浙江版高考数学一轮复习讲+练+测 专题46 正弦定理和余弦定理讲及答案.docx

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浙江版高考数学一轮复习讲+练+测专题46正弦定理和余弦定理讲及答案

第06节正弦定理和余弦定理

【考纲解读】

考点

考纲内容

5年统计

分析预测

正弦定理和余弦定理

掌握正弦定理、余弦定理及其应用

2013浙江文18；

2014浙江文18；理10，18；

2015浙江文16；理16；

2016浙江文16；理16；

2017浙江14.

1.正弦定理或余弦定理独立命题；

2.正弦定理与余弦定理综合命题；

3.与三角函数的变换结合命题.

4.备考重点：

（1）掌握正弦定理、余弦定理；

（2）掌握几种常见题型的解法.

【知识清单】

1.正弦定理

正弦定理：

＝＝＝2R，其中R是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为：

a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；

a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；

sinA＝，sinB＝，sinC＝等形式，以解决不同的三角形问题．

面积公式S＝absinC＝bcsinA＝acsinB

对点练习：

【2017浙江省高考模拟】在中，内角，，所对的边分别是，，，若，，，则________，__________.

【答案】，.

2.余弦定理

余弦定理：

，，.

变形公式cosA＝，cosB＝，osC＝

3.正弦定理与余弦定理的综合运用

应熟练掌握正、余弦定理及其变形．解三角形时，有时可用正弦定理，也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷就用哪一个定理．

对点练习：

【2017浙江湖州、衢州、丽水三市4月联考】在中，内角所对的边分别是若，，A=60°，则__________，的面积S=__________．

【答案】1或2或

【考点深度剖析】

高考对正弦定理和余弦定理的考查较为灵活，题型多变，选择题、填空题的形式往往独立考查正弦定理或余弦定理，解答题往往综合考查定理在确定三角形边角中的应用，多与三角形周长、面积有关；有时也会与平面向量、三角恒等变换等结合考查，试题难度控制在中等以下，主要考查灵活运用公式求解计算能力、推理论证能力、数学应用意识、数形结合思想等．

【重点难点突破】

考点1正弦定理

【1-1】【2018届河南省新乡市第一中学8月】在中，内角的对边分别为，，则（）

A.B.C.D.

【答案】A

【解析】,故选A.

【1-2】【2017浙江台州上学期】已知在错误！

未找到引用源。

中，内角错误！

未找到引用源。

的对边分别为错误！

未找到引用源。

且错误！

未找到引用源。

，则错误！

未找到引用源。

的面积为__________．

【答案】错误！

未找到引用源。

【1-3】在中，角的对边分别为，若角依次成等差数列，且，，则.

【答案】

∴.

【领悟技法】

已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可．

已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意．

已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况．如已知a，b，A，则

A为锐角

A为钝角或直角

图形

关系式

a＜bsinA

a＝bsinA

bsinA＜a＜b

a≥b

a＞b

a≤b

解的个数

无解

一解

两解

一解

一解

无解

【触类旁通】

【变式1】【2018届安徽合肥一中、马鞍山二中等六校第一次联考】在中，角的对边分别为.已知，则（）

A.B.C.D.

【答案】A

【解析】由得，由正弦定理，所以，

故选A.

【变式2】在中，已知，

，则为（）

A.等边三角形B.等腰直角三角形

C.锐角非等边三角形D.钝角三角形

【答案】B

又，

，

，

，

，，，

，所以是等腰直角三角形.

考点2余弦定理

【2-1】【2018届安徽合肥调研】在中，角对应的边分别为，，则的面积为（）

A.B.C.D.

【答案】A

【解析】由余弦定理得，即，故，应选答案A.

【2-2】中，角所对的边分别为．若，则边（）

A．1B．2C．4D．6

【答案】C

【2-3】【2017浙江温州二模】在错误！

未找到引用源。

中，内角错误！

未找到引用源。

，错误！

未找到引用源。

，错误！

未找到引用源。

的对边分别为错误！

未找到引用源。

，错误！

未找到引用源。

，错误！

未找到引用源。

若错误！

未找到引用源。

，错误！

未找到引用源。

，错误！

未找到引用源。

，则错误！

未找到引用源。

_______，错误！

未找到引用源。

的面积错误！

未找到引用源。

_______．

【答案】错误！

未找到引用源。

【解析】由余弦定理可得错误！

未找到引用源。

；由三角形的面积公式可得错误！

未找到引用源。

，应填答案错误！

未找到引用源。

和错误！

未找到引用源。

.

【领悟技法】

已知三边，由余弦定理求，再由求角，在有解时只有一解.

已知两边和夹角，余弦定理求出对对边.

【触类旁通】

【变式1】在中，内角所对应的边分别为，若，，则的面积为（）

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】由可得；由及余弦定理可得，所以，所以．

【变式2】各角的对应边分别为，满足，则角的范围是（）

A．B．C．D．

【答案】A

【解析】由，得，整理得，由余弦定理得，.

