高中数学321几类不同增长的函数模型同步讲练新人教版必修1.docx
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高中数学321几类不同增长的函数模型同步讲练新人教版必修1
课题:
3.2.1几类不同增长的函数模型
精讲部分
学习目标展示
1.熟悉几种常用函数增长快慢的一般规律2.应用数学理论解决实际问题
衔接性知识
我们学习了哪几种初等函数?
请画出它们的图象
基础知识工具箱
项目
定义
符号
常见函数模型
直线模型
可以用直线模型表示
指数函数模型
能用指数函数表示的函数模型.指数函数增长的特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越快(底数a>1),常形象地称为“指数爆炸”
,且
对数函数模型
能用对数函数表达的函数模型叫对数函数模型.对数增长的特点是随着自变量的增大(底数a>1),函数值增大的速度越来越慢
,且
幂函数模型
能用幂函数表达的函数模型,叫做幂函数模型
为常数
(1)指数函数、对数函数和幂函数的增长趋势比较
性质函数
在
上的增减性
增函数
增函数
增函数
增长的速度
先慢后快
先快后慢
相对平稳
图象的变化
随着
的增大,图象上升的速度逐渐变快
随着
的增大,图象上升的速度逐渐变慢
随着
值的不同而不同
(2)指数函数、对数函数和幂函数的衰减趋势比较
性质函数
在
上的增减性
减函数
减函数
减函数
衰减的速度
先快后慢
先慢后快
相对平稳
图象的变化
随着
的增大,图象下降的速度逐渐变慢
随着
的增大,图象下降的速度逐渐变
随着
值的不同而不同
典例精讲剖析
例1.有一批影碟机(VCD)原销售价为每台800元,在甲、乙两家电商场均有销售.甲商场用如下的方法促销,买一台单价为780元,买二台单价为760元,依次类推,每多买一台单价均减少20元,但每台最低不低于440元;乙商场一律按原价的75%销售,某单位需购买一批此类影碟机,问去哪家商场购买花费最小.
【解析】设单位购买x台影碟机,在甲商场购买,每台的单价为800–20x,则总费用
,在乙商场购买,费用y=600x.
(1)当0<x<10时,(800x–20x2)>600x
∴购买影碟机低于10台,在乙商场购买.
(2)当x=10时,(800x–20x2)=600x
∴购买10台影碟机,在甲商场或在乙商场费用一样.
(3)当10<x≤18时,(800x–20x2)<600x
∴购买影碟机多于10台且不多于18台,在甲商场购买.
(4)当x≥18时,600x>440x
∴购买影碟机多于18台,在甲商场购买.
答:
若购买小于10台,去乙商场购买;若购买10台,在甲商场或在乙商场费用一样多;若购买多于10台,在甲商场购买.
例2.为了尽快改善职工住房困难,鼓励个人购房和积累建房基金,决定住房的职工必须按基本工资的高低交纳建房积金,办法如下:
每月工资
公积金
1000元以下
不交纳
1000元至2000元
交纳超过1000元部分的5%
2000元至3000元
1000元至2000元部分交纳5%,
超过2000元部分交纳10%
3000元以上
1000元至2000元部分交5%,2000元至
3000元交10%,3000元以上部分交15%
【解析】设职工每月工资为x元,交纳公积金后实得数为y元,则
当0 当1000≤x<2000时, y=1000+(x-1000)(1-5%)=0.95x+50; 当2000≤x<3000时, y=1000+1000(1-5%)+(x-2000)(1-10%)=0.9x+150; 当x≥3000时, y=1000+1000(1-5%)+1000(1-10%)+(x-3000)(1-15%)=0.85x+300. 因此y与x的关系可用分段函数表示如下 例3. (1)某种储蓄的月利率是0.36%,今存入本金100元,求本金与利息的和(即本息和)y(元)与所存月数x之间的函数关系式,并计算5个月后的本息和(不计复利). (2)按复利计算利息的一种储蓄,本金为a元,每期利率为r,设本利和为y,存期为x,写出本利和y随存期x变化的函数式.如果存入本金1000元,每期利率2.25%,试计算5期后的本利和是多少? 【解析】 (1)利息=本金×月利率×月数. y=100+100×0.36%·x=100+0.36x,当x=5时,y=101.8,∴5个月后的本息和为101.8元. (2)已知本金为a元,1期后的本利和为 y1=a+a×r=a(1+r), 2期后的本利和为 y2=a(1+r)+a(1+r)r=a(1+r)2; 3期后的本利和为y3=a(1+r)3; …… x期后的本利和为y=a(1+r)x. 将a=1000,r=2.25%,x=5代入上式得 y=1000×(1+2.25%)5=1000×1.02255. 由计算器算得y=1117.68(元). 答: 复利函数式为y=a(1+r)x,5期后的本利和为1117.68元. 例4.某皮鞋厂今年1月份开始投产,并且前4个月的产量分别为1万双,1.2万双,1.3万双,1.37万双.由于产品质量好,款式新颖,前几个月的销售情况良好.为了推销员在推销产品时,接受定单不至于过多或过少,需要估计以后几个月的产量.厂里分析,产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程.厂里也暂时不准备增加设备和工人.假如你是厂长,就月份x,产量为y给出四种函数模型: y=ax+b,y=ax2+bx+c,y=a +b,y=abx+c,你将利用哪一种模型去估算以后几个月的产量? 【解析】本题是通过数据验证,确定系数,然后分析确定函数变化情况,最终找出与实际最接近的函数模型. 由题意知A(1,1),B(2,1.2),C(3,1.3),D(4,1.37). (1)设模拟函数为y=ax+b,将B、C两点的坐标代入函数式,有 ,解得 所以得y=0.1x+1. 因此此法的结论是: 在不增加工人和设备的条件下,产量会月月上升1000双,这是不太可能的. (2)设y=ax2+bx+c,将A、B、C三点代入,有 ,解得 , 所以y=–0.05x2+0.35x+0.7. 因此由此法计算4月份产量为1.3万双,比实际产量少700双,而且,由二次函数性质可知,产量自4月份开始将月月下降(图象开口向下,对称轴x=3.5),不合实际. (3)设y= +b,将A,B两点的坐标代入,有 ,解得 , 所以y= . 因此把x=3和4代入,分别得到y=1.35和1.48,与实际产量差距较大. (4)设y=abx+c,将A,B,C三点的坐标代入,得 ,解得 , 所以y=–0.8×(0.5)x+1.4. 因此把x=4代入得y=–0.8×0.54+1.4=1.35.比较上述四个模拟函数的优劣,既要考虑到误差最小,又要考虑生产的实际,比如增产的趋势和可能性.经过筛选,以指数函数模拟为最佳,一是误差小,二是由于新建厂,开始随工人技术、管理效益逐渐提高,一段时间内产量会明显上升,但过一段时间之后,如果不更新设备,产量必然趋于稳定,而指数函数模拟恰好反映了这种趋势. 因此,选用y=–0.8×0.54+1.4模拟比较接近客观实际. 精练部分 A类试题(普通班用) 1.某商店某种商品(以下提到的商品均指该商品)进货价为每件40元,当售价为50元时,一个月能卖出500件.通过市场调查发现,若每件商品的单价每提高1元,则商品一个月的销售量会减少10件.商店为使销售该商品的月利润最高,应将每件商品定价为( ) A.45元 B.55元C.65元D.70元 [答案] D [解析] 设每件商品定价为x元,则一个月的销量为500-(x-50)×10=1000-10x件, 故月利润为y=(x-40)·(1000-10x)=-10(x-40)(x-100), ∵
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