届上海市普陀区高三下学期质量调研二模考试理科.docx
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届上海市普陀区高三下学期质量调研二模考试理科
上海市普陀区2018届高三教学质量调研(二模)
数学理试题
考生注意:
4
1.答卷前,考生务必在答题纸上将姓名、考试号填写清楚,并在规定的区域贴上条形码.
2.本试卷共有23道题,满分150分.考试时间120分钟.
3.本试卷另附答题纸,每道题的解答必须写在答题纸的相应位置,本卷上任何解答都不作评分依据.
一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14小题,
1.若复数
(
是虚数单位),则
.
2.若集合
,
,则
.
3.【理科】方程
的解
.
4.【理科】若向量
,
,且
,则
.
5.【理科】若
,在极坐标系中,直线
与曲线
相切,则实数
.
6.【理科】若偶函数
(
)满足条件:
,则函数
的一个周期为.
7.【理科】若
为曲线
(
为参数)上的动点,
为坐标原点,
为线段
的中点,则点
的轨迹方程是.
8.【理科】某质量监测中心在一届学生中随机抽取39人,对本届学生成绩进行抽样分析.统计分析的一部分结果,见下表:
统计组
人数
平均分
标准差
组
组
根据上述表中的数据,可得本届学生方差的估计值为(结果精确到
).
9.【理科】等比数列
的前
项和为
,若对于任意的正整数
,均有
成立,则公比
.
10.【理科】在一个质地均匀的小正方体六个面中,三个面标0,两个面标1,一个面标2,将这个小正方体连续掷两次,若向上的数字的乘积为偶数
,则
.
11.【理科】如图所示,在一个
(
且
)的正方形网格内涂色,要求两条对角线的网格涂黑色,其余网格涂白色.若用
表示涂白色网格的个数与涂黑色网格的个数的比值,则
的最小值为.
12.【理科】若三棱锥
的底面是边长为
的正三角形,且
平面
,则三棱锥
的体积的最大值为.
13.若
表示
阶矩阵
中第
行、第
列的元素(
、
),
【理科】则
(结果用含有
的代数式表示).
14.【理科】已知函数
,若不等式
恒成立,则实数
的取值范围是.
二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题,每题有且只有一个结论是正确的,必须把正确结论的代号写在答题纸相应的空格中.每题选对得5分,不选、选错或选出的代号超过一个(不论是否都写在空格内),或者没有填写在题号对应的空格内,一律得零分.
15.下列命题中,是假命题的为…………………………………………………………………………()
平行于同一直线的两个平面平行.
平行于同一平面的两个平面平行.
垂直于同一平面的两条直线平行.
垂直于同一直线的两个平面平行.
16.【理科】已知曲线
:
(
)和
:
(
)有相同的焦点,分别为
、
点
是
和
的一个交点,则△
的形状是………………………………………()
锐角三角形.
直角三角形.
钝角三角形.
随
、
的值的变化而变化.
【
17.若函数
,则使得“函数
在区间
内有零点”成立的一个必要非充分条件是…………………………………………………………………………………………………………()
.
.
.
.
18.对于向量
(
),把能够使得
取到最小值的点
称为
(
)的“平衡点”.如图,矩形
的两条对角线相交于点
延长
至
使得
,联结
分别交
、
于
、
两点.下列结论中,正确的是……………………………………()
、
的“平衡点”必为
.
、
、
的“平衡点”为
、
的中点.
、
、
、
的“平衡点”存在且唯一.
、
、
、
的“平衡点”必为
.
三、解答题(本大题满分74分)本大题共有5题,解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要的步骤.
19、(本题满分12分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分6分.
如图,在
平面上,点
,点
在单位圆上,
(
)
(1)【理科】若点
,求
的值;
(2)若
,四边形
的面积用
表示,求
的取值范围.
20、(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.
如图,已知
是圆柱
底面圆
的直径,底面半径
,圆柱的表面积为
;点
在底面圆
上,且直线
与下底面所成的角的大小为
.
(1)【理科】求点
到平面
的距离;
(2)【理科】求二面角
的大小(结果用反三角函数值表示).
21、(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.
已知函数
的反函数为
,记
.
(1)求函数
的最小值;
(2)【理科】若函数
在区间
上是单调递增函数,求实数
的取值范围.
22、(本题满分16分)本题共有3个小题,第
(1)小题4分,第
(2)小题6分,第(3)小题6分.
