:
0),
因M在抛物线C2上,故x02=4y0…①
552血2
又|MF1〔=5,则y。
……②,由①②解得X。
「3,y。
二
3333
椭圆C1的两个焦点已(0,1),F2(0,-1),点M椭圆上,
由椭圆定义2a=|MR|+|MF2—0)2+(2—1)2+J(——0)2+(2+1)2=4
\33\33
22
•••a=2,又c=1,「.b2二a2-c2=3,a椭圆G的方程为—-1.
43
5
方法2:
由C2:
x2=4y知F1(0,1),设M(x°,y°)(x:
:
:
0),因M在抛物线C?
上,故x°2=4y°…①又|MF1|,则
3
yo
yo-1=5……②,由①②解得&二一?
6
33
22262
G)2(-3-)24
而点M椭圆上,故有壬•一3—=1即2
a2b29a2
822
•計…③,又c"则b=a•④
由③④可解得a2#b2",•••椭圆C1的方程为
(2)设A(Xi,yJ,B(X2,y2),Q(x,y).
为一t.x2=1--
由AP--PB可得:
(1—为,3—yjj一.(x2_1,y2-3),即
卜一九y2=3(1—丸)
X+扎x=(1+h)X
由AQ二QB可得:
(x-x1,y_yj=,(x2_x,y2-y),即
y+扎y2=(1Uy
⑤⑦得:
x/」.2x22=(1」.2)x⑥⑧得:
y;-袞2y22=3y(1-%2)两式相力口得
222222..22
(捲十力)一人区+y2)=(1-九)(x+3y)又点A,B在圆x+y=3上,且九鼻±1,所以
2222
Nyi=3,x2y2=3即x•3y=3,•••点Q总在定直线x•3y=3上.
-1
变式1:
在平面直角坐标系xOy中,已知定点A(—4,0)、B(4,0),动点P与A、B两点连线的斜率之积为.
4
(1)求点P的轨迹方程;
(2)设点P的轨迹与y轴负半轴交于点C.半径为r的圆M的圆心M在线段AC的垂直平分线上,且在y
轴右侧,圆M被y轴截得的弦长为,3r.
1求OM的方程;
2当r变化时,是否存在定直线l与动圆M均相切?
如果存在,求出定直线l的方程;如果不存在,说明
变式2:
已知椭圆
22
E:
令占=1(ab0)的离心率为ab
它的上顶点为
A,左、右焦点分别为F1,F2,
理由.
直线AF1,AF2分别交椭圆于点B,C.
满足直线BO的方程,即直线BO平分线段AC.
AC的中点坐标(3C,
4
•••直线AF!
的斜率为.2,此时直线AR的方程为y—2(x•c),
对称性知C(3c,2c).
22
(2)设过P的直线I与椭圆交于两个不同点的坐标为M(论,yj,N(x2,y2),点Q(x,y),
2
捲一扎x2
•mx2,ny
1
-■
由于m,n,C为常数,所以点Q恒在直线2mx3ny-6c2=0上.
点Q恒在直线2x•、.2y-2=0上.
的动直线I与椭圆交于两个不同点M,N,在线段MN上取点Q,满足,则点q恒在定直线
PNQN
笋晋1上.(极点和极线问题)
探究2:
平面直角坐标系XOy中,圆C1:
(x3)2(y-1)2=4和圆C2:
(x-4)2•(y—5)2=4.
求直线I的
0
1
O
1
A匚
互相垂直的圆G截得的件的点p的
(1)若直线I过点A(4,0),且被圆Ci截得的弦长为23,方程;
(2)设P为平面上的点,满足:
存在过点P的无穷多对
直线li和I2,它们分别与圆C1和圆C2相交,且直线l1被弦长与直线|2被圆C2截得的弦长相等,试求所有满足条坐标.
解:
(1)设直线|的方程为:
y=k(x_4),即kx_y_4k=0
由垂径定理,得:
圆心G到直线I的距离d42-(^3)2=1,
27
化简得:
珈2*0"0曲「刃
求直线1的方程为:
y=0或y二7(x4),即y=0或7x24y-28-0
24
⑵设点P坐标为(m,n),直线I1、I2的方程分别为:
因为直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等,两圆半径相等。
由垂径定理,得:
:
圆心G到直线l1与C2直线l2的距离相等。
41
故有:
丨-3kTn-kmjk5“km|,
k21
—耳
化简得:
(2_m_n)k=m_n_3,或(m_n8)k=mn_5
关于k的方程有无穷多解,有:
k21
2-m-n=0Im-n+8=0(或I
m-n-3二0'm+n-5=0
解之得:
点P坐标为(_3I3)或(§_1).
