北京物资学院线性代数期末练习汇总.docx
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北京物资学院线性代数期末练习汇总.docx
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北京物资学院线性代数期末练习汇总
第一章行列式
、行列式的计算注意三种类型:
1、数字行列式:
如第7题,有两种方法
(1)化为上三角形行列式;
(2)利用行列式的性质先将某行(或某列)化为只剩一个非零元素,再按该行(或列)展开降阶计算。
2、行(列)和相等的行列式:
如第8题的
(2)(3),先用归边法,再化为上(或)下三角形行列式。
3、箭形行列式:
如第8题的(4)(5),化为上(或)下三角形行列式。
、行列式的性质、克拉默法则要掌握。
参加第1~6题
x
y
z
3x
3y
3z
1、已知3阶行列式
1
2
3
=2,则
a
b
c
a
b
c
1+2a
2+2b
3+2c
a11
2a12
3a13
a11
a12
a13
2、若
2a21
4a22
6a23
=96,则
a21
a22
a23
4a31
8a32
12a33
a31
a32
a33
a12
a11
b1
a11
a12
q
a11
ai2
b_c
3、设
a22
a21
b2
=1,
a21
a22
c2
=2,则
a21
a22
tb-c2
a32
a31
b3
a31
a32
c3
a31
a32
d-Q
4、四阶行列式D的值为91,它的第
1行元素为2,
3,
t+3,-5。
第1行元素的
余子式依次为-1,
0,6,9,则t=(
)
A-5
B5
C-20
D
20
f/■■x1x2x3=0
5、已知线性方程组xiX2X3=0有非零解,则,的值应为()
x-ix2x3=0
A.-1B.1C.-1D.0
&齐次线性方程组
kx12x2x3=0
2x1kx2
二0有非零解的充分必要条件是
A.k=2或k=3
C.k=3或k--2
B.k=0或k=3
D.k=-3或k=-2
7、计算行列式
244
1-6-2D=
—352
3
1
0
3
1
1
-1
-1
1
x+1
X_1
-1
(1)
D=
1
X—1
1
-1
X+1
-1
1
-1
1+a
2
3
4
1
2+a
3
4
(2)
D=
1
2
3+a
4
1
2
3
4+a
1+2&
a2
a3
IH
an
-2
1
0
IH
0
(4)
D=
-2
0
1
IH
0
+
+
■
+
-2
0
0
IH
1
8、计算以下行列式
、求A的逆矩阵:
方法
要掌握
a—b
a2
a3
IH
an
a1
a?
—b
a3
IH
an
a1
+
a2
a3-b
+
IH
an
+
+
a1
►
a2
+
a3
►
IH
+
an—b
(3)D
1+aia2a?
川an
-110丨1(0
(5)D=—101川0
-100|l(1
第二章矩阵
1,伴随矩阵法;方法2,初等行变换法;两种方法都
、解AX=B型矩阵方程:
在该类型矩阵方程中,一般A都可逆。
方法1:
先求A,,再做乘积X二A4B,从而求得X
方法2:
初等变化法,
(AB)(EA'B),从而求得X.
三、1、矩阵的运算及各种运算性质要掌握。
2、方阵行列式的性质,逆矩阵、伴随矩阵的性质要掌握
3、矩阵的秩的定义及性质要掌握。
、填空题
1、设A=『1I则An=
]00_
2、已知n阶矩阵A满足矩阵方程A2-2A-3E=O,则A_E可逆,且
(A_E)-1=.
100
3、设A=
-220
,A*是A的伴随矩阵,贝U
*
A
375_
4、A,B均为n阶矩阵,则(A-B)2=A2-2AB+B2成立的充要条件是
5、设A为5阶方阵,|A|=5,则|—2A|=,|A2|=
6设A、B均为三阶矩阵,且丨A|=3,|B|=—3,则(3B),A[=
1
7、A,B均为3阶矩阵,|A|=—,|B|=3,则|2BTA-*匸
2
8、A均为4阶矩阵,3|=丄,|3A-*-2A*|=
2
10-1
9、A=2九1,已知r(A)=2,贝U九=
J2门
2、A,B均为n阶矩阵,(AB)2=E,下列命题中不正确的是()
A.(BA)2=EB.A=BABC.B=ABAD.A=B
3、A,B均为n阶可逆矩阵,则下列各式成立的是().
A.(AB)丁=A^TB.AB=BA
C.(AB宀A'D.(A+B八A'+B4
4、设A,B均为n阶方阵,且满足AB=O,则必有(
A.A=0或B=0B.A+B=OC.A=0或B=0D.A+B=0
5、A,B均为n阶可逆矩阵,则下列等式成立的是().
6mn矩阵A的秩为r的充分必要条件是().
A.A中有r阶子式不等于零B.A中有r-1阶子式全为零
C.A中非零子式的最高阶数小于r1D.A中非零子式的最高阶数等于r
PAQ二B,则秩(B)=(
8、下列结论正确的是(
2
A为方阵,且A=O,则A=O;
三、计算题
(1)判断A是否可逆,如果可逆,用伴随矩阵法求A4;
(2)设AX=B,求X.
(可按定义证)
2、
设A为n阶可逆矩阵,且A2=|A|E,证明A的伴随矩阵A=A.
