知识梳理与训练第八章立体几何与空间向量 第7节 第1课时 利用空间向量求空间角.docx
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知识梳理与训练第八章立体几何与空间向量第7节第1课时利用空间向量求空间角
第7节 立体几何中的向量方法
第1课时 利用空间向量求空间角
最新考纲 1.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题;2.了解向量方法在研究立体几何问题中的应用.
知识梳理
1.异面直线所成的角
设a,b分别是两异面直线l1,l2的方向向量,则
a与b的夹角β
l1与l2所成的角θ
范围
(0,π)
求法
cosβ=
cosθ=|cosβ|=
2.求直线与平面所成的角
设直线l的方向向量为a,平面α的法向量为n,直线l与平面α所成的角为θ,则sinθ=|cos〈a,n〉|=.
3.求二面角的大小
(1)如图①,AB,CD是二面角α-l-β的两个面内与棱l垂直的直线,则二面角的大小θ=__〈,〉.
(2)如图②③,n1,n2分别是二面角α-l-β的两个半平面α,β的法向量,则二面角的大小θ满足|cosθ|=|cos〈n1,n2〉|,二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角).
[微点提醒]
1.线面角θ的正弦值等于直线的方向向量a与平面的法向量n所成角的余弦值的绝对值,即sinθ=|cos〈a,n〉|,不要误记为cosθ=|cos〈a,n〉|.
2.二面角与法向量的夹角:
利用平面的法向量求二面角的大小时,当求出两半平面α,β的法向量n1,n2时,要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向,来确定二面角与向量n1,n2的夹角是相等,还是互补.
基础自测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角.( )
(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角.( )
(3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角.( )
(4)两异面直线夹角的范围是,直线与平面所成角的范围是,二面角的范围是[0,π].( )
解析
(1)两直线的方向向量所成的角是两条直线所成的角或其补角;
(2)直线的方向向量a,平面的法向量n,直线与平面所成的角为θ,则sinθ=|cosa,n|;(3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角或其补角.
答案
(1)×
(2)× (3)× (4)√
2.(选修2-1P104练习2改编)已知两平面的法向量分别为m=(0,1,0),n=(0,1,1),则两平面所成的二面角为( )
A.45°B.135°C.45°或135° D.90°
解析 cos〈m,n〉===,即〈m,n〉=45°.
∴两平面所成二面角为45°或180°-45°=135°.
答案 C
3.(选修2-1P112A4改编)已知向量m,n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量,若cos〈m,n〉=-,则l与α所成的角为( )
A.30°B.60°C.120°D.150°
解析 由于cos〈m,n〉=-,所以〈m,n〉=120°,所以直线l与α所成的角为30°.
答案 A
4.(2018·郑州调研)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,BB1与平面ACD1所成角的正弦值为( )
A.B.C.D.
解析 设正方体的棱长为1,以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,如图所示.则B(1,1,0),B1(1,1,1),A(1,0,0),C(0,1,0),D1(0,0,1),
所以=(0,0,1),=(-1,1,0),=(-1,0,1).
令平面ACD1的法向量为n=(x,y,z),则n·=-x+y=0,n·=-x+z=0,令x=1,可得n=(1,1,1),
所以sinθ=|cos〈n,〉|==.
答案 B
5.(2019·南宁二中、柳州高中联考)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,BC=2,AA1=1,则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为________.
解析 建立如图所示的坐标系.
易得A(2,0,0),B(2,3,0),B1(2,3,1),C1(0,3,1),
则=(0,3,1),=(-2,0,1).
设异面直线AB1与BC1所成的角为θ,
则cosθ=|cos〈,〉|==.
答案
6.(2019·大连预测)过正方形ABCD的顶点A作线段PA⊥平面ABCD,若AB=PA,则平面ABP与平面CDP所成的二面角为________.
解析 如图,建立空间直角坐标系,设AB=PA=1,则A(0,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1),由题意,AD⊥平面PAB,设E为PD的中点,连接AE,则AE⊥PD,
又CD⊥平面PAD,
∴CD⊥AE,从而AE⊥平面PCD.所以=(0,1,0),=分别是平面PAB,平面PCD的法向量,且〈,〉=45°.
故平面PAB与平面PCD所成的二面角为45°.
答案 45°
考点一 用空间向量求异面直线所成的角
【例1】
(1)(一题多解)(2017·全国Ⅱ卷)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=120°,AB=2,BC=CC1=1,则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为( )
A.B.C.D.
(2)(一题多解)(2019·河北、山西、河南三省联考)在三棱锥P-ABC中,△ABC和△PBC均为等边三角形,且二面角P-BC-A的大小为120°,则异面直线PB和AC所成角的余弦值为( )
A.B.C.D.
解析
(1)法一 以B为原点,建立如图
(1)所示的空间直角坐标系.
图
(1) 图
(2)
则B(0,0,0),B1(0,0,1),C1(1,0,1).