(2,2)(2‘2)
变式1:
在直角坐标系xOy中,点M到点戸(「、3,0),F2C.3,0)的距离之和为4,点M的轨迹是C,
与x轴的负半轴交于点A,轨迹C上有不同的两点P和Q,且AP-AQ二0
(1)求轨迹C的方程;
(2)直线PQ是否过x轴上的一定点,若过定点,请给出证明,并求出该定点?
若不过定
点,请说明理由•
变式2:
已知圆C:
x2-y2=9,点A(-5,0),直线丨:
x-2y=0•
(1)求与圆C相切,且与直线I垂直的直线方程;-
PB
(2)在直线OA上(O为坐标原点),存在定点B(不同于点A),满足:
对于圆C上任一点P,都有一一
PA
为一常数,试求所有满足条件的点B的坐标•
22
拓展:
在直角坐标系xOy中,椭圆xy1的左、右焦点分别是F「F2,点A为椭圆的左顶点,圆0的
94
方程为x2y=4,是否存在不同于点A的定点B对于圆0上任一点P,都有为一常数,若存在,,PA
试求所有满足条件的点B的坐标;若不存在,说明理由•
变式3:
在平面直角坐标系xOy中,已知直线1:
2.2x—y+3+8.2=0和圆C1:
x2+y2+8x+F=0.若直线l被圆C1截得的弦长为23•设圆G和x轴相交于A,B两点,点P为圆C1上不同于A,B的任意一点,直线FA,PB交y轴于M,N两点•当点P变化时,以MN为直径的圆C2是否经过圆C1内一定点?
请证明你的结论;
22
拓展:
已知抛物线y2=8x与椭圆务-%=1有公共焦点F,且椭圆过点D(-'、2,、、3).
ab
过点A作互相垂直的两条直线分别交椭圆于点P、Q,则直线PQ是否经过定点,若是,求出该点坐标,
若不经过,说明理由
值得注意的是:
若题干中出现两条互相垂直的直线,一般用设而不求的思想(当两直
1
线斜率均存在时,可设两直线斜率分别为k和-一,然后进行运算)
k
变式4:
如图,椭圆的中心为原点0,离心率e=-^,—条准线的方程为x=^2.
(1)求该椭圆的标准方程;
1
(2)设动点P满足:
0P=OM+20N,其中M,N是椭圆上的点,直线0M与0N的斜率之积为一?
,问:
是否存在两个定点F1,F2,使得IPFJ+|PF2|为定值?
若存在,求出F1,F2的坐标;若不存在,说明理由.
变式5:
已知左焦点为F(—1,0)的椭圆过点E(1,厶3).过点P(1,1)分别作斜率为k1,k2的椭圆的动弦
3
AB,CD,设M,N分别为线段AB,CD的中点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若P为线段AB的中点,求k1;
(3)若ki+k2=1,求证直线MN恒过定点,并求出定点坐标.
解:
依题设c=1,且右焦点F(1,0).
所以,2a=EFEF=.(11)223=2.3,b2=a2—C=2,
Y13丿3
22
故所求的椭圆的标准方程为n1.
32
2222
X1V1X2y
⑵设A(x1,y1),B(x2,y2),贝V——=1①,"—^二1②.
拓展:
如图,在平面直角坐标系xOy中,已知圆C1:
(x1)2y^1,圆C2:
(x-3)2•(y-4)2
(1)若过点G(-1,0)的直线I被圆C2截得的弦长为6,求直线I的方程;
5
(2)设动圆C同时平分圆C1的周长、圆C2的周长.①证明:
动圆圆心C在一条定直线上运动;
=1.
②动圆C
当k1k2^0时,
10~6k2k1x(10~6kk1^kH2^1^)2,-9k2k1'-9k2k123匕2
综上,直线MN恒过定点,且坐标为(0,-|).
3
第(3)问,可有一般的情形:
过定椭圆内的定点作两条斜率和为定值的动弦,则两动
弦的中点所在直线过定值.此结论在抛物线中也成立.另外,也可以求过两中点所在直线
的斜率的最值.近几年江苏高考解析几何大题的命题趋势:
多考一点“算”,少考一点“想”
是否经过定点?
若经过,求出定点的坐标;若不经过,请说明理由.
【分析】
(1)在求直线方程时应先判断一下是否有斜率不存在的情况,然后再进行求解;
(2)的第①小题其实质是求轨迹问题,即以圆C的半径相等作为等量关系来证明结论;
(2)的第②小题的求解要学会与第①小题的相联系起来考虑,以表达出圆的含参方程,从而可以判断出结论
解:
("设直线1的方程为yMX1),即k^-y^0.因为直线1被圆C2截得的弦长为6,而圆C2的
所以直线I的方程为4x—3y•4=0或3x—4y•3=0.
