第一节三角形常应变单元.docx
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第一节三角形常应变单元
第三章平面问题的有限元法
本章通过三角形常应变单元,介绍有限元法应用于弹性体应力分析的基本原理和方法:
包括弹性体的离散化,单元特性的分析,刚度矩阵的建立,等效节点力的计算,解答的收敛性以及实施步骤和注意事项,同时对形函数的性质也作简要的叙述。
第一节 三角形常应变单元
一、结构离散化
用有限元法分析弹性力学平面问题,第一步就是把原来的连续的弹性体离散化。
(a) (b)
图3.1弹性体和有限元模型
将整个结构(平板)划分成有限个三角形。
这样的三角形称为单元(三角形单元)。
三角形单元的顶点取为节点。
3节点三角形单元用边界节点间的直线段来近似板的曲线边界。
这些三角形在其节点处相互连接,组成一个单元集合体,以代替原来的弹性体。
注:
1.全部节点和全部单元一般由1开始按自然顺序编号。
2.节点编码:
总码-----------用于整体分析,如1,2,…,按自然顺序编号
局部码--------用于单元分析,i,j,m要求按逆时针方向的顺序进行编码
每个单元的节点局部码i,j,m和节点总码有一一对应的关系
3.单元间不能有重叠
4.一个单元的任一顶点不许为另一单元任一边的内点
5.所有作用在单元上的载荷,包括集中载荷、表面载荷和体积力,都按虚功等效的原则移置到节点上,成为等效节点载荷。
二、位移模式
1.单元节点位移列阵
图3.2 平面三角形单元
设单元e的节点号码为i,j,m。
由弹性力学平面可知,单元内任意一点有两个位移分量u,v,记为
故每个节点也有两个位移分量,因此称节点自由度为2。
3个节点得位移分量分别是
,用列阵表示为
(3-1)
称单元自由度是6。
其中任一子矩阵为
(i,j,m轮换)
2.位移模式
结构承受载荷以后发生位移,但位移分布事先并不知道。
位移法有限元采用节点位移为基本未知量。
因此,在应用位移法有限元时,需要对单元内部的位移分布进行假定,使其满足节点的位移连续条件和单元边界的位移连续条件。
单元位移分布的假定一般选用代数多项式,多项式的系数待定。
这是一种近似方法。
代数多项式的次数可以选择很高,不过次数越高,分析越麻烦,但精确度越好。
这种假定的单元位移分布形式称为位移模式,它是坐标x和y的函数,所以也称为位移函数。
对于3节点三角形单元,选用的位移模式是把单元中任一点的位移u,v表示为坐标x和y的线性函数,即
(3-2)
式中
为待定常数
设各节点坐标为(xi,yi),(xj,yj),(xm,ym),同时设各节点位移为(ui,vi),(uj,vj),(um,vm)代入式(3-2)得
由上式左边的三个方程可以求得
,
,
其中
式中
为三角形面积,为了保证求得的面积为正值,三个节点i,j,m必须按逆时针编排,如图3-2所示。
将
代入式(3-2),经整理得
其中
(i,j,m轮换) (3-3)
同理得
若令
(i,j,m轮换) (3-4)
则得位移模式为
(3-5)
也可写成矩阵形式
(3-6)
式中
是坐标的线性函数,它们反映了单元的位移状态,所以称为形函数,且称
为形函数矩阵。
其中
例题1图示单元,已知各
节点的坐标(单位:
m),
计算:
1.形函数的表达
式;
边中点A的形函数。
2.已知各节点的位移:
1(0,-0.001),2(0.002,0),
3(0,0),计算
边中点A的位移。
图3.3例题1
解:
1. Δ=1
因
(i,j,m轮换),得
在
边中点A有x=0,y=1 ,将其代入上式,的
2.单元节点位移
由方程(3-5),得
边中点A的位移
三、应变
有了单元位移模式(3-5),利用平面问题的几何方程
可以求得应变分量。
而
(i,j,m轮换)
所以
写成矩阵形式
简写成
(3-7)
将其写成分块矩阵形式
(3-8)
而子矩阵
(i,j,m轮换) (3-9)
注:
1.式(3-9)是用节点位移表示单元应变的矩阵方程,其中矩阵
称之为单元应变矩阵。
2.由于
等都是常数,所以矩阵
中的元素都是常数,因而单元中各点的应变分量
也都是常数。
故这种单元称为常应变单元。
例题2 对于例1单元,试计算单元应变。
解:
所以单元应变为
四、应力
求得应变后,利用物理方程
便可导出以节点位移表示的应力关系式中。
把式(3-7)代入上式,得
(3-10)
令
则
(3-11)
上式表示的是应力与节点位移之间的关系。
式中矩阵
称之为单元应力矩阵,写成分块矩阵的形式
(3-12)
对于平面应力问题,其弹性矩阵
为
代入式(3-12),得对应于平面应力问题的应力矩阵
(i,j,m轮换)(3-13)
对于平面应变问题,只要把平面应力问题的弹性矩阵中的E换成
,
换成
,即得其弹性矩阵为
则对应于平面应变问题的应力矩阵为
(i,j,m轮换)(3-14)
注:
1.由(3-13)和(3-14)式知,
中的元素都是常数,所以每个单元中的应力分量也是常数。
故这种单元也称为常应力单元。
2.由于相邻单元将具有不同的应力和应变。
这样越过公共边界,即从一个单元过渡到另一个与它相邻的单元,应力和应变的值都将有突变;但从一个单元过渡到另一个与它相邻的单元,位移是连续的。
3.随着单元的缩小,可减小这种应力和应变的突变
例题3 对于例1单元,试计算单元应力。
解:
所以单元应力为
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