考点3正弦定理与余弦定理的综合运用

【3-1】在中，三内角，，的对边分别为，，且，，为的面积，则的最大值为（）

（A）1（B）（C）（D）

【答案】C

【3-2】【2018届广东省阳春市第一中学上学期第一次月考】在中，内角的对边分别为，且．

（1）求；

（2）若，求．

【答案】

（1）

（2）

【解析】试题分析：

（1）由正弦定理将边化为角得，即得．再根据三角形内角范围得．

（2）由正弦定理将角化为边得，再根据余弦定理得，解方程组可得．

（2）由及正弦定理，得，①

由余弦定理得，

即，②

由①②，解得．

【3-3】【2017届浙江嘉兴测试】在中，内角所对的边分别为，已知．

（1）求角的大小；

（2）若的面积，求的值．

【答案】

（1）；

（2）．

【解析】

试题分析：

（1）由正弦定理，将条件中的边化成角，可得，进而可得的值；

（2）由三角形面积公式可得，再由余弦定理可得，得最后结论．

试题解析：

（1），又∴

又得

（2）由，∴

又

得，∴得.

【领悟技法】

依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有如下两种方法：

（1）利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；

（2）利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．

[注意]　在上述两种方法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．

判断三角形的形状的基本思想是：

利用正、余弦定理进行边角的统一．即将条件化为只含角的三角函数关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系．结论一般为特殊的三角形．如等边三角形、等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形等．另外，在变形过程中要注意A，B，C的范围对三角函数值的影响．

提醒：

1．在△ABC中有如下结论sinA＞sinB⇔a＞b.

2．当b2＋c2－a2＞0时，角A为锐角，若可判定其他两角也为锐角，则三角形为锐角三角形；

当b2＋c2－a2＝0时，角A为直角，三角形为直角三角形；

当b2＋c2－a2＜0时，角A为钝角，三角形为钝角三角形．

【触类旁通】

【变式1】在中，内角所对的边分别是.已知，，则的值为_______.

【答案】

【变式2】【2018届河南省名校联盟第一次段考】锐角错误！

未找到引用源。

的内角错误！

未找到引用源。

，错误！

未找到引用源。

，错误！

未找到引用源。

的对边分别为错误！

未找到引用源。

，错误！

未找到引用源。

，错误！

未找到引用源。

，已知错误！

未找到引用源。

的外接圆半径为错误！

未找到引用源。

，且满足错误！

未找到引用源。

.

（1）求角错误！

未找到引用源。

的大小；

（2）若错误！

未找到引用源。

，求错误！

未找到引用源。

周长的最大值.

【答案】

（1）错误！

未找到引用源。

；

（2）当错误！

未找到引用源。

为正三角形时，错误！

未找到引用源。

周长的最大值为6.

【解析】试题分析：

（1）根据已知条件，由正弦定理，求出角错误！

未找到引用源。

；

（2）由余弦定理和基本不等式求出错误！

未找到引用源。

，再求出周长的最大值。

试题解析：

（1）由正弦定理，得错误！

未找到引用源。

，

再结合错误！

未找到引用源。

，得错误！

未找到引用源。

，

解得错误！

未找到引用源。

，由错误！

未找到引用源。

为锐角三角形，得错误！

未找到引用源。

.

故当错误！

未找到引用源。

为正三角形时，错误！

未找到引用源。

周长的最大值为6.

【易错试题常警惕】

易错典例：

在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边长，a＝，b＝，1＋2cos（B＋C）＝0，求边BC上的高．

易错分析：

忽视三角形中“大边对大角”的定理，产生了增根．

正确解析：

∵在△ABC中，cos（B＋C）＝－cosA，

又∵1＋2cos（B＋C）＝0，∴1－2cosA＝0，∴A＝.

在△ABC中，根据正弦定理＝，得sinB＝＝.

∴B＝或.

∵a＞b，∴B＝.

温馨提醒：

应用正弦定理解三角形，最易出现的错误，就是角的增解问题.解题过程中应特别注意，一般要注意利用“大边对大角”结合已知角确定取舍.

【学科素养提升之思想方法篇】

数形结合百般好，隔裂分家万事休——数形结合思想

我国著名数学家华罗庚曾说过:

"数形结合百般好，隔裂分家万事休。

""数"与"形"反映了事物两个方面的属性。

我们认为，数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系。

数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过"以形助数"或"以数解形"即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的.

向量的几何表示，三角形、平行四边形法则，使向量具备形的特征，而向量的坐标表示和坐标运算又具备数的特征，因此，向量融数与形于一身，具备了几何形式与代数形式的“双重身份”.因此，在应用向量解决问题或解答向量问题时，要注意恰当地运用数形结合思想，将复杂问题简单化、将抽象问题具体化，达到事半功倍的效果.

【典例】【2017云南昆明二测】在平面四边形中，的面积为.

（1）求的长；

（2）求的面积.

【答案】

（1）；

（2）.

【解析】试题分析：

试题解析：

（2）由，得，所以，又

所以.