(2)①证明:
设圆心C(x,y),由题意,得CG=CC2,即
.(x1)2y2=(x-3)2(y-4)2.化简得x■y-3=0,即动圆圆心C在定直线xy-^0上运动.
②圆C过定点,设C(m,3-m),则动圆C的半径为1CG2=1(m1)2(3-m)2.
于是动圆C的方程为(x-m)2(y-3m)2=1(m1)2(3-m)2.
整理,得xy…6y-2-2m(x-y*1)=0.
x=13.2,
得2_或
y=2;、2;
所以定点的坐标为1-3、2,2-3&,12&,23&.
反思:
1、第
(2)题的第①小题的提法与书本要求相一致的,避免了求轨迹方程的嫌疑
2、定点问题解题关键在于寻找题中用来联系已知量、未知量的垂直关系、中点关系、方程、不等式,然
后将已知量、未知量代入上述关系,通过整理、变形转化为过定点的直线系、曲线系问题来解决。
探究3:
已知椭圆E:
右+”1(a>b>0)的离心率为乎且过点P(2,2),设椭圆E的右准线I与x轴的交
点为A,椭圆的上顶点为B,直线AB被以原点为圆心的圆0所截得的弦长为4仝.
5
(1)求椭圆E的方程及圆0的方程;
若存在一个定圆M,
Q在一个定圆上.
求证:
存在一个异于M的点Q,对于圆0上的任意一点N,有MQ
(2)若M是准线I上纵坐标为t的点,
C的方程为(x—1)2+y2=4,P为圆C上一点.
APB恒为60,则圆
过P作圆M的两条切线PA,PB,切点分别为A,B,当P在圆C上运动时,使得/
(1)求椭圆标准的方程;
(3)设椭圆的上顶点为Q,在满足条件
(2)的情形下证明:
PQ=pr+PF2.
】拟<1)HI+u:
中VIa-Sv-6=0'jai心變也为/((-2V3JI).A;«3.0)•
■'*
故“=土=J5・所以阳=3.豊輛闘序起址:
二+咚“129
<2)说心p(斗刃+凶为片<-aJ3.o) ;则為=皿如=1十羽片 设九Pv> 2jrL I対为再一厲=〒+所以uin(/T—a)=—V3. taryS—他n«—2寸3r 肉対他“一血)=|化“呻一F+)二3・ 所L^-T;4nr—3~亠诟■化闆術Jf'+」'亠2r=3. I軒U血尸机应闘工t十.曲即=3匕 <3>叮甩1三”十心一3尸=护+_/—如+头国为・3rblPQ1=\l-4y. 存搗邙转或血[艸怯碉(岸杀-获5卄严即"7- 阖曲駄;三号二和'十旳*所以左尸FA尸巧三4越灵* *「#=氏+¥A¥* J? iLt3J^FjxP气=—hy, 2、ifulFF^Pf^=P"'+2PFi^F电+PF: '=4**】2—fiv=I2~4y=%/.所以pQ=PFiA-PF> 22..■- 探究4: 在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆亏+y2=i(a>b>0)的离心率为石,其焦点在圆x2+y2=1上.ab2 (1)求椭圆的方程; (2)设A、B、M是椭圆上的三点(异于椭圆顶点),且存在锐角0,使0M=cosOA+sinOb. 1求证: 直线OA与OB的斜率之积为定值; 2求OA2+OB2. 变式1: 如图,在平面直角坐标系xOy中,已知圆B: (x—1)2+y2=16与点A(—1,0),P为圆B上的动点, 线段PA的垂直平分线交直线PB于点R,点R的轨迹记为曲线C. (1)求曲线C的方程; (2)曲线C与x 轴正半轴交点记为Q,过原点O且不与x轴重合的直线与曲线C的交点记为M、N,连结QM、QN,分 3 变式2: 已知椭圆C过点A(1-),两个焦点为(一1,0),(1,0) ,2 (1)求椭圆C的方程; 定值,并求出这个定值 变式3: 如图,已知椭圆 22 -2亠=1a■br0j过点C ab P为椭圆上任意一点(除 (坐—)且离心率为—,A,B是长轴的左右两顶点, 2'23 A,B外),PD_x轴于D,若P^^t.QD^i: 1,0. (1)试求椭圆的标准方程; (2)当P在C处时,若.QAB=2.PAB, 试求过Q、A、D三点的圆的方程; (3)若直线QB与AP交于H,问是否存在‘使得 H P O D A Bx OH的长为定值,若存在求出■的值,若不存在说明理由. ”1a.b0过点5中于),且离心率为寸, 解: (1厂••椭圆 由-6,得 a3 所求椭圆方程为 2 x 一+• 2 a 2 c ~二’ a 2 x—+ 3 =1 (2)A(——、3,0),P( 在RtPAD中, 即 DA 2.2 ab 2 a tanZPAD=-, 3 §), 2 22 a3b, 丄2=1,b2=1 4b4b 0), tanZQAB=tan2/PAB= D^-D^- 4428 2- 3 3、39-3393 --Q,-— 28’ D,Q三点圆是以AQ为直径的圆, 其方程为(x「3)(x- =0,即 y(y- (3)A(—,0),B(3,0),设P(X。 