(按伴随矩阵的性质证)
3、设A为n阶方阵,E为n阶单位矩阵,证明:
若A2二E,且A=E,
则A+E为非可逆矩阵.(可用反证法)
4、35页第10题;44页第10、11题;61页第3题。
第三章向量及方程组
一、掌握方程组有解判别定理,会判断,会求解。
如第8题。
二、会判断一个向量组的线性关系(线性相关或线性无关)。
三、线性相关、线性无关的定义及性质要掌握理解。
X-X2二Q
1、线性方程组屜-X3=a2有解的充分必要条件是.
X3_X1=直
2、设向量组r=佝1,1)「2=(1,a,-1)-,〉3=(1,-1,a)-,贝Ua二时,〉1,〉2,〉3线性相关.
3、设:
1=(2,-1,3,0),:
2=(120,-2),宀=(1,-5,3,4),:
4=(T,3,t,0)线性无关,
贝Ut=
4、向量组:
1=(1,1,0几:
2=(0,2,0)丁,:
3=(0,0,3)丁线性5、若存在一组数k1二k2=|l(=kn=0,使得kr1k2〉2冷1「n=0成立,则向
量组〉1」2」l(「n()
6向量组线性无关的充分必要条件是()
A.宀,〉2,|l(Cn都是非零向量
B.〉1,〉2,|l(,〉n中任意两个向量对应分量不成比例
C.宀,〉n中有一部分向量线性无关
D.〉1,〉2」I|,中任一向量均不可由其余向量线性表示
7、下列说法是正确为()
A.如果一个向量:
j(1虫j玄S)不是其余向量组:
1,II,:
•j」,:
•j1,川,〉s的线性组
合,则该向量组线性无关.
B.如果向量组:
'i/'2^|/'s线性相关,那么其中有零向量.
C.如果k「i•k2〉2ks〉s二0只有零解,则向量组线性无关.
D.如果:
-i/-2^l/s线性无关,那么它可能有一个部分组线性相关.
8、讨论a取何值时,非齐次线性方程组
"%+X2+X3+X4=0
』%+2x2+3x3+3%=1
x2+2x3+2x4=a
3%+2屜+x3+%=—1
(1)无解?
(2)有无穷多解?
并求出它的一般解。
9、设向量组冷=(1,-1,0,3)t,:
2=(2,1,1-1)丁宀=(0,1,2,1);:
=(-110,3,6)问:
是否可表示成〉1」2」3的线性组合。
10、设口1=(1,1,1)丁,口2=(1,2挈卫3=(1,3,t)T
(1)问t为何值时,向量组訂,—,:
〉线性相关?
(2)问t为何值时,向量组:
^,:
-2/-3线性无关?
四、证明题
1、设向量组:
'1/'2/'3线性无关,证明:
向量组
1八「2〉2,^=^233,r=3〉3*1也线性无关.
答案:
第一章行列式
1、-6
2、2
3、
-3
4、B5、
6、C7、-144
8、计算行列式
(1)见书P14例1.3.1
(2)(10a)a3
(3)印•a?
•||(a^b
(4)12a1
•2a?
•丨1(-2an
(5)
、填空题
1、
aT
2、
6、
7、
48
、选择题
1、A2、
3、B
三、计算题
1、
_1
X=(A-2E)B
第二章
矩阵
A-E
3、
100
4、AB=BA
5、-160,25
4、
8、
25
9、2或-3
10、
5、
6、D
7、
8、B
2、
(1)|A|=-10式0,所以A可逆。
A」
-10
3
1
-5
7
T
-5
1
3
一5」
3
10
丄
10
1
2
7
10
丄
10
1
2
1
10
3
10
1
2
(2)AX二B,A可逆,所以X
二A’B。
X1
10
-35
5
35
-5
5
35』
3、r(A)=3。
第三章向量及方程组
1、a1a2*3=02、一1或23、t卞-94、无关
5、C6、D7、C
8、
(1)当a-1^0时,即a"时,r(A)=r(A),原方程组无解。
(2)当a-1=0,即a=1时,r(A)=r(A)=2,原方程组有解,且有无穷多组解,
Xi——1+K+k?
,x?
=1—2&—2k?
,
X3=ki,
X4=k2•
9、解方法一令?
^xv1-X2:
2'x^3
2x2=-1
-为+X2+X3=0
x22x3=3
3为-x2x3=6
该方程组有唯一解治=1,x2--1,x3=2,故[可由:
二:
七,^唯一线性表示为
方法二因为
10、解方法一:
利用定义判别
设有数k1,k2,k3使得k]-:
»■k^:
^2k3-S二0
即有方程组
k1k2k0
k12k3<0
k13k2tk3=0
11
此方程组的系数行列式123=t—5
13t
(1)当t-5=0时,即t=5时,方程组有非零解,所以宀
(2)当t-5=0时,即t=5时,方程组仅有零解,&=k2二线性无关。
方法二:
利用矩阵的秩判别
11
2
一5
11111111
A=(8,0(223)=123t012t01
13t一卫2t-1一.00t
可见
(1)当t=5时,〉1,〉2,〉3线性相关;
(2)当t=5时,〉1门2「3线性无关。
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- 北京 物资 学院 线性代数 期末 练习 汇总