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概率统计中的反例
第一章随机事件及其概率
1.概率为零的事件未必是不可能事件
不可能事件的概率必为零,反之却未必成立
当考虑的概型为古典概型时,概型为零的事件一定是不可能事件
当考虑的概型是几何概型时,概型为零的事件未必是一个不可能事件。
例如:
设试验E为“随机地向边长为1的正方形内投点”,事件A为“点投在正方形的一条对角线上”(见图)
此时〔;-{(x,y)|0:
:
:
x,y:
:
:
1}
A={x=y|0:
:
:
x,y:
:
:
1}
尽管p(A)二线段OB的面积
E正方形的面积
但A却可能发生,
另外,对于连续性随机变量,它在某固定点取值的概率为零,但它不是不可能发生。
发生上述情形的原因,在于概率是一个测度,有测度为0的不可数集存在,并
且对于连续函数来说,在一点处的积分为零。
由对立事件知,概率为1的事件未必是必然事件。
2.概率与抽样方式是否有关
一般,所求事件的概率与抽样方式有关,常见的有放回抽样与不放回抽样两种。
前者指同一个体可被重复抽取,后者指已被抽取的个体不再参与下一此抽样,每一
个体至多被抽到一次。
例如有n件产品,其中有m件次品,现随机抽取I件产品。
求其中恰有k件次品的概率。
在抽样方式未定的情况下,此概率是不唯一的,事实上:
若取放回抽样,所求概率Pl(m)k(1_m)」
nn
若取不放回抽样所求概率P2
kJkmCn:
显然p^-p2k=0,1,2,…,min(n,丨)
(1),
(2)分别称为二项分布与超几何分布。
当n》:
:
时
(2)>
(1)即二项分布是超几何分布的极限分布。
由此得出如下结论:
对于样本点个数较小的总体,在放回抽样与不放回抽样的
场合,事件的概率会有较大的差别。
当总体中样本点个数很大,样本容量不大时,这两种抽样方式对所求事件的概率实际上影响不大。
3.事件概率与试验的先后次序是否有关
设有一口袋,内有a只黑球,b只白球,他们除颜色不同外没有其它不同之处,
现把球一只只地摸出,求第k次摸出的是黑球的概率(1乞k冬ab).
初看题目,很可能会认为所求概率与摸球次序有关,若那样的话,体育比赛中先后抽签者中签的机会就不均等了,这与我们日常生活中的经验不符,通过具体计算亦
可看出所求概率与摸球次序无关。
按自然顺序给球编号,不妨先给黑球编号,再给白球编号,取样空间为第k次
摸出的球的全部可能的结果,则门-{「1,匕,…「ab}'-i表示第k次摸出第I号球,
i=1,2,…,a-b,于是要求的是事件A={••!
•-,…,*、}的概率。
由古典概率
a
P(A),P(A)显然与k有关。
a+b
本题可用多种方法求解,这里介绍的是最简单的一种,本题存在多种解法的原因,在于一个随机现象有时可用不同的样本空间来描述,所以称本解法是最简单的,因
为解法中的样本空间是最小的。
第二章随机变量及其分布
1.离散型分布的最可能值是否唯一
离散型分布的最可能值指的是该随机变量取值中那些使概率达到最大的值,即若
tx2…xn
任意一个离散型分布,若Pk=sup(p,,p2,…,pn,…),
则称xk为此分布的最可能值。 一般离散型分布的最可能值不唯一,比如: 二项分布B(n,p)中,当/八为 (n+1)p 非负整数时,恰有两个最可能值: /朴与(n•如二项分布B(8,1/3), (n+1)p、'K 其最可能值为k=2或3. 2.单调不降右连续是分布函数的必要条件 分布函数一定是单调不降(右)连续的函数,反之命题不成立。 例如,取 I1x: : : -1 X F(x)=<——1兰xc1,F(x)显然是调调不降函数,且右连续,可是 2 1xK1 F(-二)=一1=0,所以F(x)不可能是某个随机变量的分布函数。 因为只有当一个函数满足单调不见,非负有界(F(_: : )=0,F(=)=1,且右 连续(或左连续)时,才能成为某个随机变量的分布函数。 3.具有无记忆性的离散型分布是否存在 设随机变量X服从某个分布,若它满足 P(X■s■t|X.s)=P(X-t) 则称概分布具有无记忆性。 对于连续型分布来说,指数分布是唯一的具有无记忆性的。 (证明可见复旦大学《概率 论》人们教育出版社P125-126)在可靠性问题中,把X理解为某元件的寿命,则无记忆 性表示某元件的寿命如果已知大于5年,则其寿命再延长七年的概率与年令无关。 具有无记忆性的离散型分布也是存在且唯一的,那就是几何分布 kJL P(X=k)=p(1-p),k=1,2, 几何分布是一种等待分布,例如,在事件A发生的概率为p的贝努里试验之中,A首次 出现时的等待次数X的分布为几何分布。 4.联合分布与其边缘分布未必是同类型分布 我们知道二维正态分布的边缘分布仍为正态分布,多项分布的边缘分布亦为多项 分布。 那么联合分布与边缘分布是否都是为同类型分布呢? 答案是否定的。 例如二维均匀分布的边缘分布可以仍是均匀分布,也可以不是均匀分布。 边与坐标轴平行的矩形域上的二维均匀分布的边缘分布仍是均匀分布,而圆域上 的二维均匀分布的边缘分布不再是均匀分布。 5.边缘分布不能决定联合分布 一般边缘分布由联合分布所决定,反之不真。 