又在△ABC中,∠ABC=120°,AB=2,则A(-1,,0).
所以=(1,-,1),=(1,0,1),
则cos〈,〉=
===,
因此,异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为.
法二 将直三棱柱ABC-A1B1C1补形成直四棱柱ABCD-A1B1C1D1(如图
(2)),连接AD1,B1D1,则AD1∥BC1.
则∠B1AD1为异面直线AB1与BC1所成的角(或其补角),易求得AB1=,BC1=AD1=,B1D1=.
由余弦定理得cos∠B1AD1=.
(2)法一 取BC的中点O,连接OP,OA,因为△ABC和△PBC均为等边三角形,所以AO⊥BC,PO⊥BC,所以∠POA就是二面角P-BC-A的平面角,即∠POA=120°,过点B作AC的平行线交AO的延长线于点D,连接PD,则∠PBD或其补角就是异面直线PB和AC所成的角.设AB=a,则PB=BD=a,PO=PD=a,所以cos∠PBD==.
法二 如图,取BC的中点O,连接OP,OA,因为△ABC和△PBC均为等边三角形,所以AO⊥BC,PO⊥BC,所以BC⊥平面PAO,即平面PAO⊥平面ABC.且∠POA就是其二面角P-BC-A的平面角,即∠POA=120°,
建立空间直角坐标系如图所示.
设AB=2,则A(,0,0),C(0,-1,0),B(0,1,0),P,
所以=(-,-1,0),=,
cos〈,〉=-,所以异面直线PB与AC所成角的余弦值为.
法三 如图所示,取BC的中点O,连接OP,OA,因为△ABC和△PBC是全等的等边三角形,所以AO⊥BC,PO⊥BC,所以∠POA就是二面角的平面角,
设AB=2,则=-,=-,
故·=(-)·(-)=-,
所以cos〈,〉==-.
即异面直线PB与AC所成角的余弦值为.
答案
(1)C
(2)A
规律方法 1.利用向量法求异面直线所成角的一般步骤是:
(1)选好基底或建立空间直角坐标系;
(2)求出两直线的方向向量v1,v2;(3)代入公式|cos〈v1,v2〉|=求解.
2.两异面直线所成角的范围是θ∈,两向量的夹角α的范围是[0,π],当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时,就是该异面直线的夹角;当异面直线的方向向量的夹角为钝角时,其补角才是异面直线的夹角.
【训练1】(一题多解)如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=AB,E,F分别为BC,BB1的中点,M,N分别为AA1,A1C1的中点,则直线MN与EF所成角的余弦值为( )
A.B.C.D.
解析 法一 如图,在原三棱柱的上方,再放一个完全一样的三棱柱,连接AC1,CB1,C1B′,易得MN∥AC1,EF∥CB1∥C1B′,那么∠AC1B′或∠AC1B′的补角即直线MN与EF所成的角.
设AA1=AB=a,
则AC1=C1B′=a,
连接AB′,则AB′==3a,
由余弦定理得
cos∠AC1B′==-.
故直线MN与EF所成角的余弦值为.
法二 如图,连接AC1,C1B,CB1,
设C1B,CB1交于点O,取AB的中点D,连接CD,OD,
则MN∥AC1∥OD,EF∥CB1,
那么∠DOC或其补角即直线MN与EF所成的角.
设AA1=AB=a,
则AC1=CB1=a,
于是OD=OC=,又CD=,于是△OCD为正三角形,
故∠DOC=60°,cos∠DOC=,即直线MN与EF所成角的余弦值为.
法三 取AB的中点O,连接CO,则CO⊥AB,以O为坐标原点,OB所在直线为x轴,OC所在直线为y轴,过点O且平行于CC1的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系.设AB=2,则AA1=2,求得M(-1,0,),N,E,F(1,0,),所以=,=,cos〈,〉===.
答案 C
考点二 用空间向量求线面角
【例2】(2018·全国Ⅱ卷)如图,在三棱锥P-ABC中,AB=BC=2,PA=PB=PC=AC=4,O为AC的中点.
(1)证明:
PO⊥平面ABC;
(2)若点M在棱BC上,且二面角M-PA-C为30°,求PC与平面PAM所成角的正弦值.
(1)证明 因为AP=CP=AC=4,O为AC的中点,所以OP⊥AC,且OP=2.
连接OB,因为AB=BC=AC,
所以AB2+BC2=AC2,
所以△ABC为等腰直角三角形,
且OB⊥AC,OB=AC=2.
由OP2+OB2=PB2知PO⊥OB.
由OP⊥OB,OP⊥AC且OB∩AC=O,知PO⊥平面ABC.
(2)解 如图,以O为坐标原点,的方向为x轴正方向,建立空间直角坐标系O-xyz.
由已知得O(0,0,0),B(2,0,0),A(0,-2,0),C(0,2,0),P(0,0,2),=(0,2,2).取平面PAC的一个法向量=(2,0,0).
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