已知曲线
:
,直线
经过点
且其一个方向向量为
.
(1)若曲线
的焦点
在直线
上,求实数
的值;
(2)当
时,直线
与曲线
相交于
、
两点,求
的值;
(3)当
(
)变化且直线
与曲线
有公共点时,是否存在这样的实数
使得点
关于直线
的对称点
落在曲线
的准线上.若存在,求出
的值;若不存在,请说明理由.
23、(本题满分18分)本题共有3个小题,第
(1)小题4分,第
(2)小题6分,第(3)小题8分.
用记号
表示
,
,其中
,
.
(1)设
(
),求
的值;
(2)若
,
,
,…,
成等差数列,求证:
;
(3)【理科】在条件
(1)下,记
,且不等式
恒成立,求实数
的取值范围.
数学理答案
一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14小题,要求直接将结果填写在答题纸对应的空格中.每个空格填对得4分,填错或不填在正确的位置一律得零分.
1.
;2.
;3.【理科】
;4.【理科】
;5.【理科】
;
6.【理科】1等;7.【理科】
; ;8.【理科】
;9.【理科】
;
10.【理科】
;;11.【理科】
;12.【理科】
;13.【理科】
;
14、5
二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题,每题有且只有一个结论是正确的,必须把正确结论的代号写在答题纸相应的空格中.每题选对得5分,不选、选错或选出的代号超过一个(不论是否都写在空格内),或者没有填写在题号对应的空格内,一律得零分.
题号
15
16
17
18
答案
A
B
A
D
三、解答题(本大题满分74分)本大题共有5题,解答下列各题必须写出必要的步骤.
19、(本题满分12分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分6分.
【解】
(1)【理科】由于
,
,所以
,
于是
(2)
由于
……7分,所以
…………9分
(
)
由于
,所以
,所以
20、(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.
【解】
(1)【理科】设圆柱的母线长为
,则根据已知条件可得,
,
,解得
因为
底面
,所以
是
在底面
上的射影,
所以
是直线
与下底面
所成的角,即
在直角三角形
中,
,
,
.
是底面直径,所以
.以
为坐标原点,以
、
分别为
、
轴建立空间直角坐标系如图所示:
则
、
、
、
于是
设平面
的一个法向量为
,则
,
不妨令
,则
,所以
到平面
的距离
所以点
到平面
的距离为
。
(2)【理科】平面
的一个法向量为
由
(1)知平面
的一个法向量
二面角
的大小为
,则
由于二面角
为锐角,所以二面角
的大小为
21、(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.
【解】
(1)由
得
,即
(
)
(
)
由于
,所以
(当且仅当
时,等号成立)
所以当
时,函数
(2)【理科】由
(
)得,
…8分
在区间
上是单调递增函数需满足:
当
时,
,即
……10分
…12分,即
,…13分,所以
…14分
22、(本题满分16分)第
(1)小题4分,第
(2)小题6分,第(3)小题6分.
【解】
(1)由
得,
,即
,所以
,
,所以
……3分
(2)当
时,
,直线
:
…4分
将直线
与曲线
的方程联立得,
,……5分
消去
并整理得,
,其中
……6分
设
、
,则
……7分
于是
……9分
(3)假设存在这样的实数
使得点
关于直线
的对称点
落在曲线
的准线上,根据题意可得
,所以直线
:
,即
:
,由于
,方程组
消去
得方程
,直线
与曲线
有公共点,故
,解得
,所以
……11分
点
与
关于直线
:
对称,则
……12分得
(
)……13分,当点
落在曲线
的准线
上时,
,
所以
,即
……14分
当
时,
;当
时,
,解得
所以
,所以存在这样的实数
,满足题设条件。
…16分
23、(本题满分18分,第
(1)小题4分,第
(2)小题6分,第(3)小题8分)
【解】
(1)将
代入
中得,
,……1分
其中
,……2分
……3分,所以
……4分
(2)设等差数列的通项公式为
,其中
为公差……5分
则
…6分
因为
……7分,所以
……8分
所以
……10分
(3)【理科】令
,则
……11分
,则
……12分,所以
……13分
根据已知条件可知,
,所以
……14分
将
、
代入不等式
得,
……15分
当
为偶数时,
,所以
;……16分;当
为奇数,
,所以
;……17分,综上所述,所以实数
的取值范围是
。
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- 上海市 普陀区 下学 质量 调研 考试 理科