例如: (X,丫)~N(.J,;「;;丄2,;「2;门,则有X~N(匕,;「;),Y〜N(.! _: 2,;「2) 反之,已知X〜N(叫,g2),Y~N(」2,/),却得不出(X,Y)一定是二维 正态分布的结论。 若添加X与Y相互独立的条件,贝冋得(X,Y)~N(叫,g2Z2,;「: ;0)除连续型分布外,还可举出离散型分布的例子。 6. 不同的联合分布可具有相同的边缘分布 7. 7.正态边缘分布可由非正态联合分布导出 2 七c1丄 4(y)二一f(x,y)dx: e2 一2二 即X〜N(0.1),Y~N(0.1),显然(X,Y)并不服从联合正态分布。 10.均匀分布不具有可加性 若独立同分布的两随机变量之和仍服从原分布,则称该分布具有可加性。 可以证明二项分布,泊松(Poisson)分布,正态分布均具有可加性,而均匀分布不具有这个性质。 设X,Y相互独立,且都服从(a,b)上的均匀分布,令Z=X+Y,则Z的密度函数为: 可见Z服从辛卜生(Simpson)分布,不再是均匀分布。 11.分布函数之和不是分布函数 设F(x),G(x)均为分布函数,其和H(x)二F(x)•G(x),显然不是分布函数, 因为此时H(;)=F(;)・G(;)=2=1 第三章独立性与相关性相容性 1.两两独立但不相互独立 【例1】设有一个均匀的正四面体,第一,二,三面分别涂上红,黄,兰一 种颜色,第四面涂上红,黄,兰三种颜色。 现以A,B,C分别记投一次 四面体底面出现红,黄,兰颜色的事件,则 11 P(A)二P(B)二P(C),P(AB)二P(AC)二P(BC): 24 所以A,B,C两两独立,但 11 P(ABC)P(A)P(B)P(C) 48 因而A,B,C不相互独立。 【例2】设有四张形状,大小,质量完全一样的卡片,上面分别标有数字112, 121,211,222,现从四张卡片中任抽一张,以随机变量X,Y,Z分别表 示抽到卡片上的第一,二,三位数字,则 1P(X=1)=P(Y=1)=P(Z=1) 2 所以X,Y,Z两两独立,但 1 P(X=1,Y=1,Z=1)=0P(X=1)P(Y=1)P(Z=1) 8 因而X,Y,Z不相互独立。 2.P(ABC)=P(A)P(B)P(C)成立,但A,B,C不两两独立. 设有一均匀正八面体,其第1,2,3,4面涂有红色,第1,2,3,5面图黄色, 第1,6,7,8面涂兰色。 现以A,B,C分别表示投一次正八面体,底面出现红,黄,兰颜色的事件,则 1P(A)=P(B)=P(C) 2 1 P(ABC)P(A)P(B)P(C) 8 □31 但是P(AB)P(A)P(B) 84 11 P(AC)P(A)P(C) 84 11 P(BC)P(B)P(C) 84 所以A,B,C不两两独立。 3.独立关系不具有传递性 设三事件A,B,C,若由A与B独立,且B与C独立,得到A与C独立,我们就称A,B,C的独立关系具有传递性 考虑有两个孩子和家庭全体,假定生男生女是等可能的,因而样本空间f;-{(b,b),(b,g),(g,b),(g,g)},其中b为男孩,g为女孩,每一对里的次序是指出生的次序• 现在从全体有两个孩子的家庭中随机地选择一个家庭,并考虑下面三个事件: A为“第一个孩子是男孩”,B为“两个孩子不同性别”,C为“第一个孩子是女孩”,则有 AB={(b,g)},BC={(g,b)},AC= 11 P(AB)P(A)P(B),P(BC)P(B)P(C) 44 即A与B独立,B与C独立,但是 1 P(AC)=0P(A)P(C) 4 因此A与C不独立• 顺便指出不独立关系也不具有传递性,即若A,B不独立,B,C不独立,则A,C可 以独立 考察掷三枚均匀硬币的试验 试验 A为“全正面或全反面”,B为“至多两个正面”,C为“至多一个正面”的样本空间为 门-{HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT} 其中H表示正面,T表示反正,容易算出: 17111 P(A),P(B),P(C),P(AB),P(BC),P(AC) 4 82 8 2 于是有 1 7 P(AB) =— 丰一 =P(A)P(B) 8 32 1 7 P(BC) = 丰一 二P(B)P(C) 2 16 1 P(AC)P(A)P(C) 8 可见A,B不独立,B,C不独立,A,C却独立. 4.X与Y不独立,但X2与Y2独立 若随机变量X与Y独立,则X2与Y2必相互独立,其逆不真例如: 设(X,Y)的联合密度函数为 1 J-(1 +xy)| x|c1,|y|£1 f(x,y) = ■4 1 I 0 其他 0 X£0 2 F? 1+uy f— Fx2(x) =P(X 兰x)=* -(fdy)du=为 x0兰x<1 J'x'Ll4 .1 X启1 '0 yc0 FY2(y) 0Wy<1 yK1 0x£0或y£0 Vx0兰x<1,y工1 FX2Y2(x,y)={&x31,0兰yc1 Vxy0兰xv1,0兰y<1 1x_1,y_1 对于一切x,y恒
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- 概率 统计 中的 反例