yo),Q(xo,yQ)则D(xo,0) TT PQ=(0,yQ—y0),QD=(0,—yQ), 由PQ=■QD得 (°,yQ—y°)=扎(0,—yQ),yQ—y°=—九yQ,y=丫0 1+人 直线AP的方程为 =J0、3(x倚 直线BQ的方程为 yo 一 (1)帆-.3)(x,3) 2 ①x②得y 2 yo (1)(xo-3) 2 z2Xo22 (x-3),又一yo=1,•••yo二 3 3—x; 3 代入 12X21 3(厂(x-3),万程3(T^y~ 即为直线AP与直线BQ的交点H的轨迹方程, 要使OH为定值,则必须方程 X1 y2表示圆,此时3(1-丿“)=1, 3(1■)1■ 二=一—,即存在■■■■•=——,使OH为定值. 33 说明: 若先求AP与BQ的交点坐标,则解题过程较繁 H"\/3(2+九)Xo—3丸^V3yo) xo,3(2: 1)-■xo;3(^■) OH2=[J^2+丸)xo_3扎]2+[2廳yo]2 」;*•.3(2: : ••;■)J3(2: *j =[3(2+”)2_4]运_6巧? (2+*)xo+9k2+12人2x2—2再7一(2+Qxo+3(2+九)2 要使OH为定值,则必须满足3(2厂仁-63(2…)二匚弋, 九2—2廳人(2+人)3(2+扎)2 22 解之得z..=——,即存在■■■.■■=——,使0H为定值. 33 22 变式4: 在平面直角坐标系xOy中,椭圆C: X+-^=1. m8—m (1)若椭圆C的焦点在x轴上,求实数m的取值范围; (2)若m=6,①P是椭圆C上的动点,M点的坐标为(1,0),求PM的最小值及对应的点P的坐标;②过椭圆C的右焦点F作与坐标轴不垂直的直线,交椭圆C于A,B两点,线段AB的垂直平分线l交x轴于点N,证明: AB是定值,并求出这个定值. 解 (1)由题意得,m>8—m>0,解得4vmv8.即实数m的取值范围是(4,8). 22 (2)因为m=6,所以椭圆C的方程为x十专=1. 62 22 ①设点P坐标为(x,y),则冷十\=1.因为点M的坐标为(1,0),所以 62 22 2222x2x PM2=(x—1)2+y2=x2—2x+1十2—-=可—2x+3 33 233 =3(x—2)2十2,x€[—6,6]. 从而椭圆 设A(xi, C的右焦点F的坐标为(2,0),右准线方程为x=3,离心率e=f. 22竺+止=1 6十21, 22 y1),B(X2,y2),AB的中点H(x0,y°),则管十笃=1, 所以当 x=号时,PM的最小值为-2,此时对应的点P坐标为(|,± 222 所以 6 -十T=0,即kAB=x—2=-益 1 令k=kAB,则线段AB的垂直平分线I的方程为y—yo=—~(x—xo). 2 令y=0,贝Vxn=ky°+x0=3x0. 2 因为F(2,0),所以FN=氐—2|=^沟一3|. 因为AB=AF十BF=e(3—冷)十e(3—x2)=236|x。 一3|. 故AB=于摻=6.即AB为定值6. 22 变式5: 已知椭圆^^^7=1ab0的长轴两端点分别为A,B,Px°,y0y0是椭圆上的动点, ab 以AB为一边在x轴下方作矩形ABCD,使AD^kbk0,PD交AB于点F. (1)如左图,若k-1,且P为椭圆上顶点时,PCD的面积为12,点O到直线PD 5 的距离为5,求椭圆的方程 A B E C P A B C 6 (2)如右图,若k=2,试证明: AE,EF,FB成等比数列 探究5: 已知圆P: x2・(y-2)2=1,Q为x轴上的动点,圆Q与圆P相外切,圆Q与x轴交于M、N两点. 在y轴上是否存在一异于原点的定点A,使得乙MAN为定值? 若存在,求出点A的坐标;若不存在,请说 明理由. 【专题反思】你学到了什么? 还想继续